目标规划问题及其数学模型

1.问题的提出

在生产活动、经济活动、科学实验和工程设计中，经常面临着一些需要决策的问题。当只考虑一个主要目标时，线性规划就是处理单目标优化行之有效的方法。但在现实生活中，一般评价某个决策的优劣，往往要同时考虑很多个目标，而这些目标之间又常常是不协调的，甚至是矛盾的。这就是综合决策所面临的问题，而其中又以多目标线性规划较为普遍，更受到人们的重视。例如，企业计划方案中要求产品产量高、消耗低、质量好等；又如确定棉纺厂配棉方案的好坏，同时要考虑品级、长度、疵点、强力、品质、细度、成本、百分比等；还如工业生产布局中确定新工业基地地址时，除了考虑运输费用、造价、燃料费、产品需求量等经济指标外，还要考虑污染及其他因素等。由于因素多、问题复杂，有时使决策者很难轻易做出判断；又由于同时要对许多互不相容的各个目标进行优化和分析，因而用传统的线性规划方法很难解决问题。目标规划方法是多目标决策分析中的有效工具之一，也是解决多目标线性规划问题的一种比较成熟的方法。

为了具体说明目标规划与线性规划在处理问题方法上的区别，先通过例子来介绍目标规划的有关概念及数学模型。

例3-8某衬衫厂专门生产男女衬衫。最近，该衬衫厂接收了 13000件衬衫的订货，对方在订货中对男女衬衫各自的数量没有要求，但订货合同要求必须在一个星期内完成，在一个星期内交货。根据该厂的生产能力，一个星期内可利用的裁剪时间为20000分钟，可利用的缝纫时间为36000分钟。完成一件男衬衫需裁剪时间2分钟，缝纫时间为2分钟；完成一件女衬衫需裁剪时间1分钟，缝纫时间为3分钟。每一件男式衬衫售价15元，成本是7元；每件女式衬衫售价20元，成本是14元（即每件男女衬衫的净利润为8元和6元）。衬衫厂厂长想使获得利润最大，他用一个线性规划来求解。设x1，x2分别表示男女式衬衫的件数，则线性规划模型为：

如果进一步考虑外部环境（市场）对企业的影响，情况会是什么样呢？如：

（1）在当前不需要考虑利润，更主要的是能有一个满意的销售额，并且规定为250000元。

（2）完成订货是必须的，并且不要有不足量也不要有超量，以免加重负担。

（3）尽可能地充分利用缝纫时间和裁剪时间。

这样在考虑产品生产方案时，便为多目标决策问题。 目标规划方法是解决这类决策问题的方法之一。下面引入与目标规划数学模型有关的概念。

2.模型的建立

为了圆满地解决实际问题中遇到的相互矛盾目标的有关问题，引入目标偏差变量的概念。

一方面，对每一个优化目标给定一个理想的目标值（预定值或期望值），然后把目标可能达到的值与预定值之间的偏差作为目标的偏差变量，从而将对目标求极值的问题转化为对目标偏差变量求极值的问题来处理。同时，还可以把原来优化系统中的任何一个约束条件也视为一个优化目标；相反的，也可以把目标函数看作一个约束，即目标约束。这样一来，原来优化系统的约束条件与目标函数的地位就完全等同了。通常把必须严格满足的约束条件，称为绝对约束，也称硬约束，如线性规划问题的所有约束条件都是硬约束。相应地，目标规划特有的目标约束就是软约束。

通过对实际问题的分析，可以建立多目标线性规划的数学模型，这样的模型通常称为基础模型。基础模型建立后，通过分别对目标函数和约束条件引入偏差变量，建立偏差变量的新的目标函数——达成函数（achievement function），然后对达成函数取最小，从而得到目标规划的数学模型。

在不同的含义情况下，两个目标偏差变量可以通过三种组合形式表示在达成函数中（见表3-23）。

一般目标规划是将各目标分成不同的优先等级，对于上一级中的目标要优先予以优化，当它们已无法继续改进时，才转而考虑下一级中各目标的优化，而且下一级的优化以不使比它高的各优先级的情况变坏为前提。这一思想方法是Ijiri于1965年最先提出来的。比如在公路建设问题中，安全是头等大事，应把安全目标放在第一优先级，而把成本目标放在第二优先级，即只有在安全目标的前提下，才能考虑降低公路建设的成本问题。根据这样的思路，在建立目标规划的数学模型时，应当注意以下两个问题。

（2）在同一优先级内仍然可以引入权重因子（系数）。为了在同一优先级内区别不同目标的轻重缓急，可以用不同的权重系数相乘。例如，有以下达成函数

其中优先因子（即优先级次序系数）有

例3-9 仍是例3-8的衬衫厂，现在该厂接受订货增加为16000件衬衫。 由于完成订货是必须的，所以将订货排在第一优先级，并且不要有不足量也不要有超量，以免加重负担；其次，满意的销售额增加为275000元，排在第二优先级，并且要求不足量尽量小；再次，可利用的缝纫时间和裁剪时间就现有情况仍是例3-8中的条件；为了完成订货，上述时间可以有所增加，但超过量应尽量小，排在第三优先级，考虑到增加缝纫时间要比增加裁剪时间困难一些，分别乘以权重系数0.6和0.4；其他完成男女衬衫所需的缝纫时间和裁剪时间，以及男女衬衫的售价仍如例3-8。经过以上改变及优先次序安排，得到目标规划模型如下：

一般的，目标规划模型的一般形式如下：

在实际问题中，建立一个目标规划模型的步骤如下：

（1）建立多目标线性规划模型。

①假设决策变量——决策者可以控制的变量。

②建立各约束条件（约束方程或不等式）。

③建立各有关的目标函数。

（2）将多目标线性规划模型转化为目标规划模型。

①对每个目标确定适当的预定值（或期望值）。

②对每个目标引进正、负偏差变量，建立目标约束方程，并将其并入到约束条件中去。

③若约束条件中有相互矛盾的方程，对它们同样引入正、负偏差变量，在以后的求解过程中，不需要再引入松弛变量或人工变量。

④建立达成函数，确定各目标的优先级。对最重要的目标，必须严格实现的目标及无法再增加的资源约束（即硬约束），均应列入P1优先级；其余目标按其重要程度，分别列入各优先等级。同一优先等级中的各个目标，一般应有相同的度量单位，以便确定它们之间的权重系数，但第一优先级可以例外。