整式的除法

时间：2022-02-24 理论教育版权反馈

【摘要】：也就是说，同底数幂相除底数不变，指数相减，其中底数a不等于零，是一个非常重要的条件，因为若底数为零，则零的任何次幂都等于零，这样除数就为零了，而除数为零时，式子无意义．在含有乘方的同底数幂的乘除运算中，先算积的乘方、幂的乘方，再算同底数幂的乘除；在只有乘除的运算中，应按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的．解题策略：第（1）小题可直接利用同底数幂的除法法则计算；第（2）小题和第（3）小题是有

【知识结构框图表解】

alt

【基础知识详解与要点点拨】

1．同底数幂的除法法则

a^m÷aⁿ＝a^m－n（m、n是正整数且m＞n，a≠0）

也就是说，同底数幂相除底数不变，指数相减，其中底数a不等于零，是一个非常重要的条件，因为若底数为零，则零的任何次幂都等于零，这样除数就为零了，而除数为零时，式子无意义．

这里字母a可以表示一个具体的数字，也可以表示一个字母，还可以表示一个单项式或多项式．

同底数幂的除法法则与同底数的乘法法则是互逆的关系，可利用它们之间的关系来验证结果是否正确．

2．零指数幂的意义

任何不等于零的数的零次幂为1，即

a⁰＝1（a≠0）

要特别理解a⁰的意义，a⁰的意思是底数是a且指数相等的两个幂相除，即

alt

同样地，这里的a≠0，即底数不为零．

例如，若（x－1）⁰＝1，则必有x－1≠0的条件，即x≠1．

3．运算顺序

在含有乘方的同底数幂的乘除运算中，先算积的乘方、幂的乘方，再算同底数幂的乘除；在只有乘除的运算中，应按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的．

4．计算时的几点注意

（1）a^m÷aⁿ＝a^m－n的条件：a≠0，m、n均为正整数，并且m＞n．

（2）a⁰＝1条件是a≠0，0⁰没意义．

（3）运算时要注意符号，特别是当负号较多时．

【典型例题精讲与规律、方法、技巧总结】

例1　计算下列各题：

（1）x⁸÷x³

（2）（-a）⁸÷（-a）⁵

（3）（-a）⁸÷（-a⁵）

（4）（x－y）⁷÷（y－x）⁶

解题策略：第（1）小题可直接利用同底数幂的除法法则计算；第（2）小题和第（3）小题是有区别的，首先它们的底数不同，（-a）⁵的底数是-a，而-a⁵的底数是a，它表示的是a⁵的相反数，其次在这两题中还蕴含了计算（-a）ⁿ的规律：

alt

所以在计算这些带有符号的问题时，可先确定符号，再按法则结算；第（4）小题的底数是多项式，也符合同底数幂的除法法则．

解：（1）x⁸÷x³＝x^8－3＝x⁵

（2）（-a）⁸÷（-a）⁵＝（-a）^8－5＝（-a）³＝-a³

（3）（-a）⁸÷（-a⁵）＝-a⁸÷a⁵＝-a³

（4）（x－y）⁷÷（y－x）⁶＝（x－y）⁷÷（x－y）⁶＝x－y

注意：同底数幂的除法法则也适用于底数是单项式的情形，当底数不相同时，应先设法转化为同底数幂，否则不能用这个法则计算．

例2　计算下列各题：

（1）（-a³）³÷［（-a²）（-a³）²］

（2）［（a³）³·（-a⁴）³］÷（a²）³÷（a³）²

解题策略：本例中综合运用了幂的运算法则，在解答时要注意运算的顺序，以及符号的问题．

解：（1）原式＝（-a³）³÷［-a²·a⁶］＝-a⁹÷（-a⁸）＝a

（2）原式＝［a⁹·（-a¹²）］÷a⁶÷a⁶＝-a²¹÷a⁶÷a⁶＝-a⁹

例3　计算：（1）［-2⁴×（4－2×2⁰）÷（-2²）÷32］×4

（2）9⁹×27²÷（-3）²¹

解题策略：解答本例需要把所有的因式都化为同底数的幂，然后再根据运算法则和运算顺序进行计算．

解：（1）［-64×（4－2×2⁰）÷（-2²）÷32］×4＝［-2⁸×2÷（-2²）÷2⁵］×2²＝2⁴＝16

（2）9⁹×27²÷（-3）²¹＝（3²）⁹×（3³）²÷（-3）²¹＝3¹⁸×3⁶÷（-3²¹）＝-3³＝-27

例4　填空：

若（x－2）⁰＝1，则x的取值范围是________．

解题策略：本例中主要考虑的是零指数幂的意义，底数不为零应时刻牢记．

解：x取值范围是x≠2．

例5　某农科院要在一块长1.2×10⁵cm，宽2.4×10⁴cm的实验基地上培育新品种粮食，现培育每种新品种要变长为1.2×10⁴cm的正方形实验田，问这块实验基地最多能培育几种新品种粮食？

解题策略：本例实质上是考察大的长方形中有多少个小正方形的问题，也就是用大长方形的面积除以小正方形的面积．

解：　1.2×10⁵×2.4×10⁴÷（1.2×10⁴）²＝2.88×10⁹÷（1.44×10⁸）＝20

答：最多能培育20种新品种的粮食．

例6　已知3^m＝6，9ⁿ＝2，求3^2m－4n＋1的值．

解题策略：本例可逆用幂的有关性质，将结论中的代数式转化为含有已知条件的代数式进行求解，即要求3^2m－4n＋1的值，要把已知条件转化为以3为底的幂的形式．

解：3^2m－4n＋1＝3^2m÷3⁴ⁿ×3＝（3^m）²÷（3²）²ⁿ×3＝（3^m）²÷9²ⁿ×3

∵3^m＝6，9ⁿ＝2

∴3^2m-4n＋1＝6²÷2²×3＝36÷4×3＝27．

注意：逆向思维是探究新问题、新方法、新知识的一种必要手段，因为思考的对象或问题往往不是以一般形式展现在你面前，你用常规思路去试图求解，可能束手无策，只有突破传统观念或视角，从一个非同一般的切入点去审视，才能发现其中的奥秘；许多新的发现、发明、创造，就是从事物的另一面去思索，用一种不同与常规的方法去探究，才能学得更深更广．

【知识结构框图表解】

alt

【基础知识详解与要点点拨】

1．单项式除以单项式的运算法则

单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除，作为商式的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．

2．两个单项式相除可分为三个步骤

（1）把系数相除，所得的结果作为商的系数；

（2）把同底数的幂分别相除，以所得的结果作为商的因式；

（3）只在被除式里含有的字母，连同其指数作为商的一个因式．

这里显然指的是被除式能被除式整除的情况，所以两个单项式相除，在现阶段仍是一个单项式．

3．单项式除以单项式实质上是单项式乘法的逆运算，即已知两个单项式的积和其中一个单项式，求另一个单项式的问题，所以，可以用单项式乘法法则检验单项式除以单项式的结果是否正确．

4．运算时的几点注意

（1）本节的重点是单项式除以单项式的法则与应用，作为整式除法内容中不可或缺的重要组成部分，单项式除以单项式起着承上启下的作用，它既是同底数幂除法性质的延伸，又是多项式除以单项式的基础和关键，因此本节的重点是单项式除以单项式的法则与应用．

（2）单项式除以单项式的运算是本节的难点．在单项式除以单项式的计算过程中，既要对两个单项式的系数进行运算，又要对两个单项式中同字母进行指数运算，同时对只在一个单项式中出现的字母及其指数加以注意，这对于刚刚接触整式除法的初一学生来讲，难免会出现照看不全的情况，以至于出现计算错误或漏算等问题，所以运算中要特别仔细．

（3）要熟练地进行单项式除以单项式的运算，必须掌握它的基本运算，幂的运算性质是整式乘除法的基础，只要抓住这关键的一步，才能准确地进行单项式除以单项式的运算．

（4）符号仍是运算中的重要问题，用单项式除以单项式时，要注意单项式的符号和只在被除式中出现的字母及其指数．

【典型例题精讲与规律、方法、技巧总结】

例1　计算：

（1）（-05a²b³x³）÷（- alt ax²）

（2）（5x^m＋2yⁿ）²÷[（-xy）²]ⁿ

（3）（2ax）²（- alt a⁴x³y³）÷（- alt a⁵xy²）

解题策略：①此题为两个单项式相除，运用法则计算；

②只在被除式中含有的字母b，连同它的指数作为商的一个因式b³．

解：（1）　 alt

解题策略：①混合运算先做乘方再乘除；

②第一步：被除式做积的乘方，除式是幂的乘方；

③第二步做单项式乘除混合运算．

（2）　 alt

注意：y²ⁿ÷y²ⁿ＝1不是0．

解题策略：①第一步先求（2ax）²；

②第二步用单项式乘除法则运算．

（3）　 alt

例2　计算：9（m－n）⁶÷3（m－n）³

解题策略：①此题运用两个单项式相除的法则；

②（m－n）的系数相除，（m－n）的指数相减．

解：　9（m－n）⁶÷3（m－n）³＝9× alt ×[（m－n）⁶÷（m－n）³]＝3（m－n）^6－3＝3（m－n）³

例3　计算：（1）12¹³÷（3¹⁰×4¹¹）

（2）a¹²b⁸÷a⁹b⁶

（3）-［（-2a²）⁵］÷［-（-a）³］³

解题策略：①将12¹³进行变形，12¹³＝（3×4）¹³用积的乘方逆变形运算；

②第二步可用法则展开．

解：（1）　 alt

解题策略：①解法一运用两个单项式相除的法则进行计算；

②解法二运用积的乘方的逆变形转化成（a³b²）的同底数幂相除进行计算．

（2）解法一：a¹²b⁸÷a⁹b⁶＝a^12－9b^8－6＝a³b²

解法二：　a¹²b⁸÷a⁹b⁶＝（a³b²）⁴÷（a³b²）³＝（a³b²）^4－3＝a³b²

解题策略：运算时注意符号，特别是负号较多时．

（3）-［（-2a²）⁵÷［-（-a）³］³＝-（-32a¹⁰）÷（a⁹）＝32a^10－9＝32a

例4　设a＝ alt ，b＝ alt ，n＝1，求a^2n＋1b^3n－1÷a^n－1b^2n－3的值．

解题策略：①求值问题一定先观察代数式是否能进行化简，若能进行化简应先化简再求值；

②第一步至第三步应用两个单项式相除的法则进行计算，a^n＋2b^n＋2再应用积的乘方的逆变形为（ab）^n＋2，计算起来简便；

③将已知的a，b，n的值代入化简后的式子（ab）^n＋2再求值．

解：∵a^2n＋1b^3n－1÷a^n－1b^2n－3＝a^{2n＋1－（n－1）}b^{3n－1－（2n－3）}＝a^{2n＋1－n＋1}b^{3n－1－2n＋3}＝a^n＋2b^n＋2＝（ab）^n＋2

又∵a＝ alt ，b＝ alt ，n＝1，

∴原式＝ alt

例5　已知底面一边长为 alt ，另一边长为 alt 的长方体的面积是棱长为a的正方体体积的 alt ，求长方体的高．

解题策略：根据本题中存在的等量关系：长方体体积＝ alt ×正方体体积，列出等式．

解：设长方体的高为h，其体积为 alt ，

正方体体积为a³，

依题意可得： alt

∴ alt

答：长方体的高为 alt ．

【知识结构框图表解】

alt

【基础知识详解与要点点拨】

1．多项式除以单项式的法则

多项式除以单项式，先把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得商相加，用式子表示就是：（am＋bm＋c）÷n＝am÷n＋bm÷n＋cm÷n．

2．多项式除以单项式是多项式乘以单项式的逆运算

多项式除以单项式，其基本方法与步骤是化归为单项式除以单项式，结果仍是多项式，其项数与原多项式的项数相同．因此多项式除以单式的运算关键是将它转化为单项式除法的运算，再准确应用相关的运算法则．根据除法是乘法的逆运算可知，多项式除以单项式的运算法则的实质是把多项式除以单项式的运算转化为单项式的除法运算．由于 alt ，故多项式除以单项式的法则也可以看做是乘法对加法的分配律的应用．