撞球赛中的预测

现在我们赋予这台强大的计算机较为简易的任务：在撞球赛开局时，预测球台上的球被母球击中之后的散射路线。球台上的每一颗球都会受到碰撞，多数的球甚至会经历多次碰撞，在撞击彼此或球台边缘之后反弹。当然，计算机需要精确知道母球击出的力道，以及它撞击第一颗球确切的角度。但是这些条件就足够了吗？当所有的球最终静止下来，计算机预测撞球的散布情形与实际情况相差多少？若只有两颗球碰撞，预测碰撞结果理论上是完全可行的，但如果要考虑多颗撞球经过复杂多重散射之后的结果，却几乎不可能。若其中一颗球以稍微不同的角度滚动，它可能与另一颗原本擦身而过的球产生碰撞，两颗球的轨迹便产生戏剧性的改变。最后的结果便突然变得截然不同。

因此，我们提供给计算机的信息，不仅应该包含母球的初始条件，还须包括其他所有球在球台上的精确位置——它们是否互相接触、彼此之间的精确距离、与球台边缘的距离等。即使有了这些还是不够。任何一颗球上的微小尘埃都足以影响这颗球的路径几分之一毫米，或让它略微变慢，进而稍稍改变它与另一颗球的碰撞力道。我们也需要提供球台表面的精确状态：例如，表面稍有灰尘或磨损，因此增加或减少与球之间的摩擦力。

你可以想见，这还算不上是不可能的任务。假如我们拥有全部初始状态的信息，并充分掌握运动定律与方程式，原则上仍有可能预测。球最终静止的位置并不是随机的——他们都遵循物理定律，无论在什么时刻，都以完全命定的方式依所受的力做运动。问题在于，实际上我们不可能得出完全可信的预测，因为所有必须的初始条件都要达到极端精确的程度，包含每颗球表面的每一颗灰尘，以及球台表面的每一缕纤维。当然，假如球与球台表面之间没有摩擦力，球的碰撞与散射将持续更久的时间，为了确定球最终会停在何处，我们必须更精确地知道它们的初始位置。

我们无法完全精准地知道或掌控初始条件及其他持续改变的影响因素，同样情形也出现在其他更简单的系统中。例如，抛掷硬币时很难重复相同的动作，也很难一次又一次得到相同的结果。如果抛掷一枚硬币出现正面，要我以完全相同的方式再度抛掷，使它在空中翻转相同次数并再次出现正面，实在非常困难。

在打撞球与抛掷硬币这两个例子中，如果有完备的知识，我们可以重复完全相同的动作，并获得一致的结果。这种可重复性是牛顿世界随处可见的基本性质。然而，对初始条件的敏感性也在日常生活中随处可见。如果你在某天早晨上班途中做了某个决定，比如过马路前停顿了1秒钟，可能就错过遇见老朋友的机会，而他提供的信息会帮你找到新工作，进而改变你的人生；或者，你在穿越马路的过程中稍微迟疑了一眨眼的时间，结果可能被公交车撞上。在命定的宇宙中，我们的命运或许早已安排好，但却全然无法预测。

第一个将这些想法带给全世界，并且协助创造出“混沌”这个新概念的人，是美国数学家兼气象学家爱德华·罗伦兹；他在1960年代初期进行气候型态仿真时，意外发现这个现象。他使用早期的桌面计算机LGP-30进行运算，有一次，他想用相同的输入值重复进行仿真，便决定采用计算机所算出并在程序执行途中打印出来的某个数值。他将这个数值键入计算机，让程序再执行一遍。他以为计算机会得出与前一次模拟相同的结果，毕竟使用的数据是一样的，不是吗？

实际上并非如此。计算机的计算能力精确到小数点后六位数，但打印出来的数据只有四舍五入到小数点后三位。在最初的运算中，它使用的数值是0.506127，但打印出来的值是0.506，也就是罗伦兹第二次键入的数据。他以为这两个数值之间的微小差异（0.000127）只会导致运算结果产生些微的不同，不论程序重复执行了多长时间。但非常意外的，结果并不是这样。罗伦兹发现，些微的变化有时候会产生非常巨大的效应。这种模拟运算就是我们现今知道的“非线性行为”其中一例。这就是为什么长期的天气预测会如此困难，因为我们永远无法完全精确地掌握现实中所有影响天气的变量；就像撞球的例子一样，只是又复杂得多。如今，我们能在合理的可信度范围内预测未来几天是否下雨，但绝不可能知道明年的今天是晴是雨。

这个深刻的理解让罗伦兹创造出“蝴蝶效应”一词。一只蝴蝶的振翅将对随后发生的事件带来涟漪般微弱却又影响深远的效应。

这个想法最早出现在一篇题为《一声惊雷》（A Sound of Thunder）的短篇故事，由雷·布莱德伯里于1952年创作。这个点子被罗伦兹借用并加以推广，成为目前广为人知的概念：一只蝴蝶在某处拍动翅膀，几个月之后竟在地球另一头造成一场暴风雨。要特别在此澄清的是，这当然并不意味着飓风的生成仅来自单一蝴蝶的振翅，而是全球大气环境中数以兆计的微小扰动累积而成的效应；只要其中任何一个扰动改变或消失，飓风就可能不会发生。