光线描迹图解法

3.4.1　光线描迹图解法

根据理想光学系统物像共轭关系的理论（即共线成像理论），当已知系统的基点、基面位置后，利用它们的性质，用光线描迹的作图方法，求出与给定位置的物（点、直线、平面）共轭的像（点、直线、平面）的位置，这种方法可以称之为“光线描迹图解法”，也就是通常所说的“图解法”，或“作图求像”。

这种图解法不仅可以快捷、直观地确定像的位置、大小和虚实，而且也是导出解析公式的基础；此外，它对建立和加深理解物像空间的共轭概念很有帮助。

整个图解法的进行是以如下的分析为依据的：

空间的物体是由点组成的，因此解决物体的作图求像问题，可以归结为解决物点的作图求像问题。按照点相对于系统光轴的位置情况，可以区分为两类，即：轴上点和轴外点。因此，我们将依次研究轴外点和轴上点的作图求像规律。在光学系统理想成像的条件下，物空间的一点发出的一束光线，经光学系统折射后，必交于像空间的一点。为确定像点位置，只需找到由物点发出的任意两条光线在像空间的共轭光线，它们的交点，即为物点的共轭像点。但是，在实际作图时，为了简便，我们并非随意选择两条光线，而是尽可能选择特殊光线（例如：通过焦点或节点的光线）。

根据作图求像的难易程度，首先研究轴外点的图解法，再研究轴上点的图解法。

1）轴外点的图解法

如图3.13，在给定轴外物点（如图中B点）和光学系统的基点、基面（主面、焦点、节点）位置后，根据基点、基面的性质，有三条可供选用的特殊光线：

（1）通过物点B且平行于光轴的光线a，经光学系统折射后，其像方共轭的出射光线（或延长线）a＇必通过系统的像方焦点F＇；

（2）通过物点B与物方焦点F的光线b，经光学系统折射后，其像方共轭的出射光线b＇必平行于光轴；

（3）通过物点B与物方节点J的光线c，经光学系统折射后，其像方共轭的出射光线（或延长线）c＇必通过像方节点J＇且平行于物方入射光线。应该指出，当系统两边介质不同时，系统的f＇≠－f，节点与主点不重合（见图3.13（a））；当系统两边介质相同时，系统的f＇=－f，节点与主点重合（见图3.13（b））。通常，在未加特别注明的情况下，均按n＇=n情况作图。

图3.13　图解求像的三对特殊共轭光线

在正确的作图条件下，由轴外物点B发出的上述三条特殊光线的像方共轭光线应该严格交于一点。实际作图时，可以任选其中两条特殊光线，求其共轭光线的交点即可。第三条光线可用于校核。

在求出轴外物点B的共轭像点B＇的基础上，过B＇作垂轴线段与光轴交于A＇，则A＇B＇就是物AB的像。上述过程表明，利用作图法可以求出与物共轭的像的位置和大小。

图3.14给出了正透镜和负透镜轴外点作图求像的几个例子。其中：

（a）为正透镜（f＇＞0），实物（f＜l＜0）成虚像（l＇＜0）；

（b）为正透镜（f＇＞0），虚物（l＞0）成实像（l＇＞0）；

（c）为负透镜（f＇＜0），实物（l＜0）成虚像（l＇＜0）；

（d）为负透镜（f＇＜0），虚物（l＞0）成虚像（l＇＜0）。

图3.14　正负透镜的轴外点作图求像

2）轴上点的图解法

如图3.15所示，已知系统各基点和基面位置，求轴上物点A的共轭像点A＇。

轴上点作图求像的原理与轴外点一致，也是设法求A点发出两条光线其像方共轭光线的交点。不同的是，过A点只能引一条特殊光线——即沿光轴方向入射的光线，其像方共轭光线仍沿光轴方向出射；由A点发出的另一条光线AM是一条任意光线。这样，只要找到AM的像方共轭光线，则它与光轴的交点即为所求的轴上像点A＇。

求AM的像方共轭光线有两种方法：

（1）在入射光线AM上选择两个特殊点，求这两点在像空间的共轭点，连接像空间两共轭点的直线即为AM的像方共轭光线。

AM上的两个特殊点应尽量选择其像方共轭点容易确定的点。其中一点可选择物方主面上的M点，根据主面上β=+1的特性，M点的像方共轭点M＇易于确定；另外一点可选择光线AM上在物方无限远处的B_－∞点（即轴外无限远点）。显然，B_－∞的共轭像点B＇应为像方焦面上的一轴外像点。B＇点的具体位置，可以借助于物方一条平行于AM的辅助光线来确定。这条辅助光线可以是过物方焦点F且平行于AM的光线b，其像方共轭光线b＇必平行于光轴；也可以是过物方节点J且平行于AM的光线c，其像方共轭光线c＇必过像方节点J＇且平行于c。这两条辅助光线的像方共轭光线b＇和c＇必交于像方焦面上同一点，该点即为B_－∞的共轭像点B＇。过M＇和B＇的连线即为AM的像方共轭光线，它与光轴的交点即为轴上点A的共轭像点A＇（见图3.15）。

图3.15　轴上点的作图求像

（2）在已知M点的共轭像点M＇的基础上，设法确定AM的像方共轭光线的方向。

为确定此像方共轭光线的方向，可以利用物方焦面上轴外点的成像特性。如图3.16，设B点为光线AM与物方焦面的交点，B点发出的光束，经系统后，成为与光轴有一定夹角的斜平行光束，此斜平行光束的方向可用过B点的一条辅助光线来确定。该辅助光线可以利用过B点的两条特殊光线中的一条，例如：过B点且平行于光轴的光线a，经系统后，其像方共轭光线a＇必通过F＇点；或者过B点和物方节点J的连线c，其像方共轭光线c＇过像方节点J＇，且平行于c。显然，a＇和c＇方向完全一致，该方向就是AM的像方共轭光线的方向。

由于BM（因而AM）可以视为B点发出的光束中的一条光线，因此，过M＇点作平行于上述辅助光线a＇或c＇的一条光线，则该光线即为AM的像方共轭光线，其与光轴的交点即为A的共轭像点A＇。

借助于图3.16，可以分析线段（或共轭点移动方向）之间的共轭关系。以上只笼统地说到，过A＇、M＇的光线与光线AM是一对光轭光线；但是，进一步分析表明A＇M＇与AM却并非一对共轭线段。当物点从A点沿AM线移动并趋近于B点时，其共轭像点则从A＇点移动趋向于B_+∞＇；当物点从B点移动至M点时，其共轭像点则从B_－∞＇移动至M＇点。因此，AM的像方共轭线段是由A＇点到B＇_－∞和B＇_－∞到M＇点两部分线段所组成。

图3.16　物方、像方线段的共轭关系

最后，对有关光线描迹图解法的几个值得注意的问题归纳如下：

（1）首先要看清所给光组的基点位置，明确光组的性质，例如是正光组（f＇＞0）还是负光组（f＇＜0），光组两边介质n、n＇是否相同（即是否等于f＇是否等于－f）。如果f＇≠－f，则不能在主点处利用第三对特殊光线作图。

（2）根据物像的共轭关系和光路的可逆性，可以给定物作图求像；反之，也可以根据已知像的位置和大小，作图求物。

（3）在作图中，应注意物像的虚实性。在正向光路的前提下，物在物方主面左侧为实（l＜0），右侧为虚（l＞0）；像在像方主面右侧为实（l＇＞0），左侧为虚（l＇＜0）。实物、实像以实线表示，虚物、虚像以虚线表示。

过物点的光线在物方主面左侧画实线，右侧画虚线；交到像点上的光线在像方主面右侧画实线，左侧画虚线。实线交出实（物、像）点，虚线交出虚（物、像）点。

（4）物方与像方共轭光线的转折点必在主面上。其中，物方平行于光轴的光线，其转折点在像方主面上；过物方焦点的光线，其转折点在物方主面上。

（5）为保证作图结果的正确与精度，应利用三角板等作图工具严格按作图规则进行。另外，当轴外物点距物方焦面很近时，最好不利用过物方焦点的特殊光线作图；当轴外物点距物方节面很近时，最好不利用过物方节点的特殊光线作图。

（6）当光组可以视为薄透镜时，其物方主面与像方主面重合，作图的原则和方法不变，但更为简化。

（7）上述作图规则可以应用至两个以上光组的连续求像。

表3.3和表3.4依次给出了图解法正透镜和负透镜的物像共轭变化规律。