哪些灯还亮着

哪些灯还亮着

有一百盏电灯，排成一横行。自左向右，我们给电灯编上号码1，2，3，……，99，100。每一盏灯由一个拉线开关控制着。最初，电灯全是关着的。

另外，还有一百个学生。第一个学生走过来，把凡是号码是1的倍数的电灯的开关拉了一下;接着第二个学生走了过来，把凡是号码是2的倍数的电灯开关拉了一下;第三个人再走过来，把凡是号码是3的倍数的电灯上的开关拉了一下，如此下去，最后那个学生走过来，把编号能被100整除的电灯上的开关拉一下。这样做过之后，问:“哪些灯是亮着的?”

这简直令人眼花缭乱，不易理出头绪，方法不当就更不得要领。

正确的思考是:由于最初所有的电灯都是关着的，所以被拉了偶数次开关的电灯，仍然是关着的;只有那些被拉了奇数次开关的电灯才是亮着的。因此，人们只须去关心那些被拉过奇数次开关的电灯。

按照问题所规定的法则，编号为n的电灯被拉过几次呢?要看整数n中有多少个正因数。如果n不是平方数，那么n的全部正因数的个数是偶数，这盏灯是关着的。只有当n是平方数时，n的全部正因数个数是奇数，这盏电灯被拉过奇数次，因此它是亮着的。

这样，我们知道了，只有编号为

1，4，9，16，25，36，49，64，81，100的灯是亮着的。

最后举一例，看你是否有了“对称意识”:

两人把一个棋子，从左到右移动，使它经过一排方格中的每一个格，这排方格的总数是1990，谁把棋子移动到最后一格，谁就获胜。两人轮流，一次移动1至3格。如果你先走，你会赢吗?若再模仿前两个游戏，就会因找不到对称中心而困惑。但如果你有“对称意识”，就会立刻想到在四个格子里，对手先走，你必能获胜。这样，你走第一次时只要使剩余的格数是4的倍数就行了，对手走1格，你走3格;对手走2格，你走2格;对手走3格，你走1格，一直到你把棋子移到最后一格里。

为此，你的第一步只要把棋子移到左边的第二个格子里，(1990÷4=497×4+2)就稳操胜券了。