拓扑学的渊源

拓扑学思想的萌芽可追溯到18世纪欧拉(Leonhard Euler， 1707—1783)对哥尼斯堡七桥问题的求解.

哥尼斯堡位于立陶宛之西，原为东普鲁士首府，第二次世界大战后划归苏联，改名为加里宁格勒，有一条名叫普雷格尔的河横贯城区，将这座城分成四块，市内有各具特色的大桥七座，连接两岸及河心两个小岛(见图1.8). 每到傍晚和节假日，有许多居民漫游或观赏两岸风光，久而久之，有的人对七座桥的配置方式发生了兴趣，提出如何既不重复又不遗漏一次走遍各桥的问题，许多人争相解答而不得要领，这就是历史上有名的“哥尼斯堡七桥问题”.

图1.8

1735年，有几名大学生写信给时任彼得堡科学院数学教授的欧拉，请他帮助解决. 欧拉反复思考，把七桥问题化为如下问题: 如果用A，B，C，D表示陆地城区，用线a，b，c，d，e，f，g表示桥(见图1.9)，试问可否无重复地画出这个图? 进而，欧拉考虑了更一般的问题: 通过一个连通图中每条边一次且仅一次的充分必要条件是什么? 欧拉证明了“一个连通的无向图，若要无重复地画出每一条线，当且仅当它的每个顶点(除了其中两个以外)都有偶数度”. 后人把它称为欧拉定理——拓扑学的第一定理.

图1.9

在这个问题中，A，B，C，D四个顶点都是奇次，即每个顶点都是奇数条线相会，这样的图不存在通过每条边一次且仅一次的路. 欧拉的答案，使哥尼斯堡居民十分满意，他们不再沉湎于这个问题的探讨了.

另一个更深刻的问题是欧拉关于多面体的定理. 对于有限个平面多边形: ①任何多边形的每一条边同时是另一个(且仅一个)多边形的一条边，这两个多边形称为(沿这条边)相邻的; ②从构成多面体的任一个多边形出发，经过一个相邻的多边形，再经过下一个相邻的多边形，……，可能达到任何其他多边形，这些多边形，它们的边和它们的顶点，分别称为多面体的面(faces)、棱(edges)和顶点(Vertices).

任何与球面等价的多面体(即凸多面体)，其顶点数V，棱数E和面数F，总有等式

V-E+F=2 (1.22)

这就是欧拉示性数定理，式(1.22)与多面体的形状、大小无关，仅与它的总体结构有关，图形的这种性质称为拓扑性质. 欧拉示性数定理是拓扑学的基本定理.

拓扑学萌芽于18世纪，但其真正发展的道路是19世纪晚期，由法国数学领袖人物H·庞加莱(Hemi Poincare，1854—1910)和其他一些人的工作而开拓的. 拓扑学是一个十分抽象和深奥的领域，但对有兴趣的人来说，只要有几何对象的直观能力，就可理解其一般原理. 以下我们用几何化的方法对它作一般介绍.

我们知道，研究图形在全体等距变换下不变的性质，就构成欧氏几何学. 如果将变换条件放宽，不要求必须等距，只要求任意共线三点所成的有向线段的比(称为交比)不变，这种变换称为仿射变换，研究图形在全体仿射变换下不变性质，就构成仿射几何学. 两个图形若能从一个经过仿射变换变成另一个，则称它们是仿射等价的. 仿射等价的图形与全等图形相比，容许某种程度的“失真”(形状、大小一般会发生改变，但平行直线仍变成平行直线，平行线段的比及两个图形面积之比不变); 如果再放宽变换条件，只要求共线四点的交比不变，这种变换称为射影变换.研究图形在全体射影变换下的性质就构成射影几何学. 射影等价的图形比仿射等价的图形，容许更大的失真(不仅改变图形的形状大小，而且平行直线也不再保持，但点、直线、点在直线仍不变); 把变换条件还放宽，只要求这个变换是一对一的，附加条件是，在变换前连在一起的点，变换后仍连在一起(不创造新点，也不融合旧点). 形象地说，这种变换犹如橡皮变形，受到变形的对象具有弹性，可以进行弯曲、拉伸、压缩、扭转和任意组合等操作(只要不弄破即可)，还可复原. 用数学语言来表述，就是一个一一的连续变换且逆也是连续变换，或是一个满单的映射，称为拓扑变换或同胚变换. 研究图形在同胚变换下不变的性质就构成拓扑学. 两个图形若能从一个经过同胚变换变成另一个就称它们是拓扑等价的或同胚的. 同胚变换下不变的性质，叫做图形的拓扑性质. 如此变换，使图形极大地失真(图形大小，平行直线甚至连直线都不再保持)，但连通性、曲线、封闭曲线等性质保存了.

连续性概念是拓扑学中的基本概念，它能得到数学的精确叙述和证明，普遍使用. 同胚是拓扑学的主要概念，即如果一个变换(映射)是拓扑的，那么集合M和它的象f(M)就叫做同胚. 拓扑学中的图形是任意的点集，这种点集和其上的点之间必须满足公理给定的邻近性关系，这样的图形称为拓扑空间. 实际上，在某种几何(仿射几何、射影几何、微分几何，等等)意义下的任意图形自然也可以看作是拓扑空间. 在这个意义下，拓扑学是最一般的几何学. 拓扑学的主要问题是识别和研究空间的拓扑性质，或拓扑不变量，最重要的拓扑不变量是连通性(连通支的个数、割点个数、点的指数)、紧性、维数、拓扑空间的权、基本群以及同调群等.

拓扑学虽只有100余年的历史，但发展很快，由于对各种空间类的拓扑对象研究的方法不同，拓扑学被分解为若干独立的、关联不大的分支，如代数拓扑学、微分拓扑学、流形拓扑学、几何拓扑学和一般拓扑学，等等; 拓扑学的需要，大大刺激了抽象代数的发展，并且形成了两个新的代数学分支: 同调代数与代数K理论. 代数几何学从20世纪50年代末期以来面貌彻底改观，而代数簇的黎曼—罗赫(Riemann-Roch)定理的产生及推广又进一步促进了拓扑K理论的产生.

庞加莱创立的组合拓扑学，因为范畴概念的引入和理论的发展，相关的函子(所谓函子，就是从一个范畴到另一个范畴并保持范畴结构一致的映射)概念渗透，组合拓扑学内容分化，鳌头逐渐被代数拓扑学所占. 1963年数学家引入拓扑斯［即一个范畴，等价于某个拓扑化范畴(亦为景)上的集合的层范畴］的概念，从而诱导出一个更有不变量意味的刻画，而大大地拓广了经典的拓扑空间观念.