计量经济学在运用上的两个重要步骤

建立模型是计量经济学研究经济问题的第一个重要步骤。因为分析数量关系，必须运用经济理论来设计和建立具有联立方程式的经济结构模型，所以，计量经济学家把建立理论模型视为了解和解释现实经济生活的必要工具。他们认为，如果不通过事先设想的结构来观察实际，即使对实际现象作简单的描述和分类都不可能。

在建立模型时，他们把数量现象区分为内生变量和外生变量两大类。内生变量的数值变化是在经济体系以内由经济力量所决定的，是经济行为的结果，所以把它叫作因变量。例如，需求量、供给量、消费、储蓄、投资、就业，等等。外生变量的数值变化，是在经济体系以外由非经济力量所决定的，它们影响内生变量，但不受内生变量影响，因此把它叫作自变量。例如，气候、地震、资源发现、科学技术演变、人口变动、劳动力变动等。

把因变量、自变量联合起来，就成为数学方程式，也就是计量模型。最常见的联立方程式，是所谓市场局部均衡的简单模型：

（1）Xd=α0+α1P+α2Y

（2）Xs=β0+β1P

（3）Xd=xs

所谓局部均衡即只谈某种商品的均衡关系。（1）式是表示需求函数的方程式。Xd表示市场对某种商品的需求量，在（1）式里是因变量，因为它的数值是由P和Y的数值决定的。P表示该种商品的价格，Y表示消费者的收入。P和Y都是自变量。所以，这个式子就是说，某种商品的需求量取决于该商品的价格和消费者的收入。α0，α1，α2都是参数。参数是表示各种变量间相互联系程度的常数。在方程式内常常表现为系数形式的常数。α0表示需求水平；α1说明价格变动对需求量影响的程度；α2说明收入变动对需求量影响的程度。（2）式表示供给函数方程式。Xs表示市场对该种商品的供给量，在（2）式里是因变量，因为它的数值是由P来决定，P是自变量。这个式子说明提供到市场的某种商品数量取决于该商品的价格。β0和β1都是参数。β0表示供给水平；β1表示价格变动对供给影响的程度。参数的数值是从市场局部观察的资料中用数学方法估算出来的，所以首先要解决参数数值的估算问题。它们在估算以前是未知数，从而是待定常数。（3）式说明需求等于供给时，市场才能达到均衡，所以叫做均衡方程。要把上述联立方程计算出来，首先必须把各个参数求算出来。因为P和Y是已知数。如何求算参数，下一步骤就是解决这个问题。它是计量经济学中的另一个重要步骤。

建立经济模型就是计量经济学把经济理论公式化。在模型建立之后，最重要的一个计算工作就是估算参数的具体数值。计量经济学家认为，只有估算出参数的具体数值才能寻找出经济行为的数字变动规律。计量经济学的计量意义，主要就是指参数值的估算。可见参数估算的重要性。前面说过，参数在数学模型中，是表明诸变量间相互联系程度的常数。估算就是从特殊到一般，就是说根据所测得的具体的一系列实际数值，通过数学方法求算出一般的变化规律。由于估算必然会和实际数值发生偏差，当然希望偏差越小越好，使估算越接近实际。如何才能使偏差达到最小呢？一般采用的数学方法是偏导数应用中的最小二乘法（又叫最小平方法）。用它来对单一方程进行估算。这是数理统计学最常使用的方法，也是使用范围最广的一种方法。计量经济学就是靠这种方法来寻求规律。因此有必要把它的演算举例说明。

在经济生活中，常常可以根据实际测得的一系列数据找出变量间的函数关系。通常采用的方法是直线型的一次方程式的求算方法。这种方法的正确使用一般是在有精确函数关系存在的生产领域中。资产阶级计量经济学家在计算市场需求量与价格变动或收入变动关系时，经常不正确地采用了这种方法来估算参数值。

现在举一个例子来说明用最小二乘法估算参数及其实际应用的演算方法。线性）函数，简化为一元一次（线性）函数。">假设计量经济学家从一个国家1951—1980年这段时期中，抽样出10个年份国民收入与某种商品需求量的变动关系的数据如下（国民收入以1950年为100）。

由此，要估算出X和Y的函数关系：X=f（Y）

把这列数据描在平面坐标图上（如下图1）。

图1

从上图可以看出这些点大体在一条直线上，因而可以用一个一元一次（线性）函数也是一元直线方程式X=aY+b来反映变量X与Y之间的函数关系。b为需求水平，a为收入对需求的影响程度，a和b是待定参数，在公式里表现为系数。从图1可以做出不同的直线，使描出来的点都在这些直线附近。

从图2分析，如果点（Y1，X1）在直线X=aY+b上，那么应该有X1=aY1+b，即X1-aY1-b=0。这时函数X=aY+b准确地反映了Y与X的关系。

如果（Y1，X1）不在直线X=aY+b上，那么X1-aY1-b=W1，W1≠0，W1表示用函数X=aY+b来反映Y1与X1的关系时所产生的偏差，当然希望选择适当的a和b，使这个偏差值越小越好，因为偏差的大小，取决于a和b选择所决定的直线。所以W以a和b为转移，从而a和b是W的函数（a和b变成了未知数，X和Y变成了已知数）。

图2

把测得的一组（10个）数据记为（Y1，X1），（Y2，X2），（Y3，X3），……（Yn，Xn）；用以下式子：w1=X1-aY1-b，w2=X2-aY2-b，w3=X3-aY3-b……wn=Xn-aYn-b，表示相应的偏差。这些偏差的平方和叫作总偏差，记为w，即：

既然w是ab的函数，是以a，b为转移，那么，问题的要求就是应该怎样确定a和b，使得总偏差w（a，b）达到最小值。这种确定参数的方法，叫最小二乘法。所以采用这种方法，是因为使这些偏差的平方和最小，就可保证每一个偏差都小（既然总偏差已很小，而把每个偏差的平方加起来当然不能超过这个总偏差）。

但是在使用最小二乘法时，由于要寻求总偏差极小值，就要用求极值的公式，而求极值的公式是偏导数等于零，这是极值存在的必要条件。偏导数=0，表示w取极大值或极小值，在这里只可以代表极小值，因为这里是求最小总偏差。现在我们要求算的是二元函数w=f（a，b），自变量有两个（a，b），按偏导数求算，只先考虑其中一个自变量的变化率。假设自变量b固定（即看作常数），这时w就是a的一元函数。

w关于a的变化率

就是w关于a的导数，记为（意即由a的微小变动引起w的微小变动所形成的Δw与Δa之比，当Δa趋于无穷小时的极限，即为，又叫微商）。

对第一式和第二式两端同除以-2，得：

移项，得：

这叫作一元线性回归方程X=aY+b的求参数a，b的标准方程组。其中∑Xi，∑Yi，∑Yi2，∑XiYi，（数据的项数，在本例中n=10）都是已知数。只要根据后面表中算出的结果代入，就可列成一个二元线性方程组，来求解未知数a，b（待定参数）。

也可以用行列式法求解上列标准方程组，而得到待定参数a，b的求解公式如下：

把上面所说的已测得的10组数据，按以上两式要求，算出数字，列表于下：

然后把具体数字代入公式：

于是经验公式或回归方程为：

X=1.267Y-30.51

这就是说，一定有一条直线使w达到最小值，所以这样求得的a和b，必然使w最小。

求得a和b数值，就可对任意的Y找出与之对应的X。比如，假设有一年已估算出国民收入为140，即Y=140，要知道这年的需求量究竟是多少？可按下式求出：

X=1.267×140-30.51=177.38-30.51=146.87

上面说明数学上参数的求算方法及其实际运用。就方程式本身说，参数的引入和计算没有什么可以反对的地方。但是我们认为，长时期内经济发展过程的实际变化，绝不可能用参数的不变性来说明，即使一定时期内正确地计算出来的参数，也不能随便把这种过去时期所测得的参数应用到稍远的将来的实际经济联系中去（他们确定每一次参数估算可管以后10年）。而资产阶级经济学家却有意对于经济发展过程中的各种变化不予考虑，这是不对的。比如新产品、代用品的出世，互相代替的影响，就不能忽视。拿小麦来说，未来谷物的歉收或丰收必然影响小麦的需求量；副食品猪肉的需求量又同本身产量价格及鱼类产量、牛肉等产量有关；棉花又同人造纤维制品有关。此外，某一商品对本国产品的需求量，又和进口数量、质量及价格有关；还有风俗习惯爱好的变化、货币贬值程度的影响，等等。所以这种参数的运用完全是主观主义的、形而上学的，或者说有很大的局限性。

其次，在上述参数求算中，只承认因变量在估算方面有误差，自变量没有误差。比如用它来估算国民收入与市场需求的函数关系时，认为只可能出现需求量（或消费量）的统计数字有误差，至于国民收入选择和数据则是准确无误的。但是我们知道，在经济现象之间，就不能假定单独因变量有误差，自变量没有误差，因为可能是都有误差。比如，所选年份有很大主观性；还有国民收入因重复计算就不会准确（例如，把一切服务行业的收入也列为国民收入，就无法正确统计这份收入数字，如理发、餐馆的收入如何统计？），从而统计资料中的国民收入数据也就肯定会有误差。这样，最小二乘法只要求因变量的误差为最小的计算方法，就不适用。而要把自变量误差也压缩到最小限度，这是最小二乘法无能为力的。