教学难点突破

这里针对教学难点突破主要设计了以下5个阶段。

阶段1：逆向思维引出的自然化

这是一个感知逆向思维的阶段。利用两个具体例子，通过正反两个方向体验感受，使学生摆脱对正向思维惯性的依赖，从而自然而然地引出逆向思维。

1.凯撒密码

（图片引自网络）

其基本思想是通过把字母移动一定的位数来实现加密和解密。当偏移量是3的时候，明文字母A将被替换成密文字母D，明文字母B变成密文字母E，以此类推。这里，如果把加密看成正向思维，那么解密就是逆向思维。

2.摄氏温度与华氏温度——两种温度度量制的相互转换

这里，如果摄氏转化到华氏是正向思维，那么华氏转化到摄氏就是逆向思维。

阶段2：借解析式使逆向符号化

利用刚才两种温度度量制相互转换的例子，通过顺应高中函数概念的表达，体会对应关系，使学生摆脱对初中动态函数概念的依赖，为引出静态的、形式化的反函数概念做好准备。

摄氏温度与华氏温度——两种温度度量制的相互转换

1.写出函数解析式y＝f（x）

已知摄氏与华氏两种温度度量制的相互转换是一次函数的关系。请学生写出华氏温度y（℉）关于摄氏温度x（℃）的函数解析式y＝f（x），即y＝1.8x＋32。

用高中函数概念解读一下，这里对于每一个x，在对应法则f的作用下，有唯一确定的y与之对应。（目的：凸显了因变量y与自变量x之间的静态对应关系。）

特别地，

我们可以采用这样的形式表达f（0）＝32；

一般地，

我们可以采用这样的形式表达f（x0）＝y0。

2.引出逆向对应法则的符号

对于上述函数y＝f（x），即y＝1.8x＋32，

特别地，0在对应法则f的作用下，有唯一确定的32与之对应；

反之，32在“某种对应法则”的作用下，也有唯一确定的0与之对应。

一般地，x0在对应法则f的作用下，有唯一确定的y0与之对应；

反之，y0在“某种对应法则”的作用下，也有唯一确定的x0与之对应。

特别注意解读这里的“某种对应法则”：

①明确：“对应法则f”和“某种对应法则”之间必须保证x0与y0之间的配对关系不变；

②指出：这里的“某种对应法则”是原来对应法则f的逆，我们记为f－1，读作f逆。

于是，32在对应法则f－1的作用下，有唯一确定的0与之对应；

于是，y0在对应法则f－1的作用下，也有唯一确定的x0与之对应。

3.叙述的模式化实施于具体

以反函数概念的叙述模式实施于具体函数，让学生对反函数概念的表述有一个初步印象，为下一阶段学生完成反函数概念的叙述做好准备，不至于有初次面对的突兀。

对于解析式y＝1.8x＋32，交代y是关于x的一个一次函数，并由此引导学生发现以下两个事实。

事实1：对于每一个x，在对应法则f的作用下，有唯一确定的y与之对应。反之，也有——对于每一个y，在f－1的作用下，有唯一确定的x与之对应。

事实2：x也是关于y的一个函数。（目的：提前渗透——反函数也是一个函数。）

由以上两个事实，我们就可以将这个x关于y的函数记为x＝f－1（y）。

阶段3：借图式引出形式化概念

脚手架1：

回顾上述一例中发现的两个事实，提示①注意对应关系的描述，②顾名思义反函数首先是一个函数。

脚手架2：

借助图式和填空形式，为学生描述形式化反函数概念降低难度。

通过设置脚手架，引导学生表达出形式化的反函数概念：

一般地，对于函数y＝f（x），设它的定义域为D，值域为A。如果对于A中的任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，且满足y＝f（x），这样得到的x关于y的函数叫做y＝f（x）的反函数，记作x＝f－1（y）。习惯上，自变量常用x表示，而函数用y表示，所以把它改写为y＝f－1（x）（x∈A）。

阶段4：促进概念理解的深刻化

1.交代x与y互换是习惯的需要

2.揭示定义域与值域之间的关系

反函数的定义域和值域分别与原函数的值域与定义域相同，因此求反函数的定义域实际上就是求原函数的值域。

3.揭示互为反函数图像间的关系

借用“两种温度度量制的相互转换”一例，体会互为反函数的图像关于直线y＝x对称。

4.强调不是所有函数都有反函数

通过几个具体问题的辨析，使学生明确并不是所有函数都具有反函数。

阶段5：指出求反函数的算法化

引导学生体会求反函数的步骤，并交代其中蕴含了算法思想，方程思想。