让学生经历更有价值的数学思维活动

陈庆宪

数学教学是数学活动的教学，这是新课程教学提出的重要理念。在这“活动”理念的引领下，各种形式的探究活动应运而生。课堂上，教师一讲到底的情况少了，学生参与活动的时间多了。而现在面临的问题是怎样的学习活动更为有效，更能突出数学思维的活动价值。下面我以“长方形面积计算”的三种设计方案所呈现的教学片段为例，谈谈如何让学生经历更有价值的数学思维活动。

教学片段（一）

1.复习面积单位。

师：我们已经学习了“面积和面积单位”，谁来说一说常用的面积单位有哪些？

生：平方米、平方分米、平方厘米。

师：那1平方米、1平方分米、1平方厘米有多大呢？（在学生联系实际的描述中，教师呈现相应的正方形纸片，边长分别是1米、1分米、1厘米的正方形）

师：我们能够用这些面积单位测量较小物体的表面或一些图形的面积，如果要你用1平方米的面积单位去测量我们操场的面积，你愿意吗？

生：太麻烦了。（教师从中引出下一环节）

2．拼摆长方形，记录长、宽的长度和面积

师：今天我们要研究长方形的面积计算方法。请同学们先拿出若干个1平方厘米的小正方形纸片拼摆出长方形，并把拼摆出的长方形的长与宽的长度，以及它们的面积分别记录在表格上。接着再拿出数量不同的小正方形纸片，继续摆一摆、记一记，每人至少要摆出三个以上的长方形。

根据学生的操作，教师组织反馈交流，呈现出多张学生的表格。

3．观察、概括长方形的面积计算方法。

教师提出：请同学们观察表格，发现了什么？

学生很快发现了“长方形的面积=长×宽”。

教学片段（二）

1.复习面积单位。

（1）教师引导学生回忆面积单位。（过程同上）

（2）提出实际问题：如果要用面积单位去测量教室地面的面积，用哪个面积单位比较合适？如果要测量课桌面的面积、橡皮擦一个面的面积，用哪个面积单位比较合适呢？

（学生分别做了回答，教师分别呈现面积单位是1平方米、1平方分米、1平方厘米的纸片）

2.从解决问题中概括计算方法。

（1）师：请同学们观察练习纸上画着的一个长方形，估计一下它的面积大约是多少？（课前提供给每位学生一张练习纸，画在纸上的长方形的长是5厘米、宽是3厘米）

（学生通过观察，估计有不同的结果）

师：用什么方法能比较准确地知道它的面积呢？

这时学生提出了要用1平方厘米的小正方形纸片去量一量，也有部分学生提出直接去量边的长度。

（2）师：请同学们拿出若干个1平方厘米的小正方形纸片去摆一摆、量一量它的面积是多少平方厘米？

学生测量后，再组织交流。学生的量法有以下三种：①大部分学生都用了15个1平方厘米的小正方形，摆满整个长方形，得出这个长方形的面积是15平方厘米；②有几位学生采用了沿着长边摆出5个小正方形，沿着宽边摆出3个小正方形，得出面积是15平方厘米；③还有几位学生直接量出长边和宽边的长度计算出面积。

（3）组织概括。

教师针对以上不同情况逐一引发质疑。

①师：摆满15个小正方形，显然面积是15平方厘米，那怎么算呢？

生：因为每行5个，共有3行，所以面积是“5×3=15”。

②师：为什么沿着长边摆5个，宽边摆3个，就能知道它的面积是15平方厘米呢？

生：沿着长边摆5个，说明一行刚好摆了5个小正方形，宽边摆3个，说明可以摆3行，也就是长方形的面积等于“5×3=15”。

③师：为什么直接测量长边和宽边的长度，就能计算它的面积了吗？

生：量出长边是5厘米，就说明沿着长边可以摆5个小正方形（师补充：也就是5个1平方厘米的正方形），量出宽边是3厘米，也就是说沿着宽边可以摆3个小正方形。所以它的面积就是“5×3=15”。

师：那你们要计算一个长方形的面积，还会这样去拼摆面积单位吗？

生：可以直接量出长和宽的长度，再用“长×宽”来计算它的面积。

教师板书：长方形的面积=长×宽。

教学片段（三）

1.复习。

在格子纸上数一数图形的面积。

屏幕呈现下图。提出：如果每小格表示1平方厘米，格子图中图形的面积分别是多少？

学生很快说出了图形A、B、C的面积都是12平方厘米；图形D的面积是31平方厘米；图形E的面积是18平方厘米。

教师在学生的回答中及时质疑各种图形的面积是怎样数出来的，对图形D引发学生说出两种数法，即“5×5 + 6”或“8×5 - 9”；对图形E，引导学生理解以下两种方法，即把三角形补成正方形，用到“6×6÷2”的方法，或直接把6个半格看成3个整格，用“15＋3”的方法。

2.从画指定面积的长方形中展开。

（1）在有格子的练习纸上画长方形。

师：你们能在格子纸上数出图形的面积，现在请同学拿出画有格子的练习纸（课前给每位学生准备），每一小方格是1平方厘米，你们能在这张格子纸上画出面积是24平方厘米的长方形吗？要求每行都是整格数，你能画出几个面积是24平方厘米的长方形？

学生在格子纸上操作后，交流出不同画法（如右图）。

这时教师让学生观察每种画法的面积是否为24平方厘米。在这一小环节中，教师只引导学生得出“每行个数×行数”就可以了。

（2）引发学生在白纸上画长方形。

师：刚才大家在格子纸上都能画出面积是24平方厘米的长方形，现在要求同学们在空白纸上画出面积同样是24平方厘米的长方形，能行吗？请同学们画在这张格子纸的反面（反面是空白的）。

学生在画的过程中，不断回忆刚才在格子纸上的画法，一部分学生还在重新画格子；一部分学生沿着长边画出几格，沿着宽边画出几格；大部分学生已直接画出长几厘米、宽几厘米的长方形。

接着教师反馈学生以上不同的画法，组织质疑，使学生清晰地知道：重新画格子是比较麻烦的，可以直接画出长方形的长和宽。

师：为什么直接画长和宽是几厘米，就能知道它的面积呢？

学生悟到：长几厘米就是相当于一行有几个1平方厘米的小正方形，宽几厘米就是相当于有几行。

师：长方形的面积可以怎样计算呢？

学生概括出：长方形的面积=长×宽。

教师利用媒体，在屏幕上再次呈现，长和宽分别注有厘米数，且面积是24平方厘米的不同长方形，让学生概括总结这些长方形的面积都可以用“长×宽”来计算，即有：24×1=12×2=8×3=6×4=24 （平方厘米）。

【思考】　分析以上三个教学片段，共同之处是在教师引领下学生参与操作活动，并且前两种教法是大家一直在采用的方法。但仔细分析每一教学片段，思维活动层次是有差异的。

教学片段（一），学生的操作是在教师的指领下去“取”若干个1平方厘米的小正方形，接着去“摆”长方形，再接着去“记”长方形的长、宽的长度和长方形的面积。虽然形式开放，但为什么要这样操作，学生是不清楚的。只是在观察表格时，需要学生发挥出一定的观察、概括能力。

教学片段（二），教师以问题引入，激发学生在解决问题的过程中学习新知，这是很好的引入方式。但当学生进入用1平方厘米的小正方形去拼摆，来测量一个长方形的面积的过程中，大部分学生都是用小正方形摆满长方形后，得出长方形的面积。在这一拼摆过程中学生缺少有意识地去想长边、宽边所摆的几个小正方形与边的长度关系。整个活动也是在被动地接受教师的引导或其他同学的帮助。虽然理解了长方形的面积计算方法，但这样的操作过程，数学思维的含金量还不是很高。

教学片段（三），在引入时，并没有从复习面积单位入手，而是直面格子图上的图形来数面积，这不仅有助于学生对面积单位的回忆，而且为研究长方形的面积环节做了准备。接着的环节是让学生先在格子纸上画面积是24平方厘米的长方形，使学生在画的过程中感悟到除了面积相等的长方形有很多个以外，更重要的是认识到了面积和每行格子数与行数的关系。再接着要求学生在一张白纸上画面积是24平方厘米的长方形，这时，每位学生都在竭力地回想刚才在格子纸上是怎样画长方形的情形。从而促使他们去联想格子数与边的长度关系。当想到可以直接按长边与宽边各应画出几厘米时，学生自然想通了当长方形的长和宽的长度确定，其面积也随之确定。由此可见这样的操作活动，无疑更有价值，它让每位学生都真正经历了有挑战性的思维活动，而且这种挑战过程是学生在轻松、愉悦中完成的。

反思教学片段（三）的设计，我们主要基于两点思考：

①怎样更好地利用学习起点。也就是在教学时怎样尽量发挥学生的学习潜能，不要让他们在过低的思维层面上重复演练。如在本课学习之前，至少有一节课学习了“面积与面积单位”和“利用面积单位度量有关图形面积”。所以在设计本课教学时，我们首先考虑到采用怎样的方式，能更好地利用学生已掌握的知识与技能进行新知的探究。在片段㈢的教学中，我们让学生从看格子图去数，来计算一些图形的面积入手，紧接着再利用这一基础，让学生在格子纸上画出指定面积的不同长方形。这样的引入把复习知识和培养技能融合在探究之中，收到了较好的教学效果。

②怎样更好地提升数学的思考。数学思维活动的基点往往要借助于“数”与“形”的两个维度。也就是要引导学生在学数学的过程中不断地从“数量”去想象“图形”，以“图形”去联系“数量”。为此，我们在以上教学片段㈢中，在格子纸上画长方形的环节之后，马上要求学生在空白纸上画同样面积的长方形，这也正是本课教学改进的主要突破点。当学生直接按长边、宽边的长度画出长方形，并由此确定长方形面积时，实质上学生在脑子里已经与格子图上的长方形建立了联系。这样的教学为离开格子图，直接测量边的长度，计算长方形的面积，构建了认知上的支架；这样的教学能促使每位学生投入数学的思考中，使他们在探究知识的过程中，得到更好的思维训练。