生产计划问题的实际应用

子任务4.3　生产计划问题的实际应用

4.3.1　任务引入

【任务4-3】　假定某生产企业生产某批产品的固定成本为3000元，若不生产该项固定成本就为0元；每万件产品的成本为1000元；每个季度生产能力所允许的最大装配量不超过60000件；每个季度末未售出的产品，每万件每季度需付存储费500元，还假定在第一季度的初始库存量为0，第四季度末的库存量也为0。试问该企业应如何安排每个季度的生产与库存，才能在满足市场需要的前提下，使总成本最小。（市场需求量见表4-13）

表4-13

4.3.2　任务分析

生产计划总是按时间段进行安排的，因此对于利用动态规划的方法进行求解更有利。

我们把每个季度当成一个阶段，这样该计划共可分为4个阶段。根据已知的每单位产品的生产成本和库存保管费用，求出每一阶段的最佳的生产和库存的费用，最终使得总费用最低。

阶段数N=n

状态变量s_k：第k阶段结束时的产品库存量；

决策变量u_k：第k阶段产品的生产量；

状态转移方程：s_k=s_k-1+u_k-a_k　其中a_k为第k阶段产品的需求量；

阶段效益：d_k（s_k，u_k）=c_k（u_k）+h_k（u_k），其中c_k（u_k）为第k阶段的生产费用；h_k（u_k）为第k阶段的存储费用；

最优值函数f_k（s_k）：表示从第k阶段到计算期末生产与库存的最小总费用；

逆序递推关系式为：

4.3.3　任务实施

步骤一　分阶段建立模型

此问题可看成是4个阶段的决策问题，生产的第k个月相当于问题的第k个阶段。

状态变量s_k为第k阶段初产品的库存数；

决策变量u_k为第k阶段的生产量，u_k≤6；

状态转移方程：s_k+1=s_k+u_k-a_k，其中a_k为第k阶段的需求量；

阶段效益

最优值函数f_k（s_k）：从第一阶段初始库存量为零到第k阶段末库存量为s_k时的最小总费用；

逆序递推公式为：

步骤二　递推过程

（1）第四阶段（k=4）

因为第四季度的需求为4，月末的库存为0，所以a₄=4，s₅=0。这样，由状态转移方程s₅=s₄+u₄-a₄可得s₄=4-u₄或u₄=4-s₄。

因此　f₄（s₄）=min｛d₄（s₄，u₄）｝=min｛d₄（s₄，4-s₄）｝

又由于u₄≥0，所以s₄=0，1，2，3，4具体计算结果见表4-14。

表4-14

（2）第三阶段（k=3）

此阶段a₃=2。由于0≤s₄≤4，所以，由s₄=s₃+u₃-2可得0≤s₃+u₃-2≤4，即2≤s₃+u₃≤6，u₃≥0，故s₃的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，因此，

D₃（s₃，u₃）=｛u₃｜2≤s₃+u₃≤6，s₃=0，1，2，3，4，5，6｝

于是，计算f₃（s₃）=min｛d₃（s₃，u₃）+f₄（s₄）｝，其结果见表4-15。

表4-15

（3）第二阶段（k=2）

此阶段a₂=3。由于0≤s₃≤6，因此，由s₃=s₂+u₂-3可得0≤s₂+u₂-3≤6，即3≤s₂+u₂≤9，且u₂≥0。

如果此时认定s₂=0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，则没有简化问题，事实上由于s₁=0，又u₁≤6，则s₂=s₁+u₁-2=u₁-2，故s₂≤4，即s₂的可能取值为0，1，2，3，4。因此，D₂（s₂，u₂）=｛u₂｜3≤s₂+u₂≤9，s₂=0，1，2，3，4｝，于是具体计算结果见表4-16。

表4-16

（4）第一阶段（k=1）

由上已知s₁=0，s₂=u₁-2。因s₂≥0，故u₁≥2；而u₁≤6，所以2≤u₁≤6。于是由

f₁（0）=min｛d₁（0，u₁）+f₂（s₂）｝计算，可得表4-17中的结果。

表4-17

步骤三　结论

顺序递推，　　s₁=0　　　　　　　　　　　→u₁=5

　　　　　　　s₂=u₁-2=3　　　　　　　 　→u₂=0

　　　　　　　s₃=s₂+u₂-3=3+0-3=0　　　　→u₃=6

　　　　　　　s₄=s₃+u₃-2=0+6-2=4　　　　→u₄=0

可得：u₁=5，u₂=0，u₃=6，u₄=0，f₁=20.5

即第1，3季度分别生产5万件、6万件，第2，4季度不生产。