可测集的卡拉西尔德瑞定义

（c）可测集的卡拉西尔德瑞定义

从演绎主义转变为探试论方法的确是困难的，但是一些讲授现代数学的老师已经意识到需要这样做。让我们来看一个例子。在现代教科书关于测度论或概率论的部分，我们经常会碰到可测集的卡拉西尔德瑞（Carathéodory）定义：

设μ^＊是一个在遗传σ－环H上的外测度。集合E在H中是可测的，如果对于每一个在H中的集合A，

μ^＊（A）＝μ^＊（A∩E）＋μ^＊（A∩E′）^[21]。

如此这般的定义一定是令人迷惑的。当然解释它总是很容易数学家就是以其所好来定义概念的。可是认真的老师不会接受这种安逸的庇护。他们也不会说这就是正确的、真的可测性的定义，成熟的数学方面的见识将会如此来看待它。事实上，他们通常会给出一个相对模糊的暗示，提示我们可以看看后面由定义得出的结论：“诸多定义都是一些教条；只有那些从这些定义得出的结论才能够提供新的见识。”^[22]所以我们不得不对定义暂且不加考察，而看看会出现什么情况。虽然这中间有专横的论述，但是至少它是问题已经被意识到的一种标记。这是一个辩解，即使它依然是一个专横的辩解让我们引用哈莫斯为卡拉西尔德瑞定义所做的辩解：“要获得关于可测性意义的直觉的理解是相当困难的，除非完全熟悉其所隐含的东西，我们打算在下面展开之。”^[23]然后他继续说道：

不管怎样，下面的注解也许是有帮助的。一个外测度不必是可数的，甚至也不必是有限可加的集函数。为了满足可加性这一合理的要求，我们挑选了可加地分割其他每一个集合的那些集合——可测性定义是这个相当不精确描述的精确表达。这一看似复杂的概念最为正当的理由就是，它作为一个工具，在证明那个重要而且有用的§13中的扩展定理时，尽管可能令人吃惊但却是绝对彻底的成功的事情^[24]。

这个理由的第一部分，有关“直觉的”那一部分是有一点误导，因为，正如我们从第二部分获知，这一概念在卡拉西尔德瑞关于测度扩张的定理（哈莫斯在下一章引入之）中是证明产生的概念。所以，不管它是或者不是直觉的根本不会引人关注：其根本理由不是存在于它的直觉性之中，而是存在于它的证明原型处。我们决不应该把证明产生的概念从其证明原型处扯下来，而在证明之前的诸节甚至诸章中就提出来，而这一概念从探试法的角度来讲是由证明所衍生的

哈莫斯［］，第页。

M·洛易夫（M.Loeve）在其［1955］中，就非常恰当地在他关于测度的扩张的一节提出这个定义，把它作为扩张定理的一个必要的概念：“我们将需要这里所收集的各种各样的概念。”^[25]但是，他究竟怎样知道这些最复杂的工具中哪些是将来的运算所需要的呢？的确，他已经对他将会发现什么和怎样进行下去有了一些想法。那么这一神秘的把定义放在证明之前的安排又是为了什么呢？

人们可以容易地举出更多的例子，在那里陈述原始猜想，给出证明、反例，并且按照探试法的秩序直到定理和证明产生的定义，这将消除抽象数学中专横的神秘主义，并将担当阻止退化之闸。研究几个退化的案例对数学来讲是大有益处的。不幸的是，演绎主义风格和数学知识的支离破碎为“退化的”论文保驾护航使之处于相当重要的地位。

【注释】

[1]某些教科书声称并不期望读者具备什么预先的知识，只要认识到数学的完备性特征就行了。这常常意味着他们期望读者生来就具有从事欧几里得式论证的“能力”，而对问题的背景、论证背后的探试过程则没有任何不自然的兴趣。

[2]人们依然没有充分地意识到现在的数学和科学教育是权威主义的温床，也是独立和批判性的思想的最坏的敌人。在数学中这种权威主义遵循刚才所描述的演绎主义模式，在科学中它是通过归纳主义模式来运作的。
在科学之中，有着长久以来的归纳主义传统。以这种风格撰写的完美的论文都是从辛勤地描述试验布置开始，随后是对实验及结果的描述。一个“归纳的概括”就可以结束这篇论文了。问题情形，试验中必须加以检验的猜想被隐藏了。作者自吹其空白的（empty）、纯洁无瑕的心灵。这样的论文只有那些少数实际了解问题情形的人才能读懂。——归纳主义风格反映了一种伪装，就是伪装科学家都是从空白的心灵开始其研究的，然而，事实上他们的心灵在开始时就装满了想法。这一游戏并非总能成功，它只能由那些也只能为那些经过挑选的内行的专家来进行。归纳主义风格，正如它的演绎主义孪生兄弟一样（并非互补的东西！），当声称其客观性时，事实上是在培养一种并非普遍通用的行业语言，是在分裂科学、窒息批评、使科学权威化。反例在这样的表述中永远不能出现：人们是从观察（不是理论）开始，那么显然除非有预先的理论，否则谁也不能观察到反例。

[3]这些人声称，数学家在充满乐趣的自由创造的活动过程中是从空白的心灵开始随意地建立其公理和定义，只是在稍后的阶段，他们才从这些公理和定义中推演出定理如果依照某些解释，公理为真，那么定理也将为真。数学真理的传送带不可能失败。在我们对证明程序进行案例研究之后，如果我们不接受把数学限制为一个形式系统，那么大体上，这一作为对演绎主义风格进行辩护的论证就可以排除了。
现在既然波普尔已经表明了那些声称归纳是科学发现的逻辑的人是错的，那么这些文章就是打算表明那些声称演绎是数学发现的逻辑的人也是错的。波普尔批判了归纳主义风格，而这些文章是试图批判演绎主义风格。

[4]这一教条是大多数类型的形式主义数学哲学的本质部分。形式主义者，当他们谈到发现，会区别对待发现的背景（context）和论证的背景。“发现的背景留给了心理分析，而逻辑才关涉到论证的背景。”（莱欣巴赫（Reichenbach）［1947］，第2页）相似的观点可以在R·B·布雷思韦特［1953］第27页，甚至在K·R·波普尔［1959］第31—32页以及他的［1935］中找到。波普尔，当他（实际上是在1934年）如此这般把发现的有关方面在心理学和逻辑学之间进行划分，而没有一个位置留给探试法作为一个独立的调查领域，那时他显然还没有意识到他的“发现的逻辑”不仅仅只是一个科学进步的严格的逻辑模式。这就是他的那本著作的标题自相矛盾的源头，其论点似乎是两面性的：（a）没有科学发现的逻辑——培根和笛卡儿都错了；（b）科学发现的逻辑就是猜想和反驳的逻辑。这一悖论的解决方法就在手边：（a）并没有绝无谬误论者那样的科学发现的逻辑，其可以绝无谬误地导出结果；（b）存在难免有错误论的发现逻辑，其就是科学进步的逻辑。但是波普尔他已经放下了这一发现的逻辑之基础，不再对什么是他的研究的本质这样的元问题（metaquestion）感兴趣，并且他没有意识到这既不是心理学也不是逻辑学，它是一门独立的学科，就是发现的逻辑——探试法。

[5]尽管不得不承认这样的论文也将非常少，但是关于问题情形的陈述也会非常明显地显示出相当多的论文是空洞无意义的。

[6]由于某种原因，在一些教科书中，一致收敛被单列出来作为例外（准探试法）看待。例如W·鲁丁（Rudin）在其［1953］中，首先介绍的一节：“主要问题的讨论”（第115页），在那里，他提出了原始猜想及其反驳，并且只是那时才引入一致收敛的定义。这一表述有两处瑕疵：（a）鲁丁并不是仅仅只提出原始猜想和它的反驳，而是要追问原始猜想是对还是错，并且用熟悉的例子表明其错误性。但是他这样做也没有超越绝无谬误论者的风格；在他的“问题情形”中没有猜想而只有尖锐深奥的问题，跟在后面的是一个给出坚定回答的例子（不是反例）。（b）鲁丁并没有说明一致收敛的概念是来自于证明，相反，依照他的陈述，定义是先于证明的。这也无外乎是落入演绎主义风格的窠臼，因为如果他先给出初始证明，然后是一个反驳，跟着是改进的证明和证明产生的定义，那么他将揭示出“永恒静止的”数学的运动、“不可能错误的”数学的可错性，这与欧几里得传统就不一致了。（也许还应该补充，我一直在引用鲁丁的著作，因为那是这一传统中的最好的教科书之一。）例如，在前言中，鲁丁说道：“这一点看起来很重要，特别是对于初学者，就是要清楚地看到定理的假设是保证结论的有效性所必需的。为这一目的，相当大的数量的反例已经包含在课本中。”不幸的是，这些都是假的反例，因为事实上，这些例子都是为了显示数学家是多么聪明地把所有的假设都包含在定理之中。但是他并不说出：这些假设是从哪里来的，它们来自于证明的计划，定理也不是从数学家的脑袋中蹦出来的，就像雅典娜女神一样武装整齐地从宙斯的脑袋中蹦出来。他的“反例”一词的使用将不会误导我们期待一个难免有错误论的风格。＊编者按：拉卡托斯关于鲁丁的著作的所有评论都是以这本书的第一版为基础。拉卡托斯所引用的段落不是都能在1964年出版的第二版中找到。

[7]这一黑格尔式的异化的人的活动自主性的观念可以为一些涉及社会科学特别是经济学的方法论的问题提供线索。我的数学家作为数学的不完美的人格化的概念，与马克思的资本家作为资本的人格化的概念非常相似。不幸的是，马克思没有强调这一人格化的不完美的特征，关于这一过程的实现也没有什么东西是坚定不变的，并以此来限制他的观念。相反，人的活动总是能够压制或者歪曲异化过程的自主性，并且能够产生新的自主性。对这一具体化的过程的疏漏是马克思主义辩证法的主要缺点。

[8]编者按：我们确实觉得拉卡托斯会在某些方面修改这一段，因为随着其工作的进展，他的黑格尔的背景的限制变得越来越弱了。然而，他的确保留了一个信念，就是确认人的知性活动的产品部分的自主性的重要价值。在这个命题的客观内容的世界中（波普尔把它叫做“第三世界”：见其［1972］），问题的存在（例如，由两个命题之间的逻辑的不一致性所引起的）独立于我们对它们的认知；因此，我们可以发现（而不是发明）知性的问题。但是拉卡托斯相信这些问题并不“要求”解答或者强求属于它们自己的解答；更确切地说，人的创造力（它或许会出现，或许不会）是解决这些问题必不可少的。上面对马克思批评的脚注中已经预示了这一观点。

[9]鲁丁［1953］，第99—100页。

[10]鲁丁［1953］，第106页。

[11]鲁丁［1953］，前言。

[12]这一证明和包括其在内的定理事实上都在鲁丁的著作中提到过，但是它们都隐藏在第8章练习17中了，与上面两个以专横的方式引入的概念完全没有联系。

[13]傅里叶［1808］，第112页。

[14]“傅里叶可展开的”代表“能够展开成为带有傅里叶系数的三角级数”。

[15]见其［1829］和［1837］。对于这一证明的背景有许多有趣的方面，不幸我们现在都不能深入探究；例如，傅里叶最初的“证明的”价值问题，关于后来的两个狄利克雷证明的比较的问题，以及狄利克雷对柯西的较早的证明所作的决定性的批判之问题。

[16]这里应该提到，狄利克雷的证明并非由针对傅里叶原始猜想的反例所引导，或是受其启发。没有人提出任何反例；事实上，柯西“证明了”原始猜想。（参见第131页，脚注②；他的证明的有效范围是空集。）最初的反例只是由狄利克雷证明的引理才让人想到的特别是由于其第一引理。除此之外，傅里叶猜想的第一个反例只是在1876年才由杜布瓦斯－雷蒙德提出来，他发现了不是傅里叶可展开的连续函数。（杜布瓦斯－雷蒙德［1876］。）

[17]突然就“引入”一个概念是一种不可思议的做法，以演绎主义风格撰写的历史中就常常诉诸这一做法。

[18]见约当［1881］和［1893］，第241页。约当他自己强调他并没有修改狄利克雷的证明，而只是修改了他的定理。（“……于是狄利克雷的证明不需要修改就可以应用到每一个有限振荡的函数中……”）然而，齐格蒙德（Zygmund）当他说约当的定理与狄利克雷的相比“只是表面上更加普遍”时，他说错了（齐格蒙德［1935］，第25页）。这是约当证明而非约当定理之真实情况。然而，说约当把狄利克雷定理“扩展”到有界变差函数的更普遍的范围是一种误导。（例如，舍克法尔维－纳吉（Sz9kefalvi－Nagy）［1954］，第272页。）卡斯劳（Carslaw）在其［1930］的历史导论中也显示出对证明分析缺乏理解。他没有注意到狄利克雷的证明是证明产生的有界变差概念的证明原型。

[19]多证多驳法全部标准阶段的清单可参见第137—138页。

[20]在这一发现中，杜布瓦斯－雷蒙德又是先行者（［1879］，［1885］），而拥有令人羡慕的敏锐的C·约当又是实际的发现者（约当［1887］第594—598页和［1893］第100—108页）。

[21]哈莫斯（Halmos）［1950］，第44页。

[22]K·门格尔（K.Menger）［1928］，第76页，经由K·R·波普尔同意引自其［1959］，第55页。

[23]哈莫斯［1950］，第44页。

[24]195044

[25]洛易夫［1955］，第87页。