数学《循环小数》教学案例

五（上）数学《循环小数》教学案例

黄　科

一、教学内容分析

《循环小数》选自九年义务教育数学新教材五年级第一学期《小数乘除法》。第一课时的学习内容主要是认识循环小数；初步认识有限小数和无限小数；知道循环节的概念，会使用简便记法表示循环小数。其教学重点是理解循环小数的概念，并能用循环小数表示除法的商，掌握循环小数的简写方法。难点则是通过除法计算中相同的余数判定循环节。而第二课时则选取教材《用计算器计算》的部分内容融入巩固练习中，并对循环小数的知识进行课外衍生，根据提供的学习资料和网站自主探究学习，了解循环小数转换成分数的方法，并将循环小数的一些经典数学问题带入课堂，引发的学生们的思考和兴趣。

二、学生情况分析

本课的教学对象是小学五年级的学生。他们喜欢上数学课，有一定的语言表达能力，而且学习基础较好，课外知识也比较丰富。循环小数是很多学生在课前就已经听过的数学名词，有的甚至在课前就已经掌握了教材中所要求掌握的知识点。如果这节课单纯讲授教材中的内容，对于很多学生来说课堂收获太小。运用网络，在自主探究中建构新知，并拓展学习是本课的重点和难点。

本年级学生对于信息技术（即网络学习）非常感兴趣，已掌握信息技术的基础知识，简单的操作方法和技巧。

三、教学目标

知识与技能：理解循环小数的概念，初步认识有限小数和无限小数，并能用循环小数表示除法的商，知道循环节的概念，掌握循环小数的简写方法。知道循环小数的分类，了解循环小数转换成分数的方法。

过程与方法：通过计算体验循环小数的产生，并利用循环节自己设计循环小数的简写方法，从中理解简写的设计意图和优点。利用教师提供的学习资料和网站自主探究课外衍生部分的知识，培养自主探究学习和查阅相关资料的能力。

情感态度价值观：使学生在探索问题的过程中体会数学与日常生活的联系，感知数学中数的美，对数的分类和其间的关系产生兴趣，并通过一些经典问题的引入留给学生更多的思考空间。

四、教学设计思路

本节课的重点并不是放在循环小数简便方法的读写上，而是把大量的时间放在怎么会产生循环小数，如何设计循环小数的简写方法入手，从中理解其简写的设计意图。在课题引入阶段学生自己提出了许多关于循环小数的问题，大部分是教材外的知识，所以如何把课外知识有机地与本节课相结合，并有选择地转化成这个年龄段孩子所能理解和接受的学习内容和学习方式，这是本堂课给我带来的一个新课题，而计算机的介入为这个教学目标的实现提供了有力的保证。

五、教学过程

1.创设情境，讲故事找规律（引入知识）

今天，黄老师给大家带来一个故事，我保证讲一遍后大家都会讲，信不信？

“从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，老和尚对小和尚说：从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚……”

大家会讲吗？会讲的请举手！……学生接着讲。

哎，你们怎么都会讲了？老师如果不叫你停下来的话，结果会怎么样？能讲完吗？你们发现了什么规律？（它们是有规律的，不断重复出现的，都是循环的。）

什么是循环？（就是按顺序不断重复出现的。）

引导板书：依次不断地重复出现。

举实例：在生活中还有哪些像这样依次不断重复出现的现象呢？

（如：一年四季就是依次不断重复出现的；白天和黑夜；人类一代一代从婴儿、青年、老年）

揭题、猜测、提出问题：

其实不仅在现实生活中有这样的现象，在数学中也存在着这些有趣的现象。（板书课题：循环小数）

2.初步建构“循环小数”的概念（初步建构）

猜一猜，“循环小数”可能有什么特征？

出示一组数：（学生电脑操作）见图1

（1）8.4161616…　　　（2）3.1415926…　　　（3）0.19292

（4）0.5555…　　　　（5）4646…　　　　　　（6）6.023023023…

根据上题猜测，认为哪些是循环小数？（电脑中选择，然后小组讨论）学生汇报：“（1）”、“（4）”、“（6）”是循环小数。因为其中有一组数字是依此重复循环出现的。“（2）”没有依次不断重复出现的数。“（3）”没有不断出现，不是个无限小数。

追问：从哪里看出它没有不断出现？（省略号）也就是说循环小数它的位数是无限的，也就是无限小数。

“（5）”是整数，循环小数应该是小数，而它是循环整数部分了。

3.明确“循环小数”的概念（再次建构）

什么样的数称得上是循环小数呢？（有省略号的，表示它是无限小数，且有依次不断重复出现的数）演示，见图1、2（齐读，指名读。）

图1

图2

4.提出问题，明确学习任务

关于“循环小数”学生想了解些什么？如：循环小数是怎么产生的？循环小数是怎么读的，有没有简单的写法？循环小数有什么用？（教师根据学生的回答板书问题）……今天就围绕部分问题一起来认识和研究循环小数。

5.展示过程，引导主动探究

研究循环小数的产生：

（1）猜想加减乘除计算中，哪些结果会产生循环小数？（小组讨论）（除法中会出现循环小数。加、减、乘中它们的结果都是有限的。）

（2）根据猜测，研究。

出示：21÷5＝　　　　　11.56÷6＝　　　　　1.37÷11＝

要求：算一算，哪道题的商是循环小数？（第2、3题的商是循环小数）

（3）小组讨论交流：“商的小数部分为什么会出现循环的？”（看余数的）

小结：由于余数中的数字重复出现，所以商才会依次不断重复出现一个或几个数字，于是就产生了循环小数。

认识循环节：

在1.926666…中不断出现的数字是哪一个（见图4）？

图3

图4

在0.124545…中不断出现的数字是哪一个？

在循环小数中，这些依此不断重复出现的一个或几个数字，叫循环节。

设计循环小数的读法和简便写法。

循环小数的简便写法：利用循环节创造出循环小数比较简单的写法。选择循环小数1.926666…、0.124545…学生在纸上试写。反馈，学生在实物投影仪上展示。（如：有的在循环节下画一条横线；有的写了一个循环节，并把循环节圈了一圈；有的只写了一个循环节，后面加了省略号……）师生评议。

小结：（1）简写循环小数时，只写一个循环节，并在循环节的第一位和最后一位的数字上各记一个小圆点。

1.926666…＝　0.124545…＝　0.12345345…＝

（2）交流循环小数的读法。

（3）练习：把循环小数用简便写法表示出来，并读一读。

6.巩固练习，借助计算器验证

判断（见图5）：

图5

（1）一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字重复出现，这样的小数叫循环小数。………………………………………………………………（　　）

（2）8.2323是循环小数。…………………………………………………（　　）

（3）循环小数是无限小数，无限小数也是循环小数。……………………（　　）

如：0.101001000100001…，3.1415926…

是无限小数，但不是循环小数。

根据商写出结果，用计算器验证。

1÷11＝0.0909…

2÷11＝0.1818…

3÷11＝0.2727…

4÷11＝0.3636…

5÷11＝？

6÷11＝？

7÷11＝？

8÷11＝？

9÷11＝？

（介绍计算器，如9÷11为什么最后一位是2？计算器是用了四舍五入法取了近似值）用1500位的计算器验证（见图6）。

图6

用1，2，3，4，5，6分别除以7，会呈现出什么有趣的结果？

用计算器观察，填写在空白处

1÷7＝0.142857142857　2÷7＝0.285714285714

3÷7＝0.428571428571　4÷7＝0.571428571428

5÷7＝0.714285714285　6÷7＝0.857142857142

循环节在142857中按数字从小到大的顺序循环。

（第2、3题为《用计算器计算》的内容）

用特制计算器计算出6÷49的循环小数。

（利用可计算出1500位的计算器软件）

0.122448979591836734693877551020408163265306

7.网络自主探究，继续课外衍生

（1）循环小数还可以转化为分数，网络自学（见图7）。

循环小数分成两类：纯循环小数和混循环小数，纯循环小数是从十分位开始循环的小数。如0.33333333…，0.1428571428571…等。

混循环小数是从十分位后开始循环的小数。如0.1666666666…，0.009090909…等。

（2）怎样换算成分数有两种情况：

①纯循环小数化分数（见图8）：

图7

图8

若整数部分不为0，则整数部分不变。

例如，3.1414…＝，（带分数），读作：三又九十九分之十四。

闯关1：看看读懂了多少（见图9）？

②混循环小数化分数（见图10）：

图9

图10

图11

方法是：分子是由一个不循环部分与第一个循环节所组成的数减去一个不循环部分的数字所组成的数，分母是9和0组成，9的个数与循环节的位数相同写在前面。0的个数和不循环位数相同。

例如0.2565656…＝　0.006666…＝

闯关2：看看读懂了多少（见图11）？

③综合练习，引出经典的数学问题，闯关3：

图12

图13

是否等于1是循环小数中一个经典的问题。（这个知识让小学生来理解比较困难，通过循环小数转变成分数，让学生第一次感知这个问题，并对其产生疑惑和兴趣，激发学生想去查阅资料的欲望。）

（3）学到这里，还只是知道了循环小数的一些皮毛，关于循环小数还有许许多多的知识需要我们去了解。你们想知道吗？提供网站（见图13）。

六、教学反思

1.从整合出发，开发合适高效的资源

《上海市中小学数学课程标准》提出：“应在现代信息技术的背景下，对数学课程内容进行必要的调整和更新……大力拓宽数学学习的渠道，促进数字化学习的开展，推动学习方式的转变……改善数学教学的过程。”执教者本身就是信息技术教师，更要发挥自己的特长，紧密联系学习内容，适当拓展相关内容，有效发挥“整合”作用，使信息技术成为资料的来源，认知的工具，交流的平台。

本课自主开发的资源有选择判断练习、普通计算器和特制1500位计算器，自学探究，闯关练习等，在教学过程中始终吸引着学生的注意，尤其是自学探究部分与闯关练习紧密结合，让学生自主选择学习内容和学习进度，在学习课本原有知识的基础上，给学生创造了自主的学习空间和交互平台，真正拓宽了学习的渠道，促进数字化学习的开展。使网络环境中的学习资源难易恰当，实现了高效学习，还提升了教师创建资源、整体设计教学过程的专业化能力。

2.抛开固有规范，体验数学思想——简洁、明了

循环小数的简写方法很多孩子在课前就会正确书写，但部分孩子只是掌握了其方法，并没有体会到为什么要这么书写，有什么好处。所以我在课堂上安排了让学生自行设计1.92666…、0.1245…和0.8465465…简写方法的环节。学生们的想法很多，如：

师生共同进行评议这些设计方案，挑选出简便的设计，并从中总结出设计的主要思想：不要重复书写循环节，标记要好写、好用。最后教师肯定了同学们的想法，说明我们的想法其实和当初数学家们的想法如出一辙，只是很早以前数学家们已约定俗成用符号“.”来表示循环节。

3.引入计算器，重组学习内容

计算器其实很多孩子早就会了，没有必要再教如何使用，但计算器中还有一些奥秘有待孩子们去发现。如：利用Windows自带的计算器，做1÷11＝0.0909090909091最后一位是“1”，有的学生说：它不是循环小数，因为最后一位是“1”。于是我又提供了一个1500位的计算器供它们实验，发现这一位的“1”没有了。学生马上想到了这是由于计算器的位数有限，为了表示它能显示的最后一位，采用了四舍五入法，达到了我让学生在本节课中学习计算器的目的。

4.转变学习方法，培养自学能力

“要建立合理的数学学习训练系统，要向学生提供丰富的学习资源、自主探究的时间以及必要的指导和帮助，使学生的认知获得、过程经历、情感态度与价值观提升，在数学学习中得到和谐统一。”本课实践了这一新理念。教师向学生提供丰富的学习资源、自主探究的时间以及必要的指导和帮助，充分发挥信息技术的优势。

循环小数涉及的知识很多，从中不乏一些经典的数学问题。所以在新授的初始阶段，教师让学生自己提问：“今天还想在本堂课中了解循环小数的哪些知识？”学生们的想法很多，如：循环小数的读写方法。循环小数如何转化为分数？循环小数如何分类？是否等于1（有一个班的学生提出）等。

在自学过程中，师生运用信息技术选择信息、分析判断、自主操作能力得到同步提高。

表1　两班五年级学生10分钟闯关游戏结果

根据以上的数据能看出80％以上的学生能掌握这部分拓展知识，有一定的自学能力，但对于第三关，教师特意在最后设计了一题。学生根据前面的自学已经知道是纯循环小数就等于，而就等于1，最后一个空格很多孩子都很犹豫，难道真的为1？学生不能肯定自己这个答案，从而就引出了学生第4个问题。师生一同再来看这道题，肯定了学生犹豫不决的答案，并告诉他们这是循环小数中一个很经典的问题。网络上关于是否等于1？还有很多种的解释，有兴趣课后可以去了解。关于循环小数还有许多有趣的问题，老师提供一些网站，作为学生的中长期作业课后继续探究。

本文获中国教育教学研究会主办的2009年中国教育系统（基础教育）论文评选一等奖。