多种物资单价变动和多约束时的订购批量决策

3.2　多种物资单价变动和多约束时的订购批量决策

企业在进行批量订购时，物资往往随批量的大小而变动。因而，在批量折扣条件下，如何决定订购批量，是现代物资管理中需要解决的一个常用策略。在确定型条件下，Richad J.Tersine已解决了无约束时单一物品的批量折扣存储策略。但是，它不能解决多种物品需要同时考虑批量折扣，尤其是在多重因素限制条件下的批量折扣问题。对此，提出了在常用的三类约束条件下，多种物资存在批量折扣时的综合优化模型。

3.2.1　模型设计

设有N种物资，每一种物资都存在批量折扣Pik，它表示第i种物质的第k种单价，若以Qi代表第i种物资的订购批量，则有：当0＜Qi＜Xi1时，单价为Pi1；Xi1＜Qi＜Xi2时，单价为Pi2；Xi2＜Qi＜Xi3时，单价为Pi3。其中，Xi1＜Xi2＜Xi3…；Pi1＞Pi2＞Pi3＞…。这里，Xik-1表示k-1和k种价格的物资批量分界点。显然，当区间数为（k-1）时，有价格k种。

当存在批量优惠时，物资订购也常常受到诸如资金、运输等多种因素的制约，这是无可回避的客观现实。所以，为使模型具有使用性，必须兼顾约束条件。通常，资金短缺、仓容有限和采购周期制约，乃是较为普遍存在的状况，不失为一般性，本文只研究三类约束时的情况。

在资金、仓容和采购周期等制约条件下，寻求最佳批量的目标函数可使物资库存总成本最小。它包括物资本身价值、采购费用和保管费用等三部分。

引入：Qij——第j组订购批量中的第种物资批量；Pij——表示与相对应的物资单价；

Ri，Ci——物资的年需求量和采购费用；Wi，f——单位物资占用仓容量和存储费用率；Ti——物资的采购周期（月）；Z，S——分别为平均储备资金限额合乎和最大仓容量。

那么，问题归结为求Qij，在满足：

g1= 0.5 pijQijZ≤

g（2+ i）=12Qij/Ri≥（OR≤）Ti

Qij≥0（I= 1，2，…，N；j= 1，2，…，M）

约束条件下，使目标函数：

最小。

这是一个非线性规划问题。不难证明，目标函数f（θ）和约束g连续可微且具凸函数性质。对此，运用Kuhu- Tucker条件和Largrage乘数法，上述模型变为：

λ_1j，λ_2j，λ_（2+i）j≥0（i=1，2，3…，N；j=1，2，3…，M）

其中，12——表示一年为12个月，λ为非负的largrage乘数。（3）式中“-”号，是当g_（2+i）= 12Q_ij/R_i≥T_I的情况，若为≤T_i，则负号变为“+”号，为简便起见，本文均采用≥T_i时的约束形式，进而可得：

联立求10）-（7- 3- 13）式，即可得到满足多重约束并有批量折扣时的最佳批量Q_ij^*和λ_ij（d=1，2，…，n+ 2；j= 1，2…，h；h≤m）。

3.2.2　模型求解

求解Qij必须通过迭代计算。为此，需要设计新的计算方法才能求出。下面结合实例，给出具体的算法步骤。某企业需批量订购四种物品，有关数据如表7—3—1所示。另外，仓容限额为1570R³，资金限额为11760元，物品存储费用率15%。当有批量折扣时，应如何综合优化订购批量？

表7—3—1　四种物品有关数据

由表7—3—1可见，物品1：当0＜Q1＜150，P11=7，Q1＞150时，P12= 6；物品2：当0＜Q2＜200时，P21= 12200＜Q2＜500时，P22= 11，Q2＞500时，P23=10。其余类推。此例每一种物品的批量价格折扣区间不尽相同。

依据公式（7-3-10）-（7-3-13）和已知条件，具体步骤如下：

第一步，列出m组序列。对于N种物品，需代入N种不同的价格，才能迭代出Qij。为此，首先要排列组合m组价格Pij。

设每种物品的单价有L_i种，显然排列组合总数为m=本例，m= 2×3×3×2=36。

第二步，迭代计算，求出符合约束函数的h组。首先，把m组不同的依次代入（10）式，用不同的λdj，λ₁=λ₂=…=λ_n+2= 0.01始，然后一个值不变，另一个值逐量相加，步长取0.001，如此循环迭代，直到解得符合（11）-（13）式要求的h组（I=1，2，…，h；h＜=m）为止。其次在迭代前，预先给定一个｜ε｜（I=1，2，…，n+2），这是允许误差的最小值。

第三步，调整初步可行解。

第四步，选择最满意的策略。

解决多目标决策问题，首先要确定择优选择的标准。本例中由于采购周期变动很小，主要因素是资金和仓容。为简便起见，本文只考虑以资金占用额少为主要择优+标准。若以V（1，2，…，h）表示第j个可行方案所需资金总占用额，那么Min｛V｝所对应的方案应为最满意的方案。其中，V的计算式为：

V_j=（j= 1，2，…，h）

对于本例，有：

V₁（22组）= 144443.9（元）；V₂（29组）= 152517.2（元）；V₃=（32组）=144444.8（元）；

显而易见，应取V₁对应的可行解。其结果如表7—3—2所示：

表7—3—2　最佳订购批量参数

从表7—3—2可见，资金平均占用额为11635.5元，未超过限额11760元；仓容占用1569.6R³几乎与限量1570R³一致；采购周期也都在规定的时期之上。可见，计算的精度高，达到了预定目标。

此外，四种物品的订购批量都处于第2个折扣区间内，依次为222，321，672和500件；其队员的价格分别是6，11，14和18元。这就是在资金、仓容和采购周期多重约束下，应选择的批量折扣策略。

容易算得，在三重约束下四种物品的库存费用和在无约束时各种物资的库存费用及占用资源。无约束状态下，由于批量加大，因而前者采购费用1808.7元小于后者的1898.57元，节约89.87元，然而保管费用却增加54.67元。它表明资金、仓容和采购周期制约影响的综合结果，使存储成本增加35.33元，同时使平均库存资金占用额削减364.5元（12000- 11635.5），仓容之积占用减少165.4 R³（1735- 1569.6）。而λi则表示资源的边际价值，即放宽j种资源量能够降低库存成本的影子价格。其中λi=0.01最大，它意味着资金的边际价格也最大。

综上所述，本文给出的综合优化模型和算法设计是可行的。在计算机的支持下，并未增加计算上的困难，而且使批量折扣策略，更加符合经营实际，进一步增加了实用性、合理性和科学性。