新石器陶器图

4.浅近的几何知识

几何的起源，在我国同样很早，它萌芽于旧石器时代，或许比数目观念的起源还要早。因为人们在从事生产或其他活动中，自然界一些物体的形状、大小和位置关系逐渐反映到人的头脑中来，人们通过不断地思考、抽象，便有了形的初步观念。

（1）石器工具的几何形状

原始人制作石器的目的是把它作为工具使用，制造时必然要考虑大小和形状。形状思想的产生和数目观念一样，要有个过程。以自然的形状为模特儿，经过反复观察、思考而形成某些简单形状的观念。如观察一些圆形水果可以产生球的观念，观察一些平展植物叶子和平静的水面容易形成平面的观念，观察一些直的树干和直的树枝容易形成圆柱或直线的观念，等等。从观察自然物产生的简单几何观念用来考虑石器的形状，再根据要制作的石器的功能确定采取什么形状和大小。用于砍削的石器要做得平一些，象石刀、石斧等属于这一类。它们的每一个面都是近似的平面。北京猿人使用的石器中有很多片状的，还有考古学上称为尖状器的石器，从几何形状来说，是一种近似的锥体。在山西省襄汾县丁村发现了一批几万年前原始人制造的球形工具。其中最大的重量在1500克以上，最小的在200克左右，可能是用于打猎的武器，可见早在几万年前，我们的祖先已经有了球的观念。考古工作者还发现时代较晚的许多棒状石器，如在黑龙江省巴尔虎左旗和吉林市郊头砬子等地新石器遗址发现的石棒状物，有扁的也有圆的，比较规则，说明柱体观念已有了进步。

从发掘的石器上还可了解到原始人的其他几何观念。例如1974年在云南省云县忙怀新石器时代遗址中发现的一百多件石器中，有一件圆饼状的石钻，在另一件石器的平面上有纵横交叉的方格纹，说明在五、六千年前人们已经有了圆、平行和垂直等几何观念。

从各种不同形状的石器中，反映出原始社会随着社会生产的发展，人们逐渐有了平面、球、圆、柱、锥、平行、垂直等许多初等几何观念，是几何在我国萌芽的一种表现。

（2）陶器形状特征

陶器在新石器时代占重要地位。石器的形状在陶器上有了发展，多数器物的水平截面基本都是圆形的，口和底也多为圆形。如河姆渡出土的陶器大都是这种形状，有的敛口釜的外沿呈现多边形。

半坡新石器遗址出土的陶器，其几何形状丰富多采。三足陶器，除了反映出“三”这个数目外，还说明当时人们发现三足具有稳定性的特点，这是一个很重要的发明。在半坡遗址出土的大批陶器中，最简单的是纺轮。光是这种遗物就有50个，还有两个用石头磨成的。它们中间都有从两面钻成的小圆孔，大多数两面是平面；个别的只有底面是平的。侧面的几何形状有的是圆柱，有的是圆台。与此相近的是一大批圆环。除了多数呈同心圆外，还有三个外圈带齿的特别形状，其中一个有六齿外突，一个有三十四个齿，一个有二十八个齿，齿距虽不是绝对均匀，但大体差不多，说明那时已经有了等份圆周的思想。还有一大批大小不等的陶球，都很规则，说明球的观念已完全形成。

在一些陶器上具有等份圆周的特点，如河北磁县下潘汪新石器时代遗址出土陶器的口沿不仅是规则的圆形，而且底周外缘有花牙子，牙距比较均匀，明显地反映出等份圆周思想。

在四川、湖北一带新石器时代遗址中先后发现不少空心陶球，制作精致，非常规则。由实心球到空心球在几何认识上是一个很大进步。这些空心陶球的特点是：都有镂孔，孔与孔之间用实线或虚线连接，球壁厚度均匀，外面的连线都具有规律性。比如在桂花树出土的陶球中有一个画着六条经线和一条纬线。经线基本上构成三个大圆，交于两个镂孔上，经纬线的交点上也是镂孔。还有一个以一个镂孔为中心画出“米”字型的双虚线。毛家山出土的也有一个与此相似，每个上面有六孔，三对，每对正好是一个直径的两个端点。大溪的陶球也与此类似，也是六个孔，只是外面的连线稍有差别。很显然，三个直径是互相垂直的。

这些空心球说明早在五六千年以前，我们的祖先就已经有了不少有关球和球面几何的知识。

（3）花纹中的标准图形

新石器时代遗留下来的陶器很多。这些陶器上的花纹和图案，对研究古代几何的起源非常有用（花纹和图案的做法有两种：一种是在陶器的表面上刻划；另一种是用不同的颜色描绘）。河姆渡的彩陶上有明显的平行线和不太规则的正方形。半坡出土的彩陶上提出了几何图形来源的一种途径：由某种自然物（如鱼）的形状逐渐演变成几何图案。有人作过这种演变的推测，看来是合乎实际的。即由鱼形演变成不规则的棱形或菱形、三角形等，再变成比较规则的几何形。而且可以从实物上较清楚地看到：有上下两条鱼，头朝一侧；还有的两头相对、沿着两个方向进行。

西安半坡出土的彩陶上的几何图案有平行线、折线、三角形、菱形、圆、长方形等等。三角形又可细分为任意三角形、直角三角形、等腰三角形。这些事实说明，早在六千年以前，我们的祖先已能够绘制初等平面几何中的大多数直线图形。

从稍晚期的新石器时代遗址出土的陶器花纹来看，人们的几何知识有了发展。比如在下潘汪遗址出土的陶盆上有很多几何图案，圆弧形和其他曲线形图案有了显著的增加，盆口沿上的花纹表现出准确的等份圆周图形。甘肃省景泰县张家台出土的新石器时代的彩陶罐上有很规则的平行线、三角形、圆弧等几何图案。