宗元时期(961～1368)重新统一了的中国封建社会发生了一系列有利于数学进步的变化，国内经济繁荣，海外贸易大大发展，使各门科学技术得到普遍发展．四大发明中的三项——指南针、火药和活字印刷在宋代完成，并获得广泛应用，给数学的发展带来新的活力．这一时期，数学人才辈出，如北宋的沈括(1031～1095)、贾宪(约1100年)和刘益；南宋的秦九韶(1202～1261)，杨辉；元代的李治(1192～1279)、朱世杰、郭守敬(1231～1316)等．其中最著名的当属称为“宋元四大家”的杨辉、秦九韶、李治、朱世杰等．他们在世界数学史上占有光辉的地位．而这一时期印刷出版记载着中国古典数学最高成就的宋元算书，也是世界文化的重要遗产．
9.2.1 贾宪三角
贾宪约于公元1050年完成了一部叫《黄帝九章算术细草》的著作，原书已丢失，所幸在杨辉的著作中保存了他的两项重要成就：贾宪三角和增乘开方法，因此贾宪三角也常称为杨辉三角．
1.贾宪三角
图9-6 杨辉
如图9-7所示，贾宪三角是指所列的一张二项式展开式的系数表，原图载于贾宪的《黄帝九章算术细草》一书中，作者称其为“开方作法本源图”，指出这是用做开方运算的．事实上，贾宪三角中除第一项，第二项，每一横项中的数字都是可以用来开方的，开平方用到1，2，1三个数，开立方用到1，3，3，1四个数，开四次方利用到1，4，6，4，1五个数，依次进行．
有意思的是，图9-7中每一横行的除1以外每一个数都等于其肩上两个数之和，这就是贾宪三角的作图规则．自然，有了这个规则，只要在图9-7中多添几个1，就可以得到扩大的贾宪三角．在西方国家，称贾宪三角为巴斯卡三角(巴斯卡Pascal 1623～1662，法国数学家)．有趣的是贾宪三角与历史上许多著名数列有关．
2.贾宪三角与斐波纳契数列
斐波纳契数列(前文已述)前后两项之比的极限是0.618，
，将贾宪三角改写为如图9-8的形式．
图9-7
图9-8
再让它沿图中斜线相加之和记到竖线左端，它们分别是1，1，2，3，5，8，…，此即为斐波纳契数列．
3.贾宪三角与牛顿二项式定理
牛顿是英国伟大的物理学家和数学家，著名的牛顿二项式定理与贾宪三角有一定联系．牛顿二项式定理是指公式
其中Ckn指从n个东西中取出k个的组合数,
，约定
注意到
，很容易得到用组合数表示的贾宪三角，如图9-9所示．
可见贾宪三角中的元素正是牛顿二项展开式中各项系数按相应顺序构成的．
9.2.2 贾宪三角的美学价值
关于贾宪三角，有许多优秀的性质可以欣赏．
1.对称性：如图9-9，从顶点
作该等腰三角形中线，可以看出贾宪三角的数字关于该中线对称，即
且数字在每一行都是由小变大到对称轴线后再由大变小，呈单峰状，这说明牛顿二项式定理的系数具有单峰对称性．
2.递归性：即除1之外，每一横行的数都等于通向该数的肩上两数之和，即
3.第n行各数之和等于2n，即C0n+C1n+C2n+…+Cnn=2n，事实上，在公式(9-2)中令a=b=1，即得这一结果．
4.在公式(9-1)中，令a=1，b=－1，则得
这说明贾宪三角中从第2行起，任一行的数字从左数起，奇数位上数字之和等于偶数位上数字之和．
5.有意义的巧合，考虑调和数列
，做一个三角形差数列如下(左边减右边)
将上述三角形顺时针旋转60°，得如下三角形
将各行的数除以该行最左边的数，可得三角形
最后取每一个数的倒数，得到如下三角形图
从三角形写出的部分看，恰巧是贾宪三角！可以证明这个三角形确是贾宪三角．
6.如图9-10是由横竖各五线构成的4×4方格网，一棋子从A点出发，沿网格线由左向右，或由上至下运动，到达B点．试问有多少种不同的走法？
图9-10
图9-11
图9-11网络中数字说明棋子到达该网络点的走法，易见从A点出发到达B点有70种走法，仔细观察网格中数字，看看与贾宪三角有没有联系？
中国古代数学文化源远流长，内容丰富．中国古代数学文化领先世界数千年，为世界数学文化作出了重要贡献，我们为之骄傲和自豪．但中国传统数学自元末后逐渐衰落，原因是多方面的，除了筹算系统的局限外，皇朝更迭的漫长的封建社会制度的腐朽，数学发展缺乏社会动力和思想刺激，加上元代以后，科举考试废除《明算科》，惟以八股取士，研究数学者没有出路，自由探索受到束缚，甚至遭禁锢，外部世界的笔算数学与演绎几何传播受到阻挠，等等．因此，在16～17世纪，当近代数学在欧洲蓬勃兴起之时，中国数学就更明显地落后了．在改革开放的今天，在我们生活的每一个角落都需要数学的今天，我们思考着，我们相信着，21世纪，中国仍将成为数学大国．
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