让数学扬起猜想的翅膀

让数学扬起猜想的翅膀

马云豪

数学猜想是指人们根据某些数学事实和数学知识所作出的未经证实的预测性推断，以及人们作出这种预测性推断的思维过程。数学猜想对提高学生数学素质，培养其探索、创新精神具有特别重要的作用。

波利亚曾语重心长地指出：“在数学教学中必须有猜想的地位。教学必须为发明作准备，或至少给一点发明的尝试。无论如何，教学不应该压制学生中间的发明萌芽。……教师应该说明，在数学领域中，猜想是合理的，值得尊敬的，是负责任的态度。请允许我在此向教授所有班级的数学教师们呼吁：让我们教猜想吧！”

“只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程，那么就应该让合情推理占有适当的位置。”

一、我国猜想教学的现状

《数学课程标准》中提出：“要让学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程。”

但是在我们传统的数学教材中，过分地重视演绎，而忽视了知识的发生过程；过分地强调学科的严谨性和科学性，而忽视了对学生想象力地培养。

例如，不完全归纳法直到高二在教数学归纳法时才出现，不完全归纳法的意义与作用为：像这种由一系列有限的特殊事例得出的一般结论的推理方法，通常叫做归纳法。用归纳法可以帮助我们从具体事例中发现一般规律。但是，许多教师会更着重指出它的缺陷与容易导致错误的根源，给学生深刻的印象“不完全归纳法不是科学的思想方法”，将学生刚刚学到的点滴归纳与猜想一下子就扼杀在摇篮之中，导致我们的一些学生数学能力发展不全面，尤其缺乏创新精神与实践能力。

因此，我们特别需要对学生的数学猜想能力引起重视，通过课堂教学培养学生的数学猜想能力。

二、数学猜想认识的误区

数学猜想既有一定的科学性，又有某种假设性，是科学性与假定性的辩证统一。它不仅需要扎实的数学知识、丰富的教学经验、良好的数学修养和熟练的教学技能，而且还要掌握行之有效的科学方法：不完全归纳法、类比法、变换条件法、联系观察法等。然而它并不神秘，可通过模仿、训练、探索猜想的规律和途径等手段，逐步掌握猜想的基本思想方法与技巧。

教师如能适当将猜想贯穿在数学解题教学中，无疑会激发学生学习数学的兴趣，产生探索问题的强烈欲望，达到领会数学思想方法，提高发现问题和解决问题的能力，其意义和作用都是不可低估的。

但是，教学猜想的前提是教师必须对数学猜想有正确的概念。

著名美籍匈牙利数学家波利亚把科学的推理区分为两种：合情推理与论证推理。论证推理是必然的推理，有被逻辑所制定和阐明的严格标准。论证推理本身不允许任何不确定的东西，它要求把猜测排除在推理之外，保证每一个推理步骤都是经得起逻辑规则检验的。任何懂得逻辑规则的人，都能了解并承认这种推理。

合情推理则是一种或然的推理。它的标准是不固定的，而且也不可能像论证推理那样确定，以至毫无例外地得到大家的承认。合情推理实际上是由一些猜想所构成的。当然，有种种猜想，如有意义的和无意义的、比较可靠的和毫无根据的，物理学家的归纳理由、法学家的间接罪证、历史学家的文字依据和经济学家的统计材料，都是有意义的猜想。而数学大量的猜想恐怕没有什么意义。引起人们探讨兴趣的是那种可能导致发现的有意义的猜想，这种猜想虽然不能导致必然正确的结论，却往往带来新的发现，所以称作合情推理。

然而，现实中往往有这样的实例：

初一义务教育教材中“同底数幂的乘法”一课中，有教师提出这样的猜想过程：

先引导学生计算10³×10²；2³×2²。根据乘方的意义，得

10³×10²＝（10×10×10）×（10×10）＝10⁵

2³×2²＝（2×2×2）×（2×2）＝2⁵

即10³×10²＝10^3＋2；2³×2²＝2^3＋2

接着启发学生猜想a³×a²的情况。

在这个猜想设计中，我认为教师已经将乘方的定义过程完全展现在学生面前，这个时候再进行猜想是否还是我们所需要的数学猜想，是否还是合情推理？

我们是否可以进行这样的修改，先运算

2³×2²＝8×4＝32；2^3＋2＝2⁵＝32；

然后让学生进行猜想，是否2³×2²＝2^3＋2？

这样的猜想过程也许更合理，更有助于锻炼学生的猜想能力。

又如：

“三角形的内角和”的教学中，教师提问：“猜一猜，三角形的内角和可能是多少度？”当第一个学生回答180°后，再无其他回答。教师用期待的眼光扫视全班：“还有不同的猜想吗？”在他的一再鼓励下，学生们再度踊跃起来：90°、200°、360°……教师：“既然有了这么多不同的猜想，究竟谁的猜想是正确的呢？你们能有办法验证一下吗？”

这样的猜想着实可笑。大胆猜测本是好事，但猜想不是满天乱猜，必须有一定的事实依据，即合情推理。

因此，我们在提倡学生要学会猜想、敢于猜想的同时，还要教会他们善于猜想。真正地做到：“每个学生都应当从他的学习中获得一些教益，而不管他将来的职业是什么。”（波利亚）

三、如何进行数学猜想的教学

数学家拉普拉斯说：“甚至在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。”

数学猜想一般有以下一些基本形式：

1.归纳性猜想

达尔文说过：“科学就是整理事实，以便从中得出普遍的规律或结论。”爱因斯坦也曾说过：“科学家必须在庞杂的经验事实中间抓住某些可用精密公式来表示的普遍特征，由此探索自然界的普遍真理。”

在中小学阶段，有大量的此类猜想存在。例如：

例题：观察下列各式：

1×3＝1²＋2×1

2×4＝2²＋2×2

3×5＝3²＋2×3

4×6＝4²＋2×4

……

请你将猜想到的规律用自然数n表示出来：＿＿＿

例题：观察下列各式：

2×4＝3²－1

3×5＝4²－1

4×6＝5²－1

……

10×12＝11²－1

……

请你将猜想到的规律用自然数n表示出来：＿＿＿

此类问题学生完全是可以独立猜想并得到正确答案的。

2.类比性猜想

类比是依据两个或两类对象之间存在某些相同或相似的属性，推出它们还能存在其他相同或相似的属性的思维方法。康德曾说过：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进。”波利亚指出：“所谓类比就是指明类似的关系，类比是一个伟大的引路人。”

例如：我们在进行初中等腰梯形的教学中，可以让学生猜想：从等腰梯形的名称能联想到什么？

学生基本能猜想到等腰三角形，并从等腰三角形的性质——两腰相等，两底角相等——猜想：是否等腰梯形也具有这样的性质呢？

然后，教师可以引导学生从这个猜想出发，尝试用类比的数学思想，将等腰梯形转化成等腰三角形去求证。

3.试验性猜想

例如，在小学教学等腰三角形底角相等的过程中，可以要求学生画出一些等腰三角形，然后运用实验法测量两个底角的度数，得出底角相等的猜想。

又如，在高中教学中，对于对数的加减运算法则教学，可以先分别计算log₂3，log₂5，log₂15的数值，然后从数值中去探求它们三者的关系，进而猜想出对数的运算法则。

数学教学的目的是使学生掌握数学知识和数学技能，培养学生分析问题和解决问题的能力。学习数学的唯一正确途径是实行学生的“再创造”，也就是由学生本人把要学习的东西自己“发现”或“创造”出来，教师的任务是引导和帮助学生进行这种再创造的工作，而不是把现成知识灌输给学生。但在数学教学工作中，实现学生的再创造，就必须重视数学猜想法，主要是归纳推理和类比推理这样的合情推理。

数学猜想尽管可能发生错误，然而却具有开拓性与创造性，是数学发现与数学证明的前兆。著名的美国数学家与数学教育家波利亚指出：“数学被人看作一门论证科学。然而这仅仅是它的一个方面。以最后确定形式出现的定型的数学，好像是仅含证明的纯论证性的材料，然而，数学的创造过程是与任何其他知识的创造过程一样的。在证明一个数学定理之前，你先得猜测这个定理的内容，在你完全做出详细证明之前，你先得推测证明的思路。你先得把观察到的结果加以综合然后加以类比。你得一次又一次地进行尝试。数学家的创造性工作结果是论证推理，即证明，但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。”

数学的发现、数学的发明和创造、数学的研究和学习都离不开探索性的思维活动，而探索性思维的核心则是猜想与反驳。猜想指引着探索性思维的方向，反驳则对猜想进行解释、检验、修正和评价，使猜想更加逼真可信，直至猜想被证实或被推翻。因此，数学猜想是数学思维的必然形式，也是解决数学理论的构建与发展、解决数学疑难问题的有效途径。

教师们，让我们教猜想吧！