计量经济学在实际运用上的几种模型

市场需求分析模型，是资本主义国家最常用的一种模型，因为垄断资本家最关心的就是市场需求问题，所以不断对市场需求变化进行预测。他们这样做有两个目的：第一，只有利用需求估算分析，才能预计什么商品定什么价格，能卖出多少，赚得多少利润。第二，资产阶级国家根据市场需求预测，对整个国民经济进行调节，用税收政策、物价政策、货币政策、贸易政策等来影响国民经济的发展趋势；并且据以帮助垄断资本家划分市场、操纵物价、调节供求，以防止经济危机，实现资本主义经济计划化。

这种预测只要建立一个简单需求函数模型就可以达到目的。其公式为：Xi=α0+α1P

这是一个一元一次方程。

X：代表成交量；Xi（i代表第几笔）意即第几笔成交量。

P：代表价格（以Pi代表与每笔成交量相适应的价格，逐一代替P）。

α0：表示需求水平（价格最低对满足社会的需求量）。

α1：表示价格变动对需求量影响的程度。

α0和α1都是所需求出的参数，式中α0α1是未知数，P是已知数。市场需求分析，主要就是要估算参数，它们是很关键的数字。

求算和确定α0和α1两个参数的数值时，必须使总偏差达到最小值，才符合要求。前面说过，采用最小二乘法，就是可以使若干偏差的平方和最小，从而就能保证每一个偏差都小。通过这个求算极小值的方法，来求解α0和α1两个参数，演算的结果，得到符合要求的答案如下：

现在举一个假设的例子来说明价格变动对市场需求的预测。设某种商品有n笔（8笔）成交量及其相应价格，已从统计资料中抽样选定。根据上述求算参数公式的需要，现在把有关项目列表如下：（单位：元，件）

把表中适当数字代入上述两个参数的答案公式，得到下面演算：

=24.06

=-1.29763

参数的具体数字既已求算出来，代入前述需求函数模型，即得下式：

X=24.06+（-1.2976）P

答案：

X=24.06+[8.50×（-1.2976）]

=24.06-11.03=13.03（件）

根据这个需求函数模型，可以计算出需求的价格弹性，即按现行价格提高1%时，需求量下降的百分比。

资产阶级计量经济学家经常使用市场需求分析模型为垄断资本家服务，但预测往往是不准确的。这因为：第一，统计资料不可靠。垄断并不能排除竞争，销售同一商品的资本家很多，无法获得全部资料来计算出在什么价格下成交量的确切数字是多少；第二，由于投机风行，掩盖了真实需求情况，以致出现某种商品价格上涨而成交量反而增大情况，这样就会得出提高价格、需求上升的预测，从而导致盲目扩大生产；第三，新的产品或代用品的出现，对消费品结构就会有很大影响，原来某些商品的价格与需求的比例关系就要改变，原来的弹性系数也就丧失了意义，这样根据过去统计资料的预测当然就不可能反映真实情况；第四，这个模型只是单纯考虑价格对需求的影响，以致把价格视为自变量，其实，需求同样对价格也会发生影响的。

尽管如此，为了保证垄断资本家的利益，资产阶级政府仍经常采用市场需求分析来制定经济政策。例如，过去美国计量经济学家计算出美国一段时期的农产品价格的需求弹性为-0.123（即价格上涨1%时，需求量将下降0.123%），于是美国政府认为把小麦价格提高10%，不过使小麦的销售量减少1.23%，而农场主却可以增加8.77%的收入；至于所减少的销售量1.23%，则可以由政府来收购。结果农场主得到10%的额外利润。又比如，有一年，农产品产量出现较大增加，政府根据预测，如销售量增加10%，价格将下降16.6%，为了维护农业资本家的利益，使价格不下降，政府决定收购全部增长的农产品数量，然后由政府输出。这种方法还被用来控制某种产品的消费量。有一个时期，英国政府打算把啤酒的消费量减少10%，当时计算出啤酒的需求价格弹性为-0.727，即价格上涨1%时，消费量将下降0.727%，到底要提价多少才能使啤酒消费量减少10%呢？计算很简单，即10%/0.727=13.76。于是政府就用征税办法把啤酒价格提高14%，以达到减少消费量10%的目的。

这种预测方法，没有考虑到国民收入对需求量影响的程度，是不合理的。但是撇开这个因素，如果统计资料真实可靠，也可能起到一定作用。

经济周期分析模型主要是把凯恩斯主义者的理论列成联立方程模型，然后进行估算和预测经济波动情况，并据此向政府提出建议。最近几十年这方面的代表模型有美国克莱因所代表的一种模型和汉森及萨缪尔森所代表的又一种模型（乘数加速模型）。后者在前面已经谈过，这里只谈克莱因模型。克莱因在1950年写了一本书：《美国的经济波动，1921—1941》，书中设计了若干经济模型，其中重要的有三个结构方程，其方程式如下：（1）（2）（3）

C=α0+α1w+α2π+u1

I=β0+β1π+β2π-1+β3K-1+u2

W=r0+r1Y+r2Y-1+r3t+u3

上式C=消费；I=投资；w=工资总额；π=本期利润；π-1=上期利润；K-1=上期末资本存量；Y=本期总产值；Y-1 =上期总产值；t=时期（外生变量）；α，β，r=参数；u=随机误差。

（1）式为消费方程。表明消费依存于工资（W）和利润（π）。他根据凯恩斯的消费倾向规律所论述的“消费函数”观点来制订这个模型，即消费依存于收入（工资加利润）的大小。

（2）式是投资方程。克莱因说也可用利润率（πK）自变量写成下式：

I=β0+β1πK+β2（πK）-1+u2

这不过表明投资依存于利润（本期和上期的）和上期末资本存量（另一式则依存于本期及上期的利润率）。它是凯恩斯的投资学说的变形，即从资本边际效率这个心理因素去寻找投资的根据（克莱因方程中没有引入利息率这个变量，因为他认为实际材料证明货币数量对经济体系的影响并不重要）。但由于这种数值是观察不到的，只好依据上一期和本期的利润数值来建立投资函数。其实，投资的大小，服从于资本主义再生产规律。

（3）式是工资方程。它表明工资依存于总产值（本期和上期的）。但这不过是庸俗资产阶级经济学并为凯恩斯所采用的“劳动边际生产率理论”的翻版。其实，工资的变动服从于劳动力价值规律，而且它如果不联系资本有机构成这个因素，就根本不能正确估计对劳动力需求的真实情况。

从（1）、（2）两式，即C和I两项按凯恩斯乘数理论估算国民收入的预测值，然后综合当前物价、投资趋势、前一年的收入、总产值水平，就可以揣测收入和总产值会不会发生波动，波动多大，向上还是向下等。如果预测未来一年的总收入数字小于当前总收入水平，那就有了经济危机的预兆，即据此向政府提供应付措施。其措施不外乎扩大政府的赤字开支，并且可计算出政府每增加一块钱的赤字开支能够引起多少可支配收入（除纳税外的国民收入）。克莱因曾应用这种模型对美国1947年经济情况进行预测，从而提出了对策。认为政府每增加1块钱赤字可以增加3.37元的可支配收入（按平均每人计算）。可见，克莱因的估算，既利用凯恩斯的乘数原理，又把凯恩斯的反危机措施理论具体化和数字化，并同样把政府开支列为首要措施。

美国政府在1947及1948年连续采用了克莱因的献策和相应措施，然而就在1948年年底及次年（1949年）美国爆发了经济危机。可见经济危机并不因克莱因的献策而能防止，战后危机次数比以前更多，危机周期比以前更短。

线性规划是数学名词，属于数学上的一个分支。

线性规划分析，就是利用数学上的线性函数来解决社会资源（生产能力、劳动力、原材料等）的最合理，利用问题。所谓最合理实际上就是最能保障垄断资产阶级获得最大利润。这种分析方法的大量研究和发展是在第二次世界大战期间及其后。一方面，由于第二次世界大战和随之而来的军国主义化，需对资源及各种物资（包括军用物资）实行“合理”使用及分配，同时也防止某些非军用生产过多使用资源；另一方面，垄断资本家为了尽可能降低生产费用以扩大超额利润，也一致寄希望于线性函数方法来解决这种问题，在这些强大动力推动下，线性规划方法的研究便迅速发展起来。最近二十多年，许多主要资本主义国家打着调节国民经济及实行资本主义“计划化”的旗帜，都在广泛应用线性规划方法，把它看作是防止经济危机的有效手段。此外，某些发展中国家，也运用线性规划来编制国民经济计划。比如印度就很重视这个方法，印度在第一个五年计划期间（1950—1955年），曾利用线性规划做出国家资源按国民经济最重要部门的最优分配方案。可见这种方法已受到普遍重视。

线性规划方法到底是怎样使用呢？它的内容是解决和探讨诸变量的线性函数最优化问题，即从各个函数方程的变量数值中选择最优方案。这些变量受着两个条件约束：一个是无负值性条件，就是说这些变量的值不能是负数；另一个条件是线性方程的等式或不等式（≤），就是说该线性方程所要求算的最大值有一定数量条件的限制，只能等于或小于所具有的（比如原料）一定数量。

现在举一个纯粹假设的例子来说明：假设有一个资本主义企业，只生产两种产品，这两种产品共同需要消耗两种原料来进行生产，两种产品的利润分别以最优标准为指标。兹将有关各项目列表如下：

每种产品按单位计算的原料消耗和利润4X1+2X2≤240

这个企业总计有甲种原料240千克；有乙种原料400千克。现在线性规划方法要解决的问题是：究竟应当生产多少1号产品和2号产品，才能使企业获得最大的利润。也就是说，要通过这个计算方法来确定最优的产品生产计划；要在有限的原料数量条件下取得最大限度的利润。同时假定在整个生产周期中价格不变，任何一数量的两种产品都能销售出去。

兹假定所要求算的1号产品的数量为X1，2号产品的数量为X2，如以P表示企业的总利润，则总利润为：P=8X1+35X2

问题在于如何使总利润P达到最大值而优选X1和X2的产量，以实现最优的利润指标。在解决这个问题时，必须考虑到甲、乙两种原料供应量的两个约束条件，而且X1和X2不能是负数，即企业只能在生产与不生产之间做选择，所以，生产的数字必然是正数，因此X1≥0，X2≥0。同时要求总利润P最大为目标函数。

于是得线性规划模型如下：约束条件：

2X1+8X2≤400

目标函数：

MaxP=8X1+35X2

第一个不等式就是说，用于生产两种产品的原料甲的消耗不能超过240千克，只能等于240千克，或者少于240千克。第二个不等式就是说，用于生产两种产品的原料乙的消耗不能超过400千克，只能等于或少于400千克。

求解这个问题，首先需要将约束条件的两个线性不等式变为线性方程式。这就必须在不等式中引入“自由变量”X3和X4。于是约束条件变为以下两个方程式：

4X1+2X2+X3=240

2X1+8X2+X4=400

X3和X4表示生产出两种产品后还剩下的甲乙两种原料数量，它们也只能是正数或零，即X3≥0，X4≥0。比如，假设决定生产1号产品60个单位，而完全不生产2号产品，即X1=60，X2=0。那么，原料甲将完全耗光，这时，X3=0；而原料乙只消耗了120千克，还剩下280千克，这时X4=280。又假定X1=50，X2=20，这时X3=0，X4=140。线性规划就是要在规定的约束条件下，找出变量数值的一切可能方案，从中选择最优方案，也就是选出最大利润的方案。看来在X3和X4都不等于零的情况下，也就是说甲或乙任何一种原料有剩余的情况下，利润都不会达到最大量；反过来说，只能在X3和X4都等于零的情况下，即原料甲和原料乙都耗尽的情况下，才有可能使利润达到最大量。那么，究竟应该生产多少X1和X2产品呢？这可以试用列式求解方法来解决。设X3及X4俱等于零，则线性方程为：

用行列式求得唯一解：

于是答案是：在所给的原料数额下，为获得最大利润，该企业应将两种产品各生产40个单位。

现将求得的1、2号产品的产量X1=40及X2=40代入目标函数，求得总利润P为：

P=8×40+35×40=320+1400=1720元。

但这个总利润P=1720元是不是真正为最大利润呢？这还不一定。因为前面我们只是主观地认为甲、乙两种原料能全部用完而无剩余就能取得最大利润，而没有考虑目标函数的具体情况，这当然不一定能保证利润最大。求解线性规划模型的正确方法是单纯形解法，它是将自由变量X3≥0，X4≥0也认真参加计算，把约束条件与目标函数紧密联系在一起进行迭代检验的独特算法。由于变量有四个：X1、X2、X3、X4，而约束条件的方程只有两个，所以有无穷多组解，因而要逐步迭代，用目标函数加以检验而在无穷多组解中找出最优解。这里限于篇幅，不能对单纯形解法作详细阐述，读者可参阅运筹学中线性规划的专著，即得其详。下面只将本例线性规划模型及单纯形法表列出，求出最优解。

约束条件：

目标函数：

MaxP=8X1+35X2+0X3+0X4单纯形法表

∴最优解：

最大利润：

MaxP=8×0+35×50+140×0+0×0=1750元

比前面方法求解所得总利润1720元高。即前面求得的解不是最优解。所以要用单纯形法才能求得最优解。

当然，实际上所遇到的问题要复杂得多，这只是一个简单的说明。但是，线性规划方法，从技术上说，如果借助于电子计算机，通过若干不同方案进行检查，是不难得到解决的。

这样，线性规划方法就广泛地被利用来探求对一定数量的资源做出最优的分配方案。据说20世纪50年代以来，它已被用来解决若干经济问题或技术问题。例如，计算最廉价的饲料分配问题、编制缩短运输线计划问题、最有效地利用企业内部生产能力或劳动力问题、工业原料的最优分配和节约问题、农业中最优轮耕制安排问题、生产计划的最优结构问题，等等。归纳起来，在绝大多数这类问题中，当作最优标准的不外是如何用它来求算利润的最大值，或者如何用它来求算生产费用的最小值，充分反映了垄断资本家的掠夺意图与实质。

投入产出模型就是利用专门制定的投入产出表式和数学方法，来对国民经济各部门之间生产和消耗（主要指生产消耗）的数量的相互依存关系和产品价值（或实物）构成进行计量分析。所谓“投入”，是指各个产业部门在生产过程中的消耗，如对原材料、燃料、电力、各种半成品和资本设备等的消耗，以及劳动力的雇佣使用情况。所谓“产出”，是指各个产业部门所生产的产品数量如何提供一切产业部门（包括本部门）作为原材料、半成品、资本设备等使用，以及如何分配为“最终需求”用途和消费情况。所以每一种产出都是一种投入。例如，炼钢用的煤，对煤矿来说是一种产出，但又是钢铁业的投入；制造机器用的钢铁，对钢铁业是产出，但又是机器制造业的投入。

投入产出模型，是计量经济学的主要模型。这个模型包括一个棋盘表式和线性方程体系两个部分。棋盘表式概括了一个国家或地区各个产业部门在生产过程中全部“投入”的来源，以及各个产业部门所生产产品的分配使用，即全部“产出”的去向，所以叫作投入产出表。

这个模型的最大作用是能够全面地分析国民经济各部门之间的联系，确定和分析各部门产品的价值构成，制订出合理的国民经济计划，并能对远景规划进行经济预测。

下面用一个假想的缩影表式来加以说明：

上表的编制，是根据实际统计资料，记入某一时期（比如一年）各有关部门产品的生产和使用情况，以价值表现。但也可以把各部门变成每一种产品的项目，按实物表现编成实物表。按部门表现已经归并了许多行业，每个部门生产的产品不止一种，无法采用实物加总，只能按价值表明。

上表的左边各行所列的是生产产品所需要消耗各部门产品的部门名称；顶端横行所列的是各部门生产的产品分配于各部门的名称。每个产品部门既是生产产品的部门，又是消耗产品的部门，在左边和顶端各出现一次。表中每一纵行记载这个部门的产品是消耗了哪些部门（包括本部门）的产品和固定资本折旧，支付了多少工资、薪金、利润、利息，使用了多少劳动力等制造出来的。每一横行记载这个部门的产品怎样分配于各种用途为各产业部门（包括本部门）及最终需求（居民经济）所使用和消费（包括固定资产更新）。换言之，横行的数字反映每一部门产品的产出额及分配情况；纵行的数字反映每一部门生产费用的投入额及来源情况。各部门产品除掉各产业部门（包括本部门）消耗外，余额为净产值和折旧提存，它等于最终需求数额，即等于居民的消费品、投资品（包括折旧更新）、对外贸易差额（指净输出）、政府采购、订货（尤指军事订货）等的总和。这个最终需求总额，除折旧提存外，是各部门雇佣劳动增加价值的总额（包括生产性与非生产性劳动），形成各种收入，也就是国民收入总额。表中每个部门的纵行数字加总等于横行数字加总；即每个部门的投入总值等于产出总值。把各个部门的总值加起来就是国民经济总产值。居民经济雇佣人数横行加总等于总就业量。这些是投入产出表所表示的平衡关系。其中要着重加以研究的是各部门的产品总值减去提供各部门消耗以后，等于满足最终需求的产品总值。

这些均衡关系，以及最终需求的计算，用下列公式把它们表示出来：（1）式中：∑是和的符号，Xi为i部门年度总产量；Xik为当年供k部门消耗用的i部门的产品数量；Yi为这个部门满足居民经济即最终需求用的数量。各部门总产量Xi减去各消耗部门所消耗该部门的产品数量，等于Yi。将上式展开，得到下列线性方程式：（2）

Xi-[Xi1+Xi2+Xi3+……+Xin]=YiX1-X11-X12-X13……-X1n=Y1

再展开，又得到下列方程组：（3）

X2-X21-X22-X23……-X2n=Y2

X3-X31-X32-X33……-X3n=Y3

要求解上述方程组，必须计算出技术系数，又叫消耗系数。技术系数是表明在一定技术条件下，一个部门生产一个单位所消耗的另一个部门的产品数量。它对投入产出分析、制订经济计划、进行经济预测和考核企业技术水平，都具有很重要的意义。

求算技术系数的方法很简单，只要把投入产出表中每一行的数字分别除以三个部门的总产量Xi即可求得。其公式为：（aik为技术系数），或写成Xik=aik ×Xk，即：

X11=a11X1

X12=a12X2

X13=a13X3

X21=a21X1

X22=a22X2

X23=a23X3

X31=a31X1

X32=a32X2

X33=a33X3

现在把各系数按投入产出表数字计算列表如下：

劳动消耗：20/200=0.1150/500=0.360/400=0.15

技术系数表

上表每一个数字代表一个消耗定量。有了消耗系数，就可以把上述线性方程组写为下面的三元一次方程组，以X1、X2、X3分别代表农业、工业、运输业的总产量。（4）

0.1X1+0.08X2+0.025X3+130=X1

0.5X1+0.02X2+0.5X3+190=X2

0.25X1+0.06X2+0.05X3+300=X3

这个方程组用代数中的三阶行列式方法就可以求算出来，也可用代数余子式求算。演算结果：X1=200，X2=500，X3=400。代入上式是完全满足的。

有了这个数学模型，就可以用来研究计划平衡问题，用来进行经济预测。比如，一个国家计划要把下年的农业、工业、运输业的最终需求量分别增加到180，240，350，假设技术系数不变，预测和推算下年这三项的总产量应该是多少。这只要把方程组（4）中的最终需求数字分别代之以下年的计划数180，240，350，即得方程组如下：（5）

0.1X1+0.08X2+0.025X3+180=X1

0.5X1+0.02X2+0.5X3+240=X2

0.25X1+0.06X2+0.05X3+350=X3

求解结果：X1=269，X2=626，X3=479

这样，在制订下年计划时，就按照这个科学根据把它们列为计划数制定出平衡表，贯彻执行，未来的生产就能有计划按比例地发展。如果计划数与此不符，计划就一定是不平衡的，最终需求的计划数就不能完成。

从以上可以看出，投入产出分析是一种计量分析的技术手段，就其方法说，有它的科学性，可以运用来对国民经济进行多方面的有价值的分析。一般是运用在以下几个方面：

一是分析经济结构。这就是分析一个国家的国民经济整体是由哪些经济部门所组成，各种经济的比例关系如何；各部门之间的经济活动是否协调；发展国民经济所需要的部门配置是否齐全和成套；还缺少什么重要的物资生产部门；能够发展的进口替代和出口替代是什么；潜在的发展能力有哪些方面，如何发掘；哪些方面是落后环节需要克服；等等。

二是据以制订各种计划。一个国家要高速度发展国民经济，必须确知各种经济的比例关系，从而制定出综合平衡表，正确反映第Ⅰ第Ⅱ部类的比例关系；农业、轻工业和重工业的比例关系；燃料、动力、原材料工业和加工工业之间的比例关系以及消费和积累的比例关系；等等。此外，还应该编制物资计划、物价计划、财政计划和劳动就业计划等，做出综合平衡表的附属规划。投入产出的计量方法和部门联系分析为这些计划工作提供了技术条件。

三是考核生产技术水平。投入产出模型中的技术系数（消耗系数）表反映了一定条件下某些部门之间的生产技术联系。一个国家可以把这些技术系数和别国进行比较，立即能够发现在生产技术上的差距，促进自己改进技术，引进技术。也通过这个消耗系数表分析材料使用的效率、能源效率、设备利用效率，等等。制订切实可行的效率指标，不断考核提高。

四是价格政策合理化。实行计划价格的国家，有时要调整商品的价格来影响经济的发展，并力求做到使价格合理化，但是如果价格调整没有投入产出分析作为依据，就很难使其合理化。比如，煤的价格提高，就影响钢铁的成本价格；钢铁提价又影响机器的成本增加；反过来机器提价又会影响煤的成本增加，煤又要再提价。如此循环不已。这种连锁反应的间接影响，在投入产出分析中是能够计算出来的。这样就可事先把价格的调整做出全面而合理的规划。

五是预测未来经济前景。前面说过在一定时期投入产出表的基础上，根据最终需求的变动，可以预测未来国民经济生产总值及各部门生产和就业的增长额；在投资和消费提高后，预测未来国民收入和就业量的增长倍数；在政府实行赤字财政政策、扩大公共支出下，资本主义国家预测危机的解除程度和失业的降低幅度；在计算出贸易出超或入超的差额后，预测它对国民收入和就业的增加或减少量；在计算出劳动生产率提高和消耗系数下降后，预测未来年度各部门产量变化和各部门之间的流量变化；等等。

资本主义的固有矛盾使得经济危机周期的循环不已、生产过剩、商品积压，再生产过程经常不能按比例顺利进行，因此，资本主义国家利用投入产出分析进行各种预测，往往不能达到预期的目的；加上在资本主义制度下，各企业都对外保密，无法获得全部所需要的真实统计资料；还有，在实行分期付款的提前消费制度下，也很难估计市场的需求变化情况。这样，许多预测不免是从先验主义出发，缺乏科学的客观依据，以致在未来实践的检验下，往往出入较大。

但是，不能由此就否定投入产出分析方法本身所具有的科学性。它的科学性，在于产业联系分析的技术手段，作为一种计量方法，可以供社会主义计划经济使用。应该说，在社会主义经济条件下，研究部门间的平衡关系，比资本主义社会更有广阔的前途和更大的可能性，这是由摆脱生产无政府状态的社会主义经济的计划性所决定的。在正确的理论指导下，如果统计资料可靠，设计出部门间的棋盘式平衡表，就有可能对社会再生产的综合比例以及社会总产品的物质构成与价值构成和收入分配做出科学的综合平衡分析。这种分析有很大的现实意义，因为根据所制的平衡表，可以求算出国民生产总值的一些重要的比例关系，比如求算出物质消耗部分（C）在总产值中所占的比例，由此也就可以求算出新创造的价值部分（V+m）在总产值中所占的比例；在物质构成方面，可以根据物质构成平衡表，求算出第一部类（生产资料）和第二部类（消费资料）所占比例，还可求算出在第一部类和第二部类中工业、农业分别所占的比例关系。获知这些比例关系后，它可以为社会主义扩大再生产、编制综合平衡表发挥科学分析的作用。