是什么赋予这些方程以生命，并制造出一个被它们所描述的宇宙？
斯蒂芬·霍金
为什么是这些公式，而不是其他的呢
假设你是一位物理学家，你发现了一种方法，能将所有物理定律统一到一个“万物理论”中。用这个万物理论的数学公式，你能回答一切让当代物理学家们辗转反侧的问题，比如量子引力究竟是如何运作的，以及怎样解决测度问题。印着这些公式的T恤成了畅销货。你因此获得了诺贝尔奖。你欢欣鼓舞。然而，在颁奖典礼的前一夜，你却忐忑不安、夜不能寐，因为你内心纠结着一个有些难堪的问题，这个问题也正是我的英雄——约翰·惠勒提出的一个至今无人能回答的问题：为什么会是这些特定的公式，而不是其他公式呢？
在前两章里，我论证了数学宇宙假说。这个假说认为，我们的外部物理实在其实是一个数学结构。这再次凸显了惠勒的问题。数学家们已经发现了大量的数学结构，图11-1的各方框中列举了一些最简单的例子。
图11-1 一些基本数学结构之间的关系。一般而言，箭头指示着后来加上的新符号和/或新定理。多个箭头指向同一处，表示结构的组合。比如，代数是一个向量空间，也是一个环，而一个李群（Lie group）同时也是一个流形群。如果整个谱系扩展开来，可能无穷无尽，该图只展示了靠近底部的一小部分。
然而，尽管有些数学结构也许能描述某些有限的局部，但没有一个与我们的物理实在完全符合。1916年，广义相对论成了最匹配的候选者，它不仅涵盖了时间和空间，还描述了物质的多种形式。但是，随着量子力学的兴起，人们很快会发现，我们的物理实在中有些特点是无法用广义相对论的数学结构来解释的。幸运的是，由于你发现了那个接近“万物理论”的方法，所以你现在可以扩展这张图，为其加上你所发现的那个数学结构。倘若你加上的方框正是人们寻觅已久的那个完全符合物理实在的方框，那你就真能实至名归地把诺贝尔奖抱回家了。
这时，我仿佛听到约翰·惠勒那慈祥的声音突然响起在耳边：“可是，其他方框呢？”如果你的方框很符合物理实在，那么为什么其他的不行呢？
所有方框所根植的数学基础都是平等的，只不过数学结构不同。那么，为什么在物理实在面前，其中一些比另一些更平等呢？在实在的最深处，是否真的存在一个根本性的、无法解释的不对称，将各种数学结构划分成两个阵营——拥有物理实在的数学结构和缺乏物理实在的数学结构？
数学民主主义，一种激进的柏拉图主义
早在1990年那个在伯克利的夜晚，我脑中第一次冒出了“数学宇宙”的想法。在国际公寓五楼宿舍外的走廊上，我把这个想法告诉了我的好友比尔·波里尔。那晚，这个问题真的搅得我心神不宁。直到我脑袋里的灯泡熄灭，我意识到，有一条路可以把我带出这个哲学困境。我向比尔辩称，彻底的数学民主主义是说，数学存在和物理存在是等价的，因此所有存在于数学中的结构，也都存在于物理中。这样，图11-1中的其他方框也都各自描述了一个物理上实在的宇宙——同我们碰巧栖居的这个宇宙不一样的宇宙。这可以被看作一种激进的柏拉图主义：柏拉图“思想境界”中的所有数学结构都以物理形式存在于“洞穴之外”的某处。
换句话，这个观点就是说，在我们之前所讲到的三层平行宇宙之外，还有一些更加硕大无朋的第四层平行宇宙，各自对应着不同的数学结构。前三层平行宇宙相当于同一个数学结构中无法相互交流的平行宇宙：第一层平行宇宙，简单地说就是遥远的区域，光线没有足够的时间来赶上我们；第二层平行宇宙覆盖的区域，由于我们与它们之间的空间发生了宇宙学暴胀而永远遥不可及；第三层平行宇宙，也就是埃弗雷特所说的“多世界”，讨论的是量子力学的希尔伯特空间内无法交流的各部分。
然而，不管是第一、第二还是第三层平行宇宙，都遵循着相同的基本数学公式（描述了量子力学、暴胀等），第四层平行宇宙则像穿梭于不同调式中的翩翩舞者，涉入了不同的公式，对应着不同的数学结构。图11-2用分层的形式展示了这四层多重宇宙，这正是本书的核心内容之一。
我们的数学宇宙
假如第四层多重宇宙的理论是正确的，那么，由于它没有任何自由变量，所有平行宇宙的全部性质（包括那些自知的子结构所产生的主观感知）原则上都能由一个极其聪明的数学家推导出来。可是，这个理论正确吗？第四层多重宇宙真的存在吗？
有趣的是，在数学宇宙假说的语境中，第四层多重宇宙的存在是毋庸置疑的。我们在第10章中已经详细讨论过，数学宇宙假说认为数学结构正是我们的外部物理实在，而不仅是它的描述。这种物理实在与数学实在之间的等价关系意味着，假如一个数学结构包含一个自知的子结构，它将会像身在真实的物理宇宙中一样，感知到自己的存在，就像你和我（尽管那个宇宙的各种特性和我们不一样）。霍金曾发出一个著名的疑问：“是什么赋予这些方程以生命，并制造出一个被它们所描述的宇宙？”在数学宇宙假说的语境中，不需要向方程“赋予”什么生命，因为重点并不是数学结构如何描述了宇宙，数学结构本身就是宇宙。此外，也不需要什么“制造”。你不能“制造”出一个数学结构——它单纯地存在着。它不存在于时间和空间中——更可能是反过来，空间和时间存在于它之中。
换句话说，所有存在于数学上的结构都有一个相同的存在状态。最有趣的问题不是它们中的哪些以物理形式存在着（它们都是），而是哪些蕴含着生命——或许，蕴含着我们。许多数学结构（比如正十二面体）缺乏足够的复杂性来支撑任何自知的子结构。因此，第四层多重宇宙很有可能像一片幅员广袤但了无人烟的沙漠，生命只被局限在极其罕见的绿洲中，局限在那些对生命友好的数学结构中，比如我们栖身的这个。与之类似，我们在第5章也曾看到，大部分第二层多重宇宙也是贫瘠的荒漠，生命被局限在太空中小小的“宜居带”内，因为只有这里的暗能量密度等物理参数适宜生命的繁衍生息。第一层多重宇宙中也上演着同样的故事——生命仅繁盛于太空中很小的一部分，主要位于行星表面附近的区域。因此，我们人类栖身的地方，实在是非常特别！
图11-2 本书所描绘的平行宇宙，用一个四级的层级结构来表示。这里，每一个多重宇宙都是上一层多重宇宙中的一个单元。
我们附近的邻居
让我们花一些时间来探索第四层多重宇宙，以及其中繁复多样的数学结构吧。先从附近的邻居开始。虽然我们尚不知晓自己所处的这个数学结构究竟是什么，但不难想象，对其进行一些小小的调整，就可能衍生出其他合理且有效的数学结构。比如，粒子物理学的标准模型包含某些对称性，数学家们将其描述为SU（3）×SU（2）×U（1）。如果用其他不同的对称性来替代它们，我们就能得到一个拥有不同粒子和作用力的数学结构，其中，夸克、电子和光子被其他具有全新特性的实体所取代。一些数学结构中没有光，还有一些没有万有引力。爱因斯坦对时空的数学描述中，数字1和3分别代表时间和空间的维度，此时为了进行调整，你可以随便找两个数字来替代它们。
第5章中我们已经讨论过，尽管一个数学结构中只拥有一组基本物理定律，但暴胀能在空间中的不同区域创生出不同的有效物理定律，形成第二层多重宇宙。而现在，我们正在讨论一些更加彻底和激进的东西，在这里，哪怕是最基本的物理定律也不尽相同，比如，根本没有量子力学。假如弦理论能用数学来严格定义，那么一定存在一个数学结构，它的“万物理论”正好就是弦理论，但除此之外的其他第四层多重宇宙的万物理论却可能迥然相异。
在思考第四层多重宇宙时，我们需要任想象力自由飞翔，不要让它被我们先入为主的观念所束缚，比如物理定律理应是什么样的。想一想空间和时间：它们不一定非得与我们熟知的那样是连续的，也可以是离散的，就像电子游戏“吃豆人”、俄罗斯方块一样，所有动作都像抽筋一样跳跃。只要关闭所有的用户输入，让时间演化循着确定的方向计算下去，那么，这些游戏都能成为有效的数学结构。比如，图11-3中展示了一个3D的俄罗斯方块游戏，叫作“FRAC”，它是我和好友佩尔·柏格兰（Per Bergland）于1990年开发的。如果你玩这个游戏时不按键盘（这可不是得高分的好策略），那么整个游戏，从开头到结尾都会被程序中简单的数学规则所决定，这让它也成了一个数学结构，成为第四层多重宇宙的一部分。甚至有许多人猜测，我们所在的宇宙里也可能藏着时空不连续点，但由于规模太小，隐于毫厘之间，尚未被我们注意到。
让我们更彻底一点：一些数学结构，完全摒弃了时间和空间，因此我们根本想象不出里面会发生什么事。图11-4所列举的大部分结构都是这种类型。在一个抽象的十二面体中，什么都不会发生，因为这个数学结构中不包含时间。
图11-3 3D俄罗斯方块游戏FRAC体现了一个时空离散而非连续的数学结构。
图11-4 计算机程序能自动生成一个有序的总览表，包含所有有限的数学结构。其中，每个结构都编码为一串数字。本图举了一些例子，采用了我2007年所发表的数学宇宙论文中的编码方案。第二列中的文字和图解则是冗余的包袱，反映了我们人类为这些结构所起的名字和所画的图示。
我们在第四层多重宇宙中的“邮政编码”
我们在第9章中讨论过，一个数学结构就是一组简单的抽象元素以及它们之间的关系。为了更系统地探索第四层多重宇宙，我们可以写一个计算机程序来自动生成一系列数学结构，从最简单的开始，循序渐进到愈发复杂的个体。图11-4展示了这种序列中的10个条目，采用了我2007年所发表的数学宇宙论文中的编码方案。编码的细节并不重要，但有一点需要注意：它有一个美好的特点，每个元素数量有限的数学结构都会出现在这个序列里的某个地方。所以，每个有限数学结构都能用一个数字来表示，也就是它在这个总览表中的行编号。
扫码获取作者的论文，查看编码方案。
对有限的数学结构来说，所有关系都能用有限的数表来描述，这种方法是从乘法表中归纳出来并推至其他关系的。如果一个结构的元素数量十分庞大，数表就会变得长篇累牍，从而产生极大的编码，序列往下拉不到底。然而，在这些大结构中，有少量体现出了优雅的简单性，使它们极易被描述。比如，一个数学结构的元素是整数：0、1、2、3……它们的关系是加法和乘法。如果为了详述它们的乘法关系而写下所有相乘的数对，这将形成一个庞大的乘法表。即使只写前100万个数字，也要画出一个100万行×100万列的巨大表格，包含着1万亿个条目。这将是一种巨大的浪费。所以，我们在教小学生乘法时，只需要把乘法表的前10个数字教给他们，然后教他们使用简单的运算法则来计算多位数乘法就可以了。比起小学生，我们教计算机算乘法的方法更有效——将数字转化为二进制，这样，我们只需要为0和1准备一张2×2见方的乘法表，再加上一个短短的程序，计算机就学会了如何计算任意大的数字。
一个计算机程序是以一个由0和1组成的有限串（位串，bit string）存储起来的，也可解释为一个二进制的整数。这让我们可以用另一种方法来编码和列举图11-4中的数学结构，即对某一个数学结构，找出所有能描述它全部元素关系的计算机程序，并挑选出位串最短的那个，用其对应的二进制整数来代表这个数学结构。只要这种描述够简单，它就会出现在更靠近序列顶端的地方，即使它的元素很多，体积很庞大。复杂性理论（complexity theory）的先驱雷·索洛莫洛夫（Ray Solomonoff）、安德雷·科尔莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov）和格里高利·蔡廷（Gregory Chaitin）将位串的算法复杂性（algorithmic complexity，或简称为复杂性）定义为：最短的完备描述的位长，例如输出那个位串的计算机程序。这意味着，用这种方法调整过的总览表是以数学结构的复杂性按照升序排列的。
这种总览表的精妙之处在于，它也能处理那些拥有无限多元素的数学结构。比如，为了定义一个包含所有整数及其加法和乘法的数学结构，我们只需指定一个最短的程序，让它能读入任意大数，并运行加法和乘法就行——Mathematica软件和其他计算机代数软件包中都有这样的算法。涉及连续统上无限多个点的数学结构（如时空、电磁场和波函数），也能在计算机上用有限的数学结构来近似计算。实际上，我和我的同行们在实践中进行理论物理学计算时，就是这么做的。
总而言之，要系统地描绘第四层多重宇宙的图景，可以用计算机列举数学结构，并研究它们的性质。假如有一天，我们真能确定我们宇宙的数学结构，就能用它在总览表中的序号来指代它。此时，我们将能第一次确定自己在整个物理实在中的“地址”，正如图11-5中那个异想天开的信封一样。地球上各个国家都有各自的方式来指定地址，比如，有的邮编全是数字，有的邮编包含字母，有的甚至根本不用邮编。同样，在多重宇宙中，你书写地址的方式也会随着数学结构的不同而发生变化：大多数平行宇宙既没有量子力学也没有暴胀，因此缺乏第一、第二和第三层平行宇宙，更没有行星；而其他宇宙，有可能包含着其他类型的平行宇宙，呈现出我们做梦都想象不到的样子。
图11-5 为了确定我在整个物理现实中的准确地址，我需要列出我在第四层多重宇宙中的位置（即我的数学结构序号），我在第三层多重宇宙中的位置（即我在量子波函数中的分支），我在第二层多重宇宙中的位置（即我在暴胀后的哪一个泡泡中），我在第一层多重宇宙中的位置（即我的视界范围），以及我在这个宇宙中的位置。在这个例子中，我只列出了有限的数字。但每层多重宇宙中都可能存在着无限多个成员，这使得我的地址超级长，长到这个信封根本写不下。
第四层多重宇宙的结构秘密
研究第四层多重宇宙是一件有趣的事。如果我们用通俗的形式主义把数学定义为“对数学结构的研究”，那么对第四层多重宇宙的研究就应该是数学家的营生。像我这种相信数学宇宙假说的物理学家，研究它就相当于探索终极的物理实在，并寻觅我们在其中所处的位置。此外，从便利的角度来说，比起另外三个层级较低的多重宇宙，探索第四层多重宇宙更容易一些，甚至比探索我们自己的宇宙还简单，因为它不需要火箭和望远镜，仅仅需要计算机和思想就足够了！因此，我花了很多年的时间醉心于编写计算机程序，来演算这种数学结构的表格，以及我们刚刚讨论过的那些分类，并深深地乐在其中。
在实际操作时，你会遭遇到巨量的冗余。许多不同的编程方法都能实现同一个计算，同样地，也有相当多等价的方法，能用数表来描述有限的数学结构，比如，各自对应着不同的元素排序和标记方法。数学结构和描述是等价的（见第9章），因此，每一个数学结构在总览表中都只会出现一次，并且是用它最短的那个等价描述来指代的。
将任意两个数学结构的所有元素和关系组合起来，就可以得到一个全新的结构。总览表中的许多结构都是这种复合形式。在研究第四层多重宇宙的时候，理应忽略它们的存在。这是因为两部分之间并没有新的连接，这意味着，其中一部分中的自知观察者永远也不会意识到另一部分的存在，也不会受其影响，所以他完全可以表现得好像另一部分根本不存在一样，或者说，另一部分并不存在于他这部分数学结构中。唯一需要留心复合结构的情况是，如果它们都进入了测度问题的解中，改变了你被分配到不同数学结构中的概率。由于复合结构描述起来更加复杂，它们通常都位于总览表中很靠下的位置，比组成它们的部分都靠下，所以它们拥有更低的“测度”。实际上，对第四层多重宇宙中任意一个序号为有限数的结构来说，在总览表中极其靠下的位置，都存在一个完全由它自身组成的复合结构。
尽管在第四层多重宇宙中，不同的数学结构之间并不以任何物理的方式连接在一起，但在元层面，它们之间依然有很多有趣的关系。比如，我们刚说到，某些数学结构可以是另外一些数学结构的组成部分。还有一个例子是，一个结构可以在某种意义上描述另外的结构——第一个结构中的元素可以对应着第二个结构中的关系，并且第一个结构中的关系可以描述当你把第二个结构中的关系组合起来时会发生什么事。从某种意义上说，图11-4中拥有24个关系的“立方体旋转”能被一个数学家称为“立方体旋转群”的数学结构描述，后者拥有24个元素，每个元素分别对应着让一个完美立方体看起来不变的24种可能的旋转方法。许多不同的数学结构都拥有这种立方体对称性，所以有人认为它们就是“立方体”。比如，有些结构的元素对应着立方体的面、角和边，还有一些结构的关系表征了旋转如何重新排列元素，或者哪些元素彼此相邻。
局限：不可判定、不可计算和不可定义
第四层多重宇宙有多大？首先我会告诉你，一共有无数多个无限的数学结构。我们刚说到，它们都可以被放入一个拥有数字序号的表格中，所以“无数多”的意思准确而言就是1、2、3……往下数不到头。那么，第四层多重宇宙到底包含着多少个数学结构，每一个数学结构又包含多少元素？我们看到，一些无限的结构也可以和有限的结构一起被定义和包含在总览表中，只需要用计算机程序来确定它们之间的关系就可以。然而，拥抱无穷大就仿佛打开了潘多拉的魔盒，从中飞出了无数的存在论问题。要明白这个，来考虑一个数学结构，它的元素是数字1、2、3……包含着下面列出的3种关系（函数），规则是：给定一个输入数字，根据下面列出的定义计算出一个新的数字。
●P（n）：给定一个数字n, P（n）表示大于n的最小质数。
●T（n）：给定一个数字n, T（n）表示大于n的最小的孪生质数（孪生质数是指一种质数，存在着一个与它只相差2的质数；11和13就是两个孪生质数的例子）。
●H（m, n）：给定两个数字m和n，在包含着所有计算机程序的总览表中，如果输入n个比特时，第m个程序能够永远运行下去，那么H（m, n）就等于0；但如果程序会在有限步数后停止，则H（m, n）等于1。
这个数学结构满足第四层多重宇宙的成员标准吗，或者说，它的定义是否还不够良好？第一个函数P（n）只是小菜一碟：我们很容易写出一个程序，一开始检查n后面的数字是不是质数，如果找到质数就自动停止。并且我们可以肯定地说，这个程序一定会在有限步骤后停下来，因为我们知道有无数多个质数——欧几里得在两千多年前就已经证明了这一点。所以P（n）就是一个被我们称为“可计算函数”（computable function）的例子。
第二个函数T（n）很是狡猾：我们也可以轻松写出一个程序，来检查一下n后面的每个数字是不是一个孪生质数，但是，如果你输入的数字n大于375 680 169 568 52 666669-1（这是我写到此处为止，人类发现的最大质数[65]），没有人敢保证程序终将停下，并给出一个确定的答案。因为即使我们最天才的数学家付出了最大的努力，我们依然不知道是否有无数多个孪生质数。所以，迄今为止，我们并不知道T（n）是不是一个可计算函数，也不知道它是不是被严格定义的。这种拥有模糊关系的数学结构是否能被称为定义良好的数学结构呢？目前尚存争议。
第三个函数H（m, n）更像是个“不法分子”。计算机科学先驱阿隆佐·邱奇（Alonzo Church）和艾伦·图灵（Alan Turing）认为，没有一个程序能在有限步骤内对任意的输入数字m和n计算出H（m, n），所以H（m, n）是一个所谓的“不可计算函数”（uncomputable function）的例子。换句话说，不存在一个程序能确定其他程序最终将终止。当然，任何一个程序都只有两种结局，要么停止，要么不停止，但是就像孪生质数的例子一样，你可能永远也不知道答案。邱奇和图灵对不可计算函数的发现与逻辑学家库尔特·哥德尔（Kurt G del）的另一个发现非常接近，即某些算术定理是不可判定的，意味着在有限步骤内无法证明它们是真是假。
如果一个数学结构包含着像函数H这种连超强计算机也无法估量的关系，它还能被看作定义良好的吗？如果是这样，它的结构只能被某些圣人般的实体所认识，因为只有圣人才具备无限的能力，能进行无穷多步的计算以得到答案。这样的结构永远不会出现在我们前面曾讨论过的总览表中，因为总览表只涵盖了那些可用普通计算机程序定义的数学结构，而不包含那些需要无限神力才能定义的结构。
最后，让我们来看看本时代最流行的数学结构之一，也就是所谓的实数，比如3.141 592……，它的小数位无穷无尽。它们组成了一个连续统。哪怕你只想详细写出其中一个数，也需要列出小数点后的无穷多个数字，那可是无穷多的信息。这意味着，传统的计算机程序要处理它们简直毫无希望。问题不仅在于要像函数H一样，用一个有限的输入进行无限步运算，还在于要输入和输出无穷多的信息。
另外，哥德尔的研究还让我们担心数学宇宙假说由于涉及无限的数学结构而陷入毫无意义之境，因为我们的宇宙从某种意义上说是自相矛盾或定义不良的。如果你赞同数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）的名言“数学存在是摆脱了矛盾的自由”（mathematical existence is merely freedom from contradiction），那么，根据他的说法，不一致的结构根本不会存在于数学中，更不用说像数学宇宙假说所认为的那样，存在于物理世界中了。物理学标准模型涵盖了常见的数学结构，比如整数和实数。但是，哥德尔的研究开启了一个可能性，即日常使用的数学可能是不一致的，并且，数论本身中存在一个长度有限的使得0=1的证明。用这个惊人的结论，只要某个关于整数的论断在语法上是正确的，那它就能被证明为真，那么，我们所知的数学就会像纸牌屋一般坍塌。
那么，数学宇宙假说是否被哥德尔不完备定理排除在外了呢？不，据我们目前所知，并没有！哥德尔告诉人们，不管一个形式系统多么强大，我们都无法用它本身来证明它的一致性，但这并不意味着它就是不一致的，也不意味着我们遇到了大麻烦。实际上，尽管我们的宇宙显露出了数学结构的线索，但并没有表现出任何不一致或定义不良的迹象。此外，我们期望看到什么呢？即使一个形式系统可以证明它本身的一致性，我们也无法确信它真的是一致的，因为一个不一致的系统可以证明任何事，包括它自身的一致性。相比之下，我们可能更容易相信，具备一致性的简单系统可以用来证明更复杂的系统的一致性。然而，不出所料，这是不可能的，哥德尔也证明了这一点。我和许多数学家都是好友，但我从未听过有人说现代物理学中主要的数学结构（如伪黎曼流形、卡拉比-丘流形、希尔伯特空间等）其实是不一致的。
所有这些与不可判定性和不一致性有关的不确定性只能运用于元素数量无限多的数学结构。上一章中我们看到，困扰现代宇宙学的测度问题也只能运用于元素数量无限多的数学结构，这引出了一个恼人的问题：无穷大，不可判定性、潜在的不一致性和测度问题真的存在于终极物理实在的本质之中吗，抑或只是海市蜃楼、我们玩火的造物，或是一件用起来很方便的强大数学武器（比那些真正描述我们宇宙的东西更方便）？更具体地说，数学结构究竟要定义到什么程度，才能被称为真实，也就是成为第四层多重宇宙的成员？下面列出了一些有趣的可选范围：
●没有结构（即，数学宇宙假说是错误的）。
●有限的结构。这些结构很平凡，拥有可计算性，因为它们所有的关系都能通过查阅有限数表的方式定义出来。
●可计算的结构（它们关系的定义来源于计算的终止）。
●一种结构，它的关系由无法保证是否会终止的计算来定义（也许需要无数多步的计算过程），比如前面所说的函数H。
●更加一般的结构，比如涉及连续统的结构，其中的典型元素都需要无限量的信息来描述。
可计算宇宙假说
其中一个有趣的可能性是可计算宇宙假说。也就是说，它的范围以上述第三个选项为限，更一般的结构不满足要求。
可计算宇宙假说
我们的外部物理实在是一个数学结构，该结构是由可计算函数来定义的。
定义数学结构的关系（函数）可以用有限步骤后必定终止的计算来执行。如果可计算宇宙假说是错误的，那么，还有一个更加保守的假说，也就是以第二个选项为限的有限宇宙假说（Finite Universe Hypothesis, FUH），即我们的外部物理实在是一个有限的数学结构。
我发现了一件很有趣的事情：正如我们上一章结尾所讨论过的那样，数学家们对密切相关的问题进行了激烈的争论，但这些争论中却丝毫没有提到物理学。数学家中的有限论学派包括利奥波德·克罗内克、霍尔曼·外尔（Hermann Weyl）、鲁宾·古德斯坦（Reuben Goodstein），他们认为一个数学对象必须能用整数在有限的步数内构建出来，才算存在，否则就不算存在。这种观点，其实就是前面提到的第三个选项。
根据可计算宇宙假说，我们的物理实在是一个数学结构，这个数学结构拥有可计算的抽象性质，所以它的关系都是可计算的，从这个意义上说，它的定义就是良好的。这样，我们的宇宙中没有任何一个物理性质是不可计算/不可判定的，这就打消了由邱奇、图灵和哥德尔的研究所带来的顾虑，因为他们的研究认为我们的世界不完整或不一致。我并不知道我们的物理实在究竟拥有哪些性质，但我相信这些性质是存在的，因为它们的定义是良好的——我毫不怀疑大自然是否知道它自己在做什么！
许多作家都很困惑，为何我们的物理定律看起来如此简单？比如，为什么粒子物理学标准模型拥有如此简单的对称性，我们称之为SU（3）×SU（2）×U（1），只需要第9章中提到的区区32个参数就可以了，而大多数替补方案却复杂得多？不难推测，或许正是因为可计算宇宙假说限制了大自然的复杂性，才造就了这种相对的简单性。通过抛却连续统，可计算宇宙假说也许还能帮助我们精简暴胀的宇宙图景，并解决上一章讨论过的宇宙学测度问题——测度问题很大程度上与连续统所造成的指数型拉伸有关，这种拉伸会永远进行下去，并创造出无穷无尽的观察者。
这些都是好消息。尽管可计算宇宙假说拥有很多诱人的特征，比如，保证了我们的宇宙是严格定义的，或许还能通过限制事物的存在而缓解宇宙学测度问题，但它也将一些亟待解决的严峻挑战摆在了我们的面前。
关于可计算宇宙假说的第一个顾虑就是，它听起来很像是对哲学高地的妥协，实际上是作出了让步：它承认，尽管所有可能的数学结构都“存在于某处”，但其中一些拥有特殊的地位。然而，我猜可计算宇宙假说如果真是正确的，那它的正确表述应该是：由于数学图景中的其他区域都只是幻觉，那么从根本上说，它们的定义不良，所以根本不存在。
还有一个更直接的挑战是，我们目前的标准模型（实际上包括了历史上所有成功的理论）都违反了可计算宇宙假说，并且，我们根本不知道是否存在一个有效的、可计算的替代方案。对可计算宇宙假说的违反主要来源于对连续统的体现。连续统大多是以实数或复数的形式，而实数或复数根本无法将输入限制在有限的计算之内，因为它们都需要无数多的比特来确定。甚至某些将时空离散化或量子化、以试图抛弃经典时空连续介质的方法，都倾向于在理论的其他方面保留连续介质变量，例如电磁场强度或量子波函数的振幅。
面对连续统的挑战，有一种有趣的方法：用一个对连续统进行可计算仿真的数学结构来代替实数，例如数学家们所谓的“代数数”（algebraic numbers）。还有一种我认为很值得探索的方法，那就是从根本上放弃连续统，并尝试用近似值来还原。之前我曾提到过，物理学上，我们对物体的测量从来不会超过16位有效数字，也从未有一个实验的结果是取决于“连续介质真实存在”这一假说，或者说取决于大自然对那些不可计算之物的计算。令人惊讶的是，经典数学物理中的许多连续介质模型（例如描述波、漫射和液体流动的方程）其实都只是对一堆离散原子的近似计算。量子引力研究甚至暗示着，即使是经典的连续时空也会在非常小的尺度上分崩离析。
因此，我们不能确定，那些我们仍以连续统来对待的量（如时空、场强和量子波函数振幅）是否只是对离散的近似计算。实际上，某些离散的可计算结构（实际上正是满足有限宇宙假说的有限结构）对连续介质物理模型的近似实在是太棒了，每次我们物理学家需要进行实际运算时，都会使用它们，这就留下了一个问题：我们宇宙的数学结构究竟是更像前者，还是更像后者呢？一些作者走得更远，如康拉德·楚泽（Konrad Zuse）、约翰·巴罗、尤尔根·施密特胡贝尔（Jürgen Schmidhuber）和斯蒂芬·沃尔夫拉姆（Stephen Wolfram），他们认为，大自然的定律不仅是可计算的，也是有限的，就像元胞自动机或计算机模拟。（然而请注意，这些理论与可计算宇宙假说和有限宇宙假说不同，因为它们认为一个结构要可计算，只需要时间演化[time evolution]，而不需要对关系的描述。）
更有甚者，物理学中还有一些例子，让某些连续介质（如量子场）能产生出离散的解（就像一个晶格），于是在大尺度上看起来很像一种连续的介质，并像所谓的声子（一种离散粒子）那样振动。我在MIT的同事文小刚证明，这种“自然发生”的粒子的行为甚至可能与标准模型中的某些粒子很相似，带来了另一种可能性，或许，在一个终极的、连续的可计算结构之上，有着多层有效连续介质和离散描述。
第四层多重宇宙的超越结构
前面我们探索了数学结构和计算之间的密切关系：后者定义了前者。从另一个角度说，计算只是数学结构的特殊情况。例如，数字计算机的信息量（内存状态）是一个位串，比如“100 101 110 011 100 1……”，虽然很长，但长度依然是有限的，与某个虽大却有限的整数n的二进制形式是等价的。计算机信息处理是一个确定的规则，它将每个内存状态转变成另一个（一次又一次，周而复始），从数学上说，它只是一个将整数映射到自身的函数f，不停地迭代：n→f（n）→f（f（n））→……也就是说，即使是最精妙的计算机模拟也只是一个数学结构的特殊情况，因而包含在第四层多重宇宙中。
从图11-6中可以看出，计算不仅和数学结构相互关联，二者还分别与形式系统（formal systems）相关联。数学家们在证明有关数学结构的定理时使用的公理和推理规则所组成的抽象符号系统，就叫作形式系统。图11-1中的方框就相当于这种形式系统。如果一个形式系统描述了一个数学结构，那么数学家们就说，后者是前者的一个模型（model）。此外，计算还能在形式系统中产生出定理（实际上，对某些种类的形式系统来说，存在一些可以计算所有定理的算法）。
从图11-6中还可以看出，三角形的每个顶点都存在一些潜在的问题——数学结构可能包含不可定义的关系，形式系统可能包含不可判定的陈述，计算可能不会在有限步骤后终止。三者之间的复杂关系用图中6个箭头来表示。这些箭头涉及的学科范围很广泛，从数理逻辑到计算机科学，应有尽有，并且每个领域都有不同的专家进行过大量的研究。因此，整个三角形是跨学科的，我认为它值得更多的关注。
图11-6 箭头指示出了数学结构、形式系统和计算之间的密切关系。中间的问号表示，这三者都是某种超越结构的一个方面，但这个结构的性质尚不为人所理解。
我在三角形的中间画了一个问号，意思是说三角形的三个顶点（数学结构、形式系统和计算）都是某个基本超越结构的不同方面，而我们依然不理解这个结构的性质。这个结构（或许，依据可计算宇宙假说被限定在可定义的/可判定的/可终止的部分）以某种不含任何“包袱”的形式“存在于某处”，并且，在数学上和物理上都同时存在。
本章到目前为止，我们已经论证了终极的物理实在就是第四层多重宇宙，并且已开始探索它的数学性质。现在，让我们来探索一下它的物理性质，以及第四层多重宇宙所带来的其他暗示。
数学结构都拥有对称性
如果我们将注意力转向总览表中某些特定的数学结构上（总览表可被看作第四层多重宇宙的地图集），那么，我们如何才能得知，其中自知的子结构将会如何感知该数学结构的物理性质呢？也就是说，一个无限聪慧的数学家要如何从它的数学定义开始，推演出第8章中提到的“共识实在”的物理描述呢[66]？
我们在第9章论证过，这位数学家的第一步将会是计算这个数学结构拥有什么对称性。对称性，是几乎所有数学结构都拥有的少量性质之一，并且，它们将以对称的物理实体呈现在该结构的内部居民面前。
那么接下来的第二步，他要计算些什么呢？摆在他面前的是一个从未有人探索过的纷繁结构，但我惊奇地发现，在我们所栖身的这个数学结构中，人们对于对称性的进一步研究仿佛打开了一个金矿，里面装满了闪闪发光的洞悉与智慧。1915年，德国女数学家埃米·诺特（Emmy Noether）证明，我们数学结构中的每一个连续的对称性都通往一个物理守恒定律，某些量会因此而永远守恒。自知的观察者注意到这种永恒性，并赋予它们一种“包袱”，也就是名字。我们在第6章讨论过的所有守恒量都对应着这样的对称性。比如，能量对应着时间平移对称性（即随着时间的推移，关于能量的物理定律保持不变），动量对应着空间平移对称性（即不管在空间中的哪一点，关于动量的物理定律保持不变），角动量对应着旋转对称性（即空荡的空间中不存在一个特殊的“上”方向），电荷对应着量子力学中一种特殊的对称。物理学家尤金·维格纳进一步发现，这些对称性还描述了粒子所拥有的所有量子性质，包括质量和自旋。也就是说，在二者之间，诺特和维格纳发现，至少在我们自己的这个数学结构中，对称性的研究揭示了哪些“东西”可以存在于其中。我的一些同行十分爱好数学术语，他们打趣地说，粒子只是“不可约对称群中的元素”。人们越来越清楚地认识到，几乎所有的物理定律都来自对称性。诺贝尔物理学奖获得者菲利普·安德森（Philip W.Anderson）甚至说：“说物理学家研究的是对称性，一点也不夸张。”
为什么对称性在物理学领域扮演着如此重要的角色？数学宇宙假说提供了一个答案：我们的物理实在之所以拥有对称性，是因为它是一个数学结构——数学结构都拥有对称性。于是，“为什么我们栖身的这个数学结构拥有如此多的对称性”这个深刻的问题，就变成了“为什么我们会栖身于这个特别的结构中，而不是其他拥有更少对称性的结构中”。一部分原因是因为，在数学结构中，对称性似乎占统治地位，而不是例外的地位，特别是在总览表中位置不太靠下的大结构中，其中，简单的算法可以精确地决定巨量的元素关系，因为它们都拥有相同的性质。
还有一个充满“人择原理”味道的原因可能也适用。正如维格纳指出的那样，要出现有能力找出周遭世界运行规律的观察者，或许正需要对称性，所以，由于我们就是这样的观察者，那么我们就应该预计自己栖身于一个高度对称的数学结构中。比如，试着想象一下，假如存在另一个世界，在其中，所有的实验结果都无法复现，因为实验结果依赖于实验的时间和地点。当你扔出一块石头，它有时掉下去，有时升上天，有时还会水平飞出去，并且，周遭的万事万物似乎都以随机的方式运行着，无法找出任何可辨别的模式或规律，那么，进化出大脑也就没有什么意义了。
在现代物理学呈现的方式中，对称通常是作为一个输入，而非输出。比如，爱因斯坦在所谓的洛伦兹对称性上创立了狭义相对论——洛伦兹对称性是一个假定，假设你无法判断自己是否为静止状态，因为所有物理定律对所有匀速运动的观察者来说都完全相同，包括光速。与之类似，粒子物理学标准模型的前提假设是一个被称为SU（3）×SU（2）×U（1）的对称性。但是，在数学宇宙假说中，这个逻辑是反着的——对称并不是前提假设，只是数学结构的性质，而这个数学结构是可以根据其在总览表中的定义计算出来的。
初始条件的幻觉
与我们在MIT所教的物理学不同，第四层多重宇宙始于一个迥然不同的地方，导致大部分传统物理学概念都需要重新解释。正如我们刚看到的那样，一些概念（诸如对称性）保留了它们的中心位置。与之相比，其他概念（如初始条件、复杂性和随机性等）都被重新解释为仅仅只是幻觉而已，只存在于旁观者的头脑中，却不存在于外部物理实在中。
让我们先来看看“初始条件”吧，没有人比尤金·维格纳更能抓住初始条件的传统概念的精髓了。
我们对物理世界的知识可以分为两类：初始条件和自然规律。世界的状态是由初始条件描述的。在它们之中，发现了复杂但不精确的规律。从某个意义上说，物理学家对初始条件不感兴趣，而把它交付于天文学家、地理学家、地质学家等人的手里。
也就是说，物理学家通常会把我们能理解的规则称为“规律”，却忽视我们不能理解的部分，并把它们称为“初始条件”。规律让我们能够预测事物的状态如何随着时间而变化，但是却无法告诉我们，为什么它们一开始是那样。
与之相比，数学宇宙假说没有为任性的初始条件留下任何余地，而是把它们从基本概念里清除出去了。这是因为，我们的物理实在是一个数学结构，而这个数学结构无论从哪方面看，都能被它在总览表中的数学定义所完全规定。如果一个传说中的万物理论认为，万事万物都“始于”或“创生于”某种不能完全规定的状态，那么这个理论就形成了一个不完备的描述，因此就与数学宇宙假说相违背。数学结构不能只有其中一部分是确定的。所以，传统物理学拥抱初始条件，而数学宇宙假说拒绝接受它们：我们要如何理解这件事呢？
随机性的幻觉
由于数学宇宙假说要求万事万物都是被定义好的，所以它抛弃了另一个在物理学中占据中心地位的概念——随机性。不管观察者眼中的世界有多么随机，它最终都只是一个幻觉，并不存在于任何基本的层面上，因为数学结构一点也不随机。但是，我办公室书架上摆着的物理学教材中却充斥着这样的语句：量子力学会产生随机的结果，一杯咖啡的热量是由分子的随机运动所产生的。传统物理学拥抱的概念，却再一次遭到了数学宇宙假说的无情拒绝：我们要如何理解这件事呢？
初始条件谜题和随机性谜题是相互关联的，从中生出了一个令人印象深刻的问题。根据粗略估计，要确定我们的宇宙中当下所有粒子的实际状态，大约需要1古戈尔（10100）个比特的信息。这信息源自何处？传统的答案涉及随机性和初始条件的组合。首先，我们需要许多比特来描述宇宙开始时的样子，因为传统的物理定律并没有详细说明那是什么样子；接下来，我们还需要一些比特来描述此时与彼时之间发生的多种随机过程的结果。然而现在，数学宇宙假说要求确定万事万物，却又要抛弃初始条件和随机性，这些信息要从何而来呢？如果数学结构足够简单，简单到都能印在T恤上，它就不可能包含那么多信息！现在，就让我们来解决这个问题吧。
复杂性的幻觉
我们的宇宙中究竟包含着多少信息？正如我们已经讨论过的那样，某物的信息含量（算法复杂性）等于它最短的完备描述的位长。为了欣赏其中的微妙之处，让我们先来看看图11-7中的6个模式分别包含有多少信息。第一眼看过去，最左边的两个看起来很相似，都是由128×128=16 384个微小的黑白像素点随机排列而成。这意味着，我们大约需要16 384个比特来描述这两张图中的某一张，每个比特用来确定每个像素点的颜色。这对上排的模式来说，似乎是真的。这一排的模式，我是用一个量子随机数生成器生成的。但是下排的模式中却隐藏着一种简单性：它只是的二进制形式！这个简单的描述已经足够计算出整个模式——≈1.44 213 562……，用二进制的方法来写就是1.010 000 101 000 011 0……为了进行论证，让我们假设这个0和1组成的模式是由一个100位长的计算机程序生成的。那么，左下图的模式的表观复杂度就成了一个幻觉——它的信息含量并不是16 387位，而只有100位！
讨论这些模式中的某一部分的信息含量是十分迷人的事情。图11-7的上排图片中，一切都符合我们的预期：较小的模式更加简单，需要更少的信息来描述。我们甚至能用一个简单的比特来描述每个黑白像素。但是，在下排图片中，我们却看到了截然相反的事情！在这里，少即是多：中图的模式比左图更复杂，甚至需要比左图更多的比特数才能描述清楚。这是因为，如果只说它是的一部分是不够的，还需要讲清楚它开始于哪一位数，在这个例子中，需要额外14个比特的信息。总结而言，我们已经看到，总体所包含的信息含量有可能少于部分所包含的信息之和，有时甚至会少于其中某些部分所包含的信息含量。
最后，图11-7中最右端的两幅图片需要9个比特来描述。我们都知道，右下角的图形就隐藏在的16 384位数中，但是对一个如此之小的部分来说，该信息不再有趣或有用。在这个位长为9的模式中，只有29=512种可能的模式，所以你会发现，这个特定的模式就藏在看起来由数千个0和1组成的随机位串中。
图11-7 一个模式的复杂性（即需要多少比特信息才能描述它）并不总是很明显的。左上角的图片中包含128×128=16 384个小方块，它们被随机地涂成黑色或白色，这显然不可能用少于16 384比特的信息来描述。该模式中的一小块（上排中图和上排右图）包含着较少的随机方块，因此要描述它们所需要的比特数更少。然而，左下角的模式却可以从一个短短（例如，只有100位）的程序中生成，因为它只是的二进制数字（0=黑色方块，1=白色方块）。要描述下排中部的图片，还需要再加上14个比特，以便确定它始于中的哪一位数。最后，右下角的模式需要9个比特来描述，和它上方的图片一样。这个模式太短了，以至于把它看作的一部分也没什么用。
图11-8展示了优美的数学结构——曼德布洛特分形，进一步表达了这种想法。它有一个非凡绝妙的性质：在任意小的尺度上，都拥有错综复杂的模式。并且，尽管许多模式看起来很相似，但其实并没有两个是完全相同的。这两张图片究竟有多复杂？它们每张都包含有100万个像素，每个像素可用3个字节的信息来表达（1个字节等于8个比特）。这意味着，每张图片都需要几兆字节的信息来描述。然而，图11-8的左图却可以从一个仅有几百字节长的程序中计算出来，只需对图注中所描述的简单计算z 2+c进行重复即可。
图11-8的右图只是左图中极其微小的一部分，所以它也很简单。但是它却比左图略微复杂一点，需要额外8个字节才能确定。这8个字节代表一个20位数，表示它是1020个不同部分之一。所以，我们再一次遇到了“少即是多”的情况，因为当我们将注意力限制在整体的一小部分中时，就失去了纵观整体时的内在对称性和简单性，增加了表面的信息含量。举个更简单的例子，一个典型的万亿位数的算法信息含量是牢固的、不增不减的，因为描述它的最短程序只能用来存储它那多达万亿位的数字。然而，所有数字1、2、3……组成的数列却可以由一个微不足道的计算机程序生成，所以，整个集合的复杂性要低于前面所说的那个典型的万亿位数。
图11-8 尽管曼德布洛特分形（左图）看似拥有数以百万计的精致彩色像素，但其实它的描述非常简单：图中的点对应着数学家们所谓的复数c，而色彩的信息中则编码了复数z从0开始不停重复“平方并加上c”的过程中（也就是重复运用一个简单公式z→z 2+c）向无穷大飞速暴涨的速度。矛盾的是，尽管右图只是左图中的一部分，但是要描述右图所需要的信息却比左图多。如果你把曼德布洛特分形切割成亿亿块，而右图就是其中一块，那么，右图所包含的信息就能够告诉你它在大图中的位置，因为要确定它的位置，最经济的方法就是像这样：“曼德布洛特分形中的第314 159 265 358 979 323 84块”。
现在，让我们回到我们的物理宇宙，以及用来描述它的1古戈尔比特的信息。一些科学家（如斯蒂芬·沃尔夫拉姆和尤尔根·施密特胡贝尔）怀疑，这种复杂性是否也是一个幻觉？曼德布洛特分形和图11-7左下角的模式是否也来自某个极其简单、尚未被发现的数学规则？尽管我认为这个想法很优雅，但我却站到了它的对立面：描述我们宇宙的所有数字，从WMAP探测器宇宙微波背景天图到某片沙滩上每颗沙砾的位置，是否都能通过一个简单的数据压缩算法，从几乎空无一物的虚无中推演而出？我认为这是不太可能发生的事情。实际上，正如我们在第4章所看到的那样，这些信息的终极来源都是宇宙中的涨落种子，而宇宙学暴胀清楚地预言了宇宙涨落种子是以随机的方式分布在宇宙中的，因此，这种巨幅的数据压缩不可能发生。
这些涨落种子解释了为什么我们的早期宇宙不是易于描述的、完美均匀的等离子体。为什么宇宙涨落种子的模式看起来如此随机？我们在第4章曾讨论过，根据宇宙学标准模型，暴胀在空间的不同部分（即第一层多重宇宙中的不同宇宙）产生了所有可能产生的模式，由于我们自己栖身于这个多重宇宙中一个相当典型的区域，因此，我们所看见的模式似乎很随机，没有任何隐藏规则可以帮助我们压缩信息。这个情况与图11-7下排的图片十分类似，在其中，我们的宇宙（相当于右下图）对应着一个描述简单的第一层多重宇宙（相当于左下图）中看似随机的一小部分。
实际上，如果你翻回到第5章，你会发现，只要我们将图11-7的下排图片扩展一下，让左图所包含的二进制
的位数达到1古戈尔普勒克斯，并让右图包含大约1古戈尔个比特的信息（正如我们的宇宙包含的信息一样多），那么，图5-2与图11-7的下排图片就是等价的。数学家们普遍相信（尽管还未被证明），中的数字很像随机数，所以，任何可能出现的模式都会在其中某处出现，就像任意初始条件的宇宙都会出现在第一层多重宇宙中的某处一样。这意味着，从1古戈尔位数的中抽出一段数列，它完全无法告诉我们关于的任何信息，只能告诉我们它在数列中的位置。同样，对于那些典型的、看似随机的、暴胀生成的宇宙涨落种子来说，观测它所包含的1古戈尔比特信息，只能告诉我们所观测的区域在这个广袤的后暴胀空间中处在什么位置。
重新解释初始条件
刚才，我们谈论了应该如何看待初始条件，并得到了一个激进的答案：初始条件的信息与我们物理实在的本质无关，而只与我们在其中的位置有关。我们广泛观察到的复杂性只是一个幻觉，因为其潜在的实在拥有非常简单的描述，只有在确定我们位于多重宇宙中的位置时才需要将近1古戈尔比特的信息。我们在第5章讨论过，银河系包含着许多恒星系，它们所拥有的行星数量各不相同，所以，“我们的太阳系中包含8颗行星”这个事实，并没有告诉我们任何关于银河系的本质，而仅仅只提供了我们位于星系中的位置信息。第一层多重宇宙中还包含着其他类地行星，从这些行星上所看见的宇宙微波背景辐射模式或星座图景多种多样，能够穷尽所有的可能性，因此，地球上拍到的WMAP探测天图中包含的信息或一张北斗七星的照片，同样也可以告诉我们在多重宇宙中的位置信息。与之类似，第9章中讨论过的32个物理常数包含我们在第二层多重宇宙中的位置信息——假如第二层多重宇宙真的存在的话。尽管许多人认为这些信息与物理实在的本质有关，但其实它们只与我们自己有关。复杂性只是一个幻觉，仅存在于旁观者的眼睛里。
我脑中第一次冒出这些想法，是在1995年的一天，骑自行车前往慕尼黑英国花园的途中。为此，我还发表了一篇标题颇为撩人的论文——《我们的宇宙是否几乎没有包含任何信息？》。现在，我终于意识到，我应该去掉标题里的“几乎”二字！请容许我解释一下原因。第三层多重宇宙让我联想到曼德布洛特分形（见图11-8），而非的例子（见图11-7），因为它的各部分展现出大量的规律性。我们讨论过，所有可能的模式都以同等的频率出现在的数位中，然而，许多模式（比如，你朋友的照片）却不会出现在曼德布洛特分形中。曼德布洛特分形中的大部分区域都拥有一种特定的艺术风格（由公式z2+c来描述）。与之类似，在第三层多重宇宙中，大部分停止暴胀的宇宙在遵循量子力学的时间发展过程中，都拥有着相同的规律。当我说“几乎没有包含任何信息”时，我的意思是说，我们依然需要保留少量的信息来描述这些规律，特别是第三层多重宇宙的数学结构。但是，根据数学宇宙假说，即使是这个信息，也无法告诉我们任何关于终极物理实在的信息，它只能告诉我们在第四层多重宇宙中的位置。
既存在多重的宇宙，也存在多重的你
好的，现在我们已经解决了如何解释初始条件的问题，那么随机性的问题呢？答案同样藏在多重宇宙中。我们在第7章中看到了决定论的量子力学薛定谔方程如何让第三层多重宇宙中的观察者感知到主观上的随机性，这其中的核心是一个与量子力学没什么关系的过程——克隆。具体地说，随机性只是你被克隆时的感觉。如果有两个“你”，分别感知着不同的事物，那么你无法预测自己下一步将感知到什么东西，所以才感知到了随机性。我们在第7章中看到，表观随机性是在某些情况下对观察者的克隆产生的。而现在，我们看到它是在所有情况（而非某些情况）下对观察者的克隆而产生的，因为数学宇宙假说从基本层面上抛弃了另一个符合逻辑的解释——随机性。
也就是说，看似任意的初始条件是由多重宇宙引起的，而表面上的随机性是由于存在多个你而引起的。可以将这两点看成一回事，如果我们考虑某个平行宇宙包含一个与你主观上不可区分的你，那么既存在多重的宇宙，也存在多重的你。那么，当你测量你的宇宙的初始条件时，这个信息不管在哪个你看来都显得很随机，所以不管你认为这个信息来自初始条件还是随机性，都没有关系——信息都是一样的。观测你位于哪个平行宇宙中，就能揭示出到底是哪个你在进行观测。
复杂性为何暗示了多重宇宙的存在
关于我们宇宙的复杂性，我们已经谈得太多了。那么，我们的数学结构又具有怎样的复杂性呢？
数学宇宙假说并没有规定飞鸟视角中数学结构的复杂性是高还是低，所以两种可能性都要考虑。假如复杂性相当高，那我们想要弄明白它的细节，明显是死路一条。尤其是在描述该结构所需的比特数超过了描述我们可观测宇宙所需的比特数时，我们甚至无法在我们的宇宙中存储关于该结构的信息——根本装不下。还有一个复杂性超高的理论例子是用实数（如1/α=1/137.035 999……）来详细规定第9章提过的拥有32个参数的标准模型。这种实数的位数无限多，且缺乏任何可简化的模式。连一个任意的参数都需要无限的信息来存储，更不用说整个数学结构了，那将是一个无限复杂的结构，在实践上根本不可能确定它的细节。
大多数物理学家希望，完备的万物理论是相对简单的，能用少许的比特数来规定它的细节。他们希望，所用的比特数用一件T恤或一本书就能装下——这比描述我们宇宙所需要的大约1古戈尔比特的信息少太多了。不管数学宇宙假说是真是假，这样简单的理论都一定会预言出多重宇宙的存在。这是为什么呢？因为从定义上来说，这种理论是对实在的完备描述——如果它缺乏能确定我们宇宙的完备信息，那么它就必须要描述恒星和沙砾等事物可能出现的所有组合；而多出来的那些比特只编码了关于我们位于哪个宇宙的信息，也就是我们在多重宇宙中的邮政编码。图11-5中，信封上最底行的长度就会变短，因为它代表这个理论，但其上方的地址则会包含将近1古戈尔个字符。
刚才我们已经看到，数学宇宙假说可以改变许多关于我们认知的根本问题。现在，让我们转向另一个类似的话题——模拟现实。这是科幻小说常用的主题，意思是说，我们的外部实在其实是某种计算机模拟程序。许多引起轰动的电影都讨论了这个话题，并获得了极大的关注，比如《黑客帝国》。埃里克·德雷克勒斯（Eric Drexler）、雷·库兹韦尔[67]和汉斯·莫拉韦克等科学家都认为，模拟心智是可能的，并且已为时不远。还有一些科学家（如弗朗克·蒂普勒、尼克·波斯特洛姆和尤尔根·施密特胡贝尔）走得更远。他们说，这样的情况可能已经发生了：我们就是模拟出来的。
为什么有人会认为自己是模拟出来的？许多科幻作家探索过这类情景：在未来，大规模的太空殖民将我们宇宙中的许多物质都转变为了高度发达的计算机，能够模拟出巨量的、主观上与你不可区分的观察者时刻。波斯特洛姆等人论证说，如果这是真的，那么你当下的观察者时刻极有可能就是这样的模拟时刻之一，因为它们的数量无穷无尽、不胜枚举。
然而，我认为这种论证在逻辑上是行不通的。如果这个论证有效，那么，对那些与你无法区分的版本而言，也可能发生同样的事情，意味着可能存在更多的双重模拟，那么你有可能是一个模拟中的模拟。将该论证继续下去，你会得出结论：你可能只是模拟中的模拟中的模拟……以此类推，无穷无尽——归谬法（reductio ad absurdum）。我认为，在一开始的第一步，论证就已经出现了逻辑错误：假设你是模拟出来的，那么，正如菲利普·赫尔比格所强调的那样，你所栖身的（模拟）宇宙的计算资源是无关紧要的——要紧的是模拟宇宙所处的那个更大的宇宙的计算资源，而这是你一无所知的。
还有一些人论证道，我们的物理实在根本不可能是模拟出来的。量子物理学权威赛斯·劳埃德教授则提出了一种折中的可能性：我们身处一个由量子计算机生成的仿真模拟中，但这个计算机并不是由某个人设计出来的——因为量子场论与空间分布式量子计算机的结构在数学上是等价的。康拉德·楚泽、约翰·巴罗、尤尔根·施密特胡贝尔和斯蒂芬·沃尔夫拉姆等人已经研究过“物理定律相当于一个经典计算”的观点。让我们再在数学宇宙假说的语境中探究一下这些观点。
对时间的误解
让我们先假设，我们的宇宙确实是某种形式的计算。在“模拟宇宙”的著作中有一个普遍的误解，认为一维时间的物理概念必然等同于逐步进行的一维计算流。接下来我将论证，如果数学宇宙假说是正确的，那么，计算并不需要演变成我们的宇宙，只需描述它即可（也就是确定它的所有关系）。
将时间演进与计算步骤等同起来的想法充满了诱惑，这是可以理解的，因为两者都是一维的序列（至少对非量子的例子来说是这样），并且，下一步的状态总是由现在的状态所决定。然而，这种诱惑来自一种已经过时的经典物理学描述。在爱因斯坦的广义相对论中，并不存在一个普遍的、自然的、定义良好的总体时间变量，在量子引力中更是如此，因为在量子引力中，时间只是某个子系统（时钟）所产生出来的近似性质。
实际上，即便在经典物理学中，将青蛙视角的时间观念与计算机时间联系起来也是毫无根据的。格雷格·伊根（Greg Egan）在科幻小说《置换城市》（Permutation City）中强调说，在模拟宇宙中，一个观察者感知到的时间流逝速度应当完全独立于计算机运行模拟程序的速度。此外，正如我们在上一章所讨论的内容以及爱因斯坦所指出的那样，用飞鸟视角的四维时空来看待宇宙，比青蛙视角的三维空间更加自然，尽管这一观点尚有争议。因此，根本不需要计算机来进行任何计算，它只需要存储所有的四维数据，也就是将那个等同于我们宇宙的数学结构的所有性质都编好代码。这样，需要的时候就可以读取其中单个的时间切片。因此，这个“模拟世界”在内部居民的感觉中，应该很像一个只存储和演化了三维数据的世界。总而言之：进行模拟的计算机所扮演的角色，并不是计算我们宇宙的历史，而是规定它的细节。
那么，要如何规定呢？数据的存储方式（例如，计算机的型号、数据格式等等）都应该是无关紧要的，所以，模拟宇宙中的居民是否感觉到自己是真实的，应当与数据压缩的方法无关。我们已经发现的物理定律为我们提供了极好的数据压缩方法，因为有了它们，就足以存储某一时刻的初始数据、公式以及一个能根据这些初始数据计算出未来状态的程序。正如本章前文所强调的那样，初始数据可能极其简单：量子场论中流行的初始状态都有着吓人的名字，例如霍金-哈特尔波函数（Hawking-Hartle wavefunction）或邦奇-戴维斯暴胀真空（inflationary Bunch-Davies vacuum），但它们的算法复杂性都很低，因为它们都能用简短的物理学论文来定义。但是，要模拟它们的时间演化，就不仅要模拟一个我们这样的宇宙，还需要模拟出众多退相干的平行宇宙。因此，我们的宇宙（甚至于整个第三层多重宇宙）都有可能是由一段简短的计算机程序模拟出来的。
另一种计算：无须演变历史，而是确定关系
之前举的例子都提到了我们所栖身的这个特定的数学结构以及它的量子力学性质等。更一般地说，正如我们已经讨论过的那样，从定义上说，一个任意数学结构的完备描述就是要确定它的元素之间的关系。在本章前文我们讨论过，要定义这些关系，所有方程都必须是可计算的，也就是说，必须存在一个能在有限步骤内计算出所有关系的计算机程序。换句话说，如果我们的世界是一个定义良好的数学结构，那么，它不可避免地要和计算联系在一起，但此处所说的计算与模拟假说中的计算并不相同：这些计算并不主导我们宇宙的演化，只是通过评估它内部的关系来描述它[68]。
我们是模拟出来的吗
深入理解了数学结构、形式系统和计算的三者关系（见图11-6中的三角形），就能阐明本书提到过的一些棘手问题。其中一个问题就是第10章困扰过我们的测度问题。这个问题的本质是如何应对恼人的无穷大，以及如何预测观测结果的概率。比如，每个宇宙模拟都对应着一个数学结构，因而它已经存在于第四层多重宇宙中了，那么，假如它同时还运行在一台计算机上，它的存在是否会变得“更多”？如果遇到下列事实，情况还会变得更加复杂——永恒暴胀预言了一个无限的空间，内部拥有无穷多的行星、文明和计算机，其中一些计算机可能正运行着宇宙的模拟；并且，第四层多重宇宙也可能包含着无数个能用计算机模拟来解释的数学结构。
我们的宇宙（包括整个第三层多重宇宙）有可能是由一个简短的计算机程序模拟出来的。这个事实引发了一个问题：这个模拟程序“运行”与否，是否会造成本体论上的差别？如果像我论证过的那样，计算机只需要描述而不需要计算整个历史，那么，完备的描述可能用一根内存条就能装下，而不需要CPU的力量。如果说这根内存条的存在会对它所描述的多重宇宙是否“真的”存在产生什么影响，这是十分荒谬的。如果这根内存条的存在真的很重要，那么，这个多重宇宙中的某些单元内也可能会包含一根一模一样的内存条，“递归”地支持着它自身的物理存在。这与“第22条军规”和“先有蛋还是先有鸡”的问题不同，内存条和多重宇宙究竟哪一个先被创造出来都无关紧要，因为多重宇宙中的单元是四维时空，“创造”这个概念显然只有在时空内部才有意义。
那么，我们究竟是不是模拟程序？根据数学宇宙假说，我们的物理实在是一个数学结构，正因如此，不管有没有人在第四层多重宇宙内写下一段计算机程序来模拟/描述它，它都存在如斯。于是，此时仅剩的问题就是：计算机模拟程序是否会在某些意义上让我们的数学结构的存在变多？如果我们解决了测度问题，或许我们会发现，对它进行模拟会轻微地增加它的测度，将包含模拟的那个数学结构的测度提高一点点比例。我猜，这个影响非常轻微。所以，如果有人问我：“我们是模拟出来的吗？”我会把钱押注在这个答案上：“不是！”
在哲学、信息论、计算机科学和物理学的交叉路口，一些研究者对终极实在提出了许多有趣的见解。我推荐布赖恩·格林的《隐藏的现实》一书和拉塞尔·斯坦迪什（Russell Standish）的《万无理论》（Theory of Nothing）一书。
在哲学领域内，与第四层多重宇宙理论最接近的理论是已故哲学家大卫·里维斯（David Lewis）所提出的模态实在论（modal realism）。他提出，“所有可能的世界都与实际的世界一样真实”。他已故的同行罗伯特·诺齐克（Robert Nozick）提出了一个类似的理论叫作“繁殖力原则”（the principle of fecundity）。对模态实在论，一个常见的批评断言道，由于它提出“所有可想象的宇宙都存在”，所以它根本不能作出任何可检验的预测。如果将里维斯的“所有可能的世界”替换成“所有数学结构”，那么第四层多重宇宙就可以被看作一个范围更小、定义更加严格的实在。第四层多重宇宙并没有暗示所有可想象的宇宙都存在。我们人类可以想象出许多数学上不可定义的东西，因此它们无法对应任何数学结构。数学家们之所以会发表论文来证明不同数学结构的描述之间拥有数学一致性，正说明了这是一件困难的事，并不是所有情况都可能发生。
而在计算机科学的领域中，最接近的假说正是我们之前所讨论过的——我们的物理实在是某种形式的计算机模拟。图11-6中可以清楚地看到它们的关系，二者分别位于三角形的两个顶点上：根据模拟假说，我们的物理实在是一种计算；与之对照，根据数学宇宙假说，我们的宇宙是一个数学结构。在模拟假说中，计算演化了我们的宇宙，但在数学宇宙假说中，它们只是通过评估我们宇宙的关系，从而对它进行描述。根据尤尔根·施密特胡贝尔和斯蒂芬·沃尔夫拉姆等人研究的可计算多重宇宙理论，时间演化必须是可计算的；而根据可计算宇宙假说，描述（即关系）才应当是可计算的东西。约翰·巴罗和罗杰·彭罗斯则提出，只有复杂到可应用哥德尔不完备定理的结构，才可能包含拥有自我意识的观察者。上面我们曾看到，可计算宇宙假说可计算宇宙假说的基本假设从某种意义上却与之截然相反。
我们已经论证了外部实在假说。该假说认为，存在一个完全独立于我们人类之外的外部物理实在，暗示了数学宇宙假说，后者认为，我们的外部物理实在是一个数学结构，从而又暗示了第四层多重宇宙的存在。因此，要加强或削弱第四层多重宇宙的证据，最直接的方法就是进一步研究和检验外部实在假说。由于外部实在假说尚无定论，我想我可以很公平地说，我的大部分同行都同意它。并且，粒子物理学标准模型和宇宙学近年来的成功并没有表明，终极物理实在（不管它是什么）是围绕着人类且不能离开人类而存在的。即便如此，还是让我们来探索两种潜在的方法，更直接地检验一下数学宇宙假说和第四层多重宇宙。
典型性预测
正如我们在第5章所看到的那样，人们发现物理常数就像是为了适应生命的出现而作出的精心微调。这一点可以被解读为一个常数范围很宽的多重宇宙存在的证据。之所以可以这样解读，是因为它让我们栖身的宇宙所具有的高度宜居性变得不那么惊人，还预测说这正是我们应当出现的地方。尤其是，我们还看到第二层多重宇宙的某些最强证据正来自暗能量观测密度的微调性。那么，第四层多重宇宙是否也可能存在微调性的证据呢（即使只是理论上）？
2005年，在剑桥的一次物理学术会议晚间，我和好友安东尼·阿吉雷正在三一学院古雅的庭院里散步，我突然意识到答案是肯定的。
假设你朋友开车载你到一个你一无所知的小镇上。你跨出车门时，突然注意到一堆令人困惑的标志（见图11-9）。这些标志禁止在街道的任何地方停车，除了你朋友停车的地方。她解释说，新上任的市长举行了一次反污染的活动，决定在每条街的街边随机放置10个标志，禁止在该标志箭头所指方向（左方或右方）的街边停车。在进行一些计算后，你意识到，这种疯狂的随机模式通常会禁止在整条街上的任何地方停车，只有1%的概率会出现一个允许停车的空间[69]；而这只会发生在左箭头都被放置在所有右箭头左侧的情况下。
我们要如何理解这一点呢？它是否只是一个幸运的巧合？如果你像典型的科学家那样，害怕无法解释的巧合，那么你就会倾向于接受那些不需要疯狂好运的解释：这个奇怪的小镇上有着很多街道，或许多达上百条。这样，很可能真的会在某条街上出现允许停车的区域。由于你朋友熟知这个小镇，所以她能找到停车的地方并不是一件惊人的事。这个微调性的例子与第5章提到的有所不同，因为这里似乎经过了微调的并不是暗能量密度这样的连续统，而是某种离散的东西——所有左箭头或右箭头排列成惊人的方式。
图11-9 如果一条街道上布置了许多随机的标志，每个标志禁止在其左方或右方停车，那么，很有可能整条街上都不能停车，只有在所有左箭头正好位于所有右箭头的左方时，才会出现允许停车的区域，如上图的上半部分所显示的那样。同样，假如为了适应生命的出现，宇宙的某个物理常数必须要满足许许多多限制条件（该图下图），那很有可能根本不会出现宜居的数值区间。上下两幅图所描绘的情况就可分别解读为“实际上存在许多街道”或“第四层多重宇宙中存在许多数学结构”的证据。
我举的这个停车的例子并不贴切，但在我们的宇宙中确实观察到了与之十分类似的现象（见图11-9的下图）。水平坐标轴表示的参数与新近发现的希格斯粒子有关。约翰·多诺霍（John Donoghue）、克雷格·霍根（Craig Hogan）和海因茨·奥博哈姆（Heinz Oberhummer）及合作者的近期工作表明，这个参数与暗能量密度十分相似，仿佛也经过了精心微调——大约比人们自然预计的要低16个数量级；如果你把它上调或下调一点，哪怕幅度只有1%，也会极大减少恒星中生成的碳和氧；升高18%，将会降低恒星中氢原子聚变成其他原子的比例；而降低34%，将会让氢原子衰变成中子，质子会吞噬电子；降低为原来的1/5，即使是孤单的质子也会衰变成中子，于是宇宙中不会存在任何原子。
我们要如何解读这件事呢？首先，这看起来很像是第二层多重宇宙的进一步证据，因为在不同的第二层平行宇宙中，物理常数可能会发生变化。这解释了为何我们发现的暗能量密度正好能允许星系形成。但除此之外，它还能清楚地解释为什么希格斯粒子的性质正好能允许除氢以外的复杂原子形成。因此，当我们发现自己位于一个包含着丰富原子和星系，并且比较罕见的宇宙中时，也就没那么惊讶了，因为生命的出现正需要复杂性（哪怕只是最低限度的复杂性）。
图11-9提出了第二个问题：为什么图11-9的下图中5个箭头的共同作用就能让希格斯粒子的性质位于宜居区间呢？这可能是一种侥幸：如果5个箭头的随机组合允许出现某个区间的概率是19%，那我们只需要一点运气就好了。此外，基于核物理学的原理，这5个箭头并不是独立的，所以我不会把这5个箭头的例子当作什么强证据。然而，未来的物理学研究很可能会发现更多惊人的离散微调性，比如10个或更多箭头共同作用，好让某个或某些物理学参数出现在宜居的区间内。[70]如果发生了这样的事，我们就能为图11-9中的上图辩称：这并不是存在其他街道的证据，而是存在其他宇宙的证据，这些宇宙拥有不同的物理定律，所以生命出现所需要的条件也十分不同！在某些情况下，这些宇宙可能存在于第二层多重宇宙中，它们所处的区域拥有相同的基本物理定律，但衍生出了不同的空间相和有效物理定律。然而，还有另外一种情况：其他宇宙也可能遵循着不同的基本物理定律，分别对应着第四层多重宇宙中不同的数学结构。也就是说，尽管目前我们的直接观测数据缺乏对第四层多重宇宙的支持，但未来依然有可能得到一些证据。
数学规则预测
我们曾提到过维格纳在1960年写的那篇著名的文章，他在其中论证说：“数学在自然科学中有着极其广泛的应用，这一事实近乎神秘……简直无法解释。”数学宇宙假说为其提供了一个缺失的解释。它解释了数学在描述物理世界时的有效性，将物理世界解释为一连串自然发生的事件。物理世界就是一个数学结构，我们已经一点点揭开了这个事实的面纱。当代物理学理论由各种各样的近似理论组成，它们十分成功，因为复杂的数学结构的某些方面能用简单的数学结构来近似。也就是说，我们成功的理论并不是用数学去近似物理，而是用数学去近似数学。
数学宇宙假说有一个可检验的关键预测，那就是物理学研究将会揭开更多自然界的数学规则。这种数学宇宙的预测能力是由理论物理学家保罗·迪拉克（Paul Dirac）于1931年提出来的：
当今所能提出的最强大的进步方法就是运用所有纯数学的资源，努力完善和概括那些构成理论物理学现有基础的数学形式体系。在这个方向上，每获得一次成功，就应当努力用物理实体来解读那些新的数学特性。
到目前为止，这种预测究竟有多成功呢？从毕达哥拉斯提出数学宇宙的基本想法到今天，已经过去了两千年。随后，伽利略进一步发现自然就是“一本用数学语言写就的书”。接下来，人们又发现了许多影响更加深远的数学规律，从行星的运动到原子的特征，促使迪拉克和维格纳作出令人敬畏的背书。此后，粒子物理学标准模型和宇宙学揭示了新的数学尺度，将其扩展到“不可理喻”的范围。从微观的基本粒子，到宏观的早期宇宙，历史上曾进行过的所有物理学测量几乎都能由表9-1中列出的32个数字计算出来。面对这样的事实，我不知道还有什么比“物理世界的实在就是纯粹的数学”这个解释更令人叹服。
展望未来，存在两种可能性。如果我错了，数学宇宙假说是错误的，那么物理学将遇到一个不可克服的障碍，之后不会再有任何更新的进展——不会再有任何更新的数学规则等着我们去发现，即便我们依然缺乏物理实在的完备描述。比如，如果有人用令人信服的方式证明了随机性是自然规律的一个本质（与决定论相反，在决定论中，对观察者的克隆只会让他们在主观上感觉到随机），这必将推翻数学宇宙假说。但是，假如我是正确的，数学宇宙假说是正确的，那么我们对终极实在的追寻过程中就不会存在任何障碍。没有做不到，只有想不到。唯一的限制，就是我们的想象力！
◆数学宇宙假说（MUH）暗示着，数学存在等同于物理存在。这意味着，所有存在于数学中的结构，也都存在于物理中，构成了第四层多重宇宙。
◆我们曾探索过的平行宇宙组成了一个越来越多样化的四层金字塔结构：第一层，空间中观测不到的遥远区域；第二层，其他暴胀停止的区域；第三层，量子希尔伯特空间中的其他地方；第四层，其他数学结构。
◆智能生命似乎很罕见，因为大多数第一层、第二层和第四层多重宇宙都不宜居。
◆探索第四层多重宇宙不需要火箭或望远镜，只需要计算机和想法。
◆最简单的数学结构可以被计算机用电话号码簿的方式罗列出来，每一个结构都拥有自己独一无二的数字。
◆数学结构、形式系统和计算之间的关系非常紧密，这意味着它们是同一个超越结构的不同方面，但我们依然无法完全理解这个超越结构的性质。
◆数学宇宙假说要言之有理，需要可计算宇宙假说（CUH）的帮助。可计算宇宙假说认为，作为我们外部物理实在的数学结构是用可计算的方程定义出来的。因为，如若不然，哥德尔不完备定理和邱奇—图灵不可计算性就可能会在数学结构中定义出不尽人意的关系。
◆有限宇宙假说（FUH）认为，我们的外部物理实在是一个有限的数学结构。它暗示着可计算宇宙假说，并消除了所有关于未定义实在的担忧。
◆可计算宇宙假说/有限宇宙假说也许能够帮助解决测度问题，并能解释我们的宇宙为何如此简单。
◆数学宇宙假说暗示了，不存在未定义好的初始条件——初始条件不能告诉我们任何关于物理实在的信息，只能告诉我们在多重宇宙中的地址。
◆数学宇宙假说暗示了，没有根本的随机性——随机性只是克隆在主观上的一种感受；它还暗示了，我们所观察到的大多数复杂性都是幻觉，只存在于旁观者的眼睛里，只与我们在多重宇宙中的地址信息有关。
◆描述物体的集合，可能比单描述其中一个部分简单。
◆多重宇宙比我们的宇宙简单，因为它能用更少的信息来描述。并且，第四层多重宇宙是最简单的，因为要描述它本质上不需要任何信息。
◆我们可能并不栖身于一个模拟程序中。
◆数学宇宙假说本质上是可检验的，也是可证伪的。
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