从学生给出“解释不清”的解法说起

从学生给出“解释不清”的解法说起——浅谈课堂上教师把握学生提供的教学契机

何冬梅^[1]　 齐大文^[2]

背景：

在初中预年级第二学期第七章第八节《三角形的内角和》的课堂教学中设计了下面这样一道题目。题目写出后，给了学生充分思考与解答的时间。在个别指导时发现，学生的解法很多。

（图1）

例子：如图，已知BD和CD分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，∠D＝120°，求∠A的度数？于是决定在课堂上征集学生的解法。这时一位张姓同学给出了一个非常简洁的方法：解：∠A＝（180°－120°）＝60°。其结果与使用其他方法所得到的答案是一样的。但，这一结果超出了教师的课前预计。到底这种方法是对还是不对呢？在教师一时也无法立判对错的情况下，教师决定对教学过程做出调整，于是发生了下面一幕：

课堂教学实录整理与同步心理分析：

……

师：同学们，有谁和张同学使用同样的方法？

生：（无声音：这说明其他同学都没有这样想过）

师：无论张同学说的是对还是错，我想可能都会给我们重要的启示，让我们欢迎张同学给大家介绍他的思路。

生：（掌声，自发的并且声音很大。看出同学是受好奇心驱使所至。）

张：（起立）其实我的想法并没有什么特殊的地方，只是多想了一步。

生：（全体学生都带着疑惑的表情，教师在迅速思考他所说的含义，并开始验证结果的对错）

张：首先，我也和其他人一样先是用其他的方法得到了∠A＝60°。但是我总感觉解法有点繁，老师曾经讲过“因繁质疑”，于是我想有没有简单一点的解法。换个角度，大家都从具体运用三角形内角和或外角定理这一细节入手，我可以从整体入手，这时我发现“∠A＝60°”这个结果正好与“180°－120°”的结果是一样的，于是我想我可能找到了一个解决类似问题的一个简单规律。其实我也无法直接解释这是为什么？但我想如果∠A与∠D互补那该多好啊？

生：（疑惑：会有这样的想法？因为张同学并没有解释清楚，显然还不能应用，但正是因为这个原因，全班同学的好奇心更浓了。这一现象的显著表现之一就是：此时有一些原来反应比较快的男生，开始自言自语：“我也会这样想，这有什么稀奇的？这是一种希望与失望并存时的复杂心理表现［开始时怎么不说呢］。它可以作为教师评判学生关注程度的标准。）

师：同学们，虽然张同学很谦虚地说：“只是多想了一步”，但是正是这一步，就有可能重新改写数学史。（出语惊人，制造紧张气氛，提高学生对这一说法的重视程度）我给同学们讲个与“多想一步”有关的一则寓言故事：牛顿曾经“睡过一觉”的苹果园的农夫升了天堂后，当着牛顿的面向上帝抱怨：“我天天在果园里辛苦劳作，早起晚归，工作了一生，上千次地看到苹果从树上掉下来，但我仍然是个默默无闻的小人物，而牛顿在我的果园只打了一个瞌睡，看到了一只苹果从树上掉下来，就发现了‘万有引力’，成为了世界名人。这不公平。”牛顿听后，微微一笑，轻轻地说：“那是只不过是因为我比你多想了一步：为什么苹果会从树上掉下来？”这个故事揭示了这样一个道理：惊人的发现，不一定是在多么深奥难解的情况下发生的，有时可能只需要我们在原来的基础上“多想一步”，因此，谁也不能小看这“多想的一步”，它可能就是你们将来某个人在某科学领域有重大发现的理由。（给学生自觉思考打下伏笔）

生：（惊讶，回味着老师说的话）

师：但是老师也不得不说，张同学得到的这个结论还需要进一步的验证。如何来验证呢？（此时教师已知结果是否对错，但机会难得，不能由老师直接说出答案，让学生体验证的过程更重要。因此，提出这个问题，引导学生的思考方向）

生：（头脑一片空白，茫然不知所措……用耗散结构原理来解释此时的情况为：学生的思路处于无序的状态，这种状态并非是一件坏事，恰恰相反，当这种状态达到一定程度，或外因引导，就可以使学生这种知识的无序状态，重新进入新的有序状态。完成知识的重新建构）

师：如果∠D＝130°，按张同学的“结论”，∠A应该等于50°（即180°－130°），请同学们一起来用你们已用过的方法来验证一下（揭示了验证用的是最简单、最基本的方法，都是学生会做的部分，让学生又有新的体会）。

生：（理解：原来验证就是换一个数值用已经用过的老方法，如此简单。动手解答，3分钟）……

师：请同学上前面板演简单的验证过程。（注：预备年级学生不会写推理过程，故简单写。评：原记录中有四不同的解法，现选录了两则，并展示给全体同学来看，其原因是：此时的学生更愿意交流不同的解法，开拓自己的思路，而不是固执己见。这又创设了一个最佳的“一题多解”学习情景。因此要充分加以利用，力争扩大战果。）

（图2）

生A：解：如图四延长BA，且过A点引出∠EAF的角平分线AF——①

∵∠D＝180°－（∠ABD＋∠DCA）

　　 ＝180°－（∠ABC＋∠ACB）

　　 ＝180°－∠EAF（外角性质）——②

∴∠D＋∠EAF＝180°＝∠BAC＋2∠EAF——③

∠D＝∠BAC＋∠EAF

　 ＝∠BAC＋（180°－∠BAC）÷2——④

∴∠BAC＝2∠D－180°

　　　 ＝2×130°－180°

　　　 ＝80°，结果与张同学答案不符。——⑤

（图3）

生B：解：∵∠A＋∠1＋∠4＝180°－（∠2＋ ∠3）——①

　　　　　∠1＝∠2，∠3＝∠4，（角平分线）

∴∠A＋∠2＋∠3＝180°－（∠2＋∠3）

∴2（∠2＋∠3）＝180°－∠A——②

且 180°－∠D＝（∠2＋∠3）（三角形内角和）——③

∴2（180°－∠D）＝180°－∠A——④

∠A＝2∠D－180°＝2×130°－180°＝80°——⑤

结果与张同学答案不符。

师：四位同学用各自不同的图形解同一题，均发现张同学的结果出现的错误。请同学们认真看一下他们的解法，从中分析优劣。补充自己思路上的不足。一会这些解法还有很重要的用处（提醒学生这并不是最终的目标，结果应比这更精彩，使问题一步一步引向深入）。

生：（看、想、抄三结合，自然、主动、积极地进行着……）

师：这四位同学做得都很好。但是我仍认为张同学所做得更出色（又有惊人之语，引起学生对张同学的结果以及教师小结内容的注意）。原因就是他已养成“因繁思变”的思维习惯，正是他使我们把学习引向深入。如果他能再仔细一些，他会做得更好。也许就不会出现漏洞让大家来找了。他的做法是老师希望大家都来做的一件大事，并坚持下来变成一个好的学习思考的习惯（学法指导即为习惯的指导，关键是如何自然地接受）。

生：（体会：习惯的力量）

师：然而，现在的问题是：会不会可能有一种与张同学希望的方法类似的结果出现呢？（峰回路转，吊足学生的胃口）请同学们结合“学生A、B”的解题过程再深入地想一想。

生：（动手、动脑试验，3分钟左右）

师：请问哪一位同学找到了类似的结果？

（在几位同学主动站起回答都不令人满意之后）

张：就是学生A、B计算的第⑤步：∠BAC＝2∠D－180°，有了这个结论，就可以直接用∠D求∠BAC。反之也行（多想一步的学生，能比其他学生的领悟能力强一些，也更容易找出正确的结果。正所谓“解铃还需系铃人”）。

师：回答得很好。问题从张同学开始，又从张同学结束。问题可以画上一个完美句号了。

张：老师这个结果以后可以直接用吗？（习惯成自然，他还在思考问题，比别人又多想了一步）。

师：由于学习的要求，如果你把这个结论在以后直接使用，可能会有很多人并不知道这个结果，会产生误会。因此，在有要求写出详细过程的解答过程中，是要重新验证的。

张：喔……（有些失望）

师：（注意到学生这种表情补充说明）：难道再让你写一次已经写过的解答过程，会比重新想更难吗？其实它有时也是可以使用的（话锋一转，给学生以希望）。其一，构思时可以直接使用。如果把构建解题思路比做“用积木拼图形”的话，这些结论就好像你大脑中有了一个个现成的积木块，你直接坐下来拼图形就可以了，而别人还要经历加工原木，做这些木块的过程，显然省力很多；其二，在做不需要写出解答过程的题目时，可以直接使用，如选择题、填空题；其三，在需要解答过程的题目的最后（或中间）可以作为验根的方法；其四，同学们如果能在平时的学习中，有意识地收集并整理这些小结论。你既会感到数学规律的趣味性，又能因你在展现有价值的结论时，别人惊奇表情让你感到自豪与自信。

……

反思：

给学生一杯水，教师要有一桶水。按这样的标准来衡量教师教学水平，自然有人会把本文发生的事情称为课堂教学中的“偶发”情况，不足为奇。而笔者认为，这种“偶发”现象，现在已绝非偶然。从自身的教学经历上寻找发现，教师桶里的“水”越多，经验越丰富，感知到学生“偶发”事件的情况就越多。学生在上课时也越来越不满足于杯中的一点点“水”，更不会受到“杯”的束缚，很多新的想法在课堂上不断涌现。由此我想到：从教之初，因感悟到“名师出高徒”的深刻内涵，于是努力把自己扮成一个名师，但苦于不知到如何才能变成一名真正的名师。而今天，答案似乎找到了：高徒出名师！

造成学生思维的多样性的原因是什么？笔者试着从下面两个角度做些分析与说明：

（1）大脑思维的“耗散结构”现象。比利时科学家伊里亚·普里戈津（I．Prigogine）于20世纪70年代在化学方面提出“耗散结构”理论（获1977年诺贝尔化学奖）之后，跟从教育家、心理学家认为大脑的思维过程也是一种无形的“耗散结构”。无论是学生还是数学教师在面对没有见过的新题或难题时，都会出现“大脑一片空白”或“百思不得其解”的情况。这种情况可以解释为思维在处于无序状态时产生的现象。经过一段时间的思考、摸索与撞击，人们会在思考达到峰值时——百思不得其解，因为关注某一个原来没有引起注意的部分，突然形成有序的解题思路。由于突然形成的结果，有其过多的不确定性，因而可以认为每个人的思路都会有所不同。一比四十，是一个教学班教师与学生的比。显然教师不能做到一题四十个解题思路，即使做到了四十个，又怎么能知道是这个班级中学生的四十个思路呢？依此类推，在课堂上，学生的思路与教师设计好的思路有较多差异才是普遍现象，保持一致才是个别的偶发现象。

（2）学法指导的必然结果。本文中“张同学”的“多想一步”的思考，是因为老师在希望培养学生良好的思维品质时，提出养成质疑的习惯所带来的后果。随着“学会学习”教学理念的进一步落实，会学的学生越来越多，课堂学习时必将会有更多不同想法出现。

那么，面对这样的问题教师应该怎样处理呢？似乎答案只有一个：提高教师的业务水平，在课堂上尽量减少“偶然”现象的发生。而笔者认为减少是很困难的。教师的知识越专业，对知识本身的理解就越深刻，这是优点。而缺点是：教师的思维定势越牢不可破，接受新想法的能力就会有所下降，甚至会怀疑自己已有的知识结构中原本正确的内容。怀疑的产生跟数学问题的讨论是建立在“一定的条件”基础上的。由于条件的不同，会使讨论的结果变得特殊。思考的方法就会有所不同。这也是为什么“感知学生偶发现象越多”的一个重要的原因。不能减少这种现象的发生，也不要走到另一个极端：抹杀学生的这种思考习惯。当一个人在面对不熟悉的思考环境时，往往会选择简单的方法逃避窘境。于是漠视学生的想法，甚至因学生想法不合教师的胃口而怒斥之的事件时有发生。从发展的眼光看问题，这样做会使我们变得更被动。

最好的结果是遵守教育规律，充分利用课堂的“偶然”现象为我所用。

1．“偶然”是创设“深入思考问题情景”的契机

如果说教师在课前设计好课堂引入的问题情景，能让学生感兴趣的话，那么，由上课时部分学生的独特表现所产生的“灵光一现”，则为教师创设“深入思考问题情景”带来了契机。在数学教师在课堂教学中广泛使用“创设问题情景引入主题”的方法的同时，教师的“闭门造车”现象，也随之产生一些新问题：如：问题情景设计的“麻雀”现象（“麻雀虽小五脏俱全”，教学各环节要面面俱到，给教学设计带来很大困难）；牵强附会的“虎头蛇尾”现象（浅显与复杂的矛盾，导致问题情景的解答草草收兵）；以及“由浅入深”如何操作的问题。笔者认为就正像文中学生的思路一样，在这样做面临很多困难时，换一个角度思考：让“问题情景的引入”只发挥引趣或揭示主题的任务。而把解决复杂的数学问题与学生思维的训练吸引力问题留给教师设计的问题“包袱”（用在学生想说清而有说不清之处）和教师课堂上捕捉到的部分学生所产生的“迥异灵感”的机敏利用。这就好像是在“寻奇探宝”，人们的行动受到不断发现的新线索牵动，下意识地受到“宝物”诱惑的驱使，向目标挺进。在教学的过程中，教师变换不同方式，给学生提供感兴趣的或是能引起注意的问题，可以做到用自然的力量驱使他们一步一步走进知识宝库的殿堂。如希望问题新奇而突出，那就更需要教师从学生的身上寻找突破口。显然学生对发生在自己身上或身边的问题会更加关注（课堂上，当一个学生出怪声，会吸引全班同学的眼球就是一个最好的例证）。

2．抓住契机，体验习惯的力量，身教胜于言教

本文所述的例子，不仅仅是为讲清一类题目的解法，更重要的是进行学习方法的指导。一位名人说过：天才＋勤奋＝成功。所以很多老师与家长都要求学生勤奋学习，“两耳不闻窗外事，一心只做辅导书”。这样的“勤奋”有多少学生从心里喜欢呢？其实人们曲解了公式中“勤奋”的含义。名人所说的“勤奋”不是一种学习的过程而是一种习惯产生的结果，即：因有浓厚的兴趣，并养成良好习惯而产生的一种结果。这位名人本身就是在这样的习惯基础上自然地，忘我地学习与工作着。给别人的印象：这个人是非常“勤奋”的。而其实他在说：养成一种好的学习习惯，会使你感到学习的与众不同。如果理解错了他的含义，就会东施效颦，适得其反。然而，养成习惯，也不是一件容易做到的事。《习惯的力量》一文中Jack D．Hodge用自己的实验告诉人们：21天可以用一种好习惯替换一种坏习惯。如果我们无法说服学生去改掉错的，我们就无法让他们在21天中坚持下来。本文中所描述的内容是通过学生亲身的体验，先感受“多想一步”这一习惯的价值，使更多的人产生好感。然后引导学生学人之长，补己之短，解己之惑，并介绍模仿的方法。如果教师能尽可能抓住类似发生在学生身边的契机，其影响将远胜于说教。

抓住了契机之后，还要扮演好各自的角色。在这起“事件”解决的过程中，教师所扮演的角色，不应该是“专家”，而应该是一位同行的长者。学生相信长者所说的对自己的思考有借鉴作用。但决不会因此而放弃探索。只有在这样的思考环境下，学生才能亲身体验到完整的思维过程。

争鸣：

（1）如何才能让教师在捕捉到“偶然”的信息时，做到随机应变？

（2）如何选择学生的“偶然”现象中有价值部分，使课堂教学少走弯路？

【注释】

[1]何冬梅为上海市川沙中学北校教师

[2]齐大文为上海市洋泾－菊园实验学校教师