奇怪吸引子

奇怪吸引子

图6－8　4种吸引子

我们在第五章曾介绍过相空间，描述系统的演化过程，可以用相空间的一条轨线来代表。在相空间中有一些非常特殊的形态，被称为吸引子，就是系统行为的最后归宿，也即轨线被吸引去的处所。只有到达吸引子上，系统的状态才能稳定下来并保持下去。吸引子有4种类型，见图6－8:一种是不动点吸引子，代表系统的稳定平衡态(图a);一种是极限环吸引子，代表系统的周期运动(图b)，可以是平面上的闭合环，也可以是空间的闭合环;一种是环面吸引子，代表准周期运动(图c)，在最简单的三维相空间中，它是二维环面，在更高维的相空间中，环面维数也更高，但难于画出来，在振荡频率多于一个的振子系统中出现;另一种是混沌吸引子(不同混沌系统的吸引子形状是不同的，一般都较复杂，图d只是一例)。前3种吸引子所代表的运动都是规则的有序运动，所以叫有序吸引子和平庸吸引子，它们的基本特征除了稳定性外，就是维数都是整数。

混沌吸引子充分体现了混沌的特征，所代表的运动是貌似随机的运动，它有稳定性的一面，也有不稳定的一面，这与有序吸引子是不同的。更重要的区别是，混沌吸引子都是相空间的分形几何体，结构复杂而且具有分数维数，所以称为分形吸引子或奇怪吸引子。由于奇怪吸引子代表的系统行为有随机性，所以有时也称为随机吸引子。称为“奇怪”吸引子是由于初发现时觉得图像复杂，对其特性不理解，觉得奇怪，少见多怪么。现在看来，混沌吸引子并不是罕见的现象，它比平庸吸引子还普遍，种类花样也多，见多了、认识了、理解了，也就见怪不怪了。现在还普遍叫它奇怪吸引子也不足为奇，科学史上这种名不符实的概念还有的是，如“真空”其实不空，“黑洞”并不黑，“虚数”也不虚，等等。不过已约定俗成了，也无须改动它。

在相空间内如此复杂精致的奇怪结构，是如何从简单的确定性系统中产生出来的呢?这是因为非线性系统演化时，在非线性效应影响下，轨线具有两种行为所致，即伸缩和折叠。读者也许观看过抻面师傅的表演，他的基本动作就是拉伸和折叠。

图6－9　拉伸和折叠过程

借助于图6－9可说明其过程。将面和好并揉成圆柱形后，在他操作前你若在面团上标一滴红色剂，然后注意观测抻面师傅在不断拉伸和折叠中，红色记号同时被拉长变薄的过程。经过长时间反复操作，面团被拉成一束极细的面条，同时原来相近的红色微粒彼此相互分离，形成随机分布。拉伸造成轨线彼此分离、发散，但由于系统被限制在有限区域内，不准许无限延伸，所以通过折叠机制加以限制。折叠有一种强烈的非线性效应，能造成许多奇异特性，它可以搅乱相空间内的轨线。这样反复不断地拉伸和折叠，使轨线不断分离、汇聚，穿插包抄，盘旋缠绕，既不中断，也不相交。其结果必然造成原来相邻轨线的指数式分离，对初条件的敏感依赖性产生了，出现了不可预测性和不确定性。轨线在相空间的结构也变得错综复杂，有剪不断理还乱之状。奇怪吸引子中轨线的复杂程度可以用分维数来表征。洛伦兹的蝴蝶吸引子，来源于三个变量的非线性方程，是在三维相空间背景中的一个分形曲面，计算出的分维数为2.06。一维映射的像空间是一维的，奇怪吸引子是以一维空间为背景的分形集合，不同映射可对应不同的康托尔集合，有均匀的也有不均匀的。以逻辑斯蒂映射为例，奇怪吸引子虽然是［0，1］内的康托尔集合;但混沌区内不同μ值处的康托尔集合点的分布是不同的，因而分维数也不同。例如在μ_∞处分维数D=0．538，而在3ⁿ周期的极限点，分维D=0．34。