重力异常正演计算

重力异常的正演计算，就是给定地下场源形态和密度参数求取在地表产生的重力异常。

分析观测重力异常，求取其场源体，首先必须了解地下不同形状、大小、具有不同密度特点的场源体或地质界面在地表产生的重力异常的特征。在人机交互或用选择法对重力异常进行反演时，正演计算也是反演过程的重要组成部分。

9.3.1 重力异常正演公式

1.重力异常的实质

若在大地水准面上的某一A点进行观测，并设地下岩石的密度均匀分布且都为σ0时，其正常的重力为gφ，当A点附近的地下有一个密度为σ的地质体存在，且其体积为V时，这个地质体相对于四周围岩便有一个剩余密度Δσ，其大小为

Δσ=σ-σ0（9-1）

该地质体相对于围岩的剩余质量则为（Δσ·v）。若令它在A点产生的引力为F，则在A点的重力g应为gφ与F之和。由于gφ值达107g.u.的量级，而F值最大仅达103g.u.量级，所以g与gφ两者的方向相差甚微，因而在A点的重力异常为

Δg=g-gφ=F·cosθ（9-2）

式中，θ为地质体剩余质量所产生的引力F与重力g之间的夹角。

在重力勘探中所称的重力异常，即为地质体的剩余质量所产生的引力在重力方向的分量。若地质体的密度小于四周围岩的密度，则剩余密度为负值，剩余质量也为负值，当然，其重力异常也是负值。

2.基本公式

以地面上某一点O作为坐标原点，Z轴铅垂向下（即沿重力方向），X，Y轴在水平面内。若地质体与围岩的密度差（即剩余密度）为σ，地质体内某一体积元dv=dξdηdζ，其坐标为（ξ，η，ζ），它的剩余质量为dm，则

dm=σdv=σdξdηdζ（9-3）

令计算点A的坐标为（x，y，z），剩余质量元到A点的距离为R，则

由重力位可知，地质体的剩余质量在A点处对单位质量所产生的引力位为

式中，v为地质体的体积。

因为选择z的方向就是重力的方向，所以重力异常就是剩余质量的引力位沿z方向的导数，即

如果地质体的形状和埋藏深度沿水平方向均无变化，且沿该方向无限延伸，此时的地质体称为二度地质体。将上式中的Y轴方向选作为二度地质体的延伸方向，y的积分限由-∞到+∞，令y=0，则可得到沿X方向剖面上计算二度体重力异常的基本公式，当剩余密度为均匀时，则可提到积分符号之外，即

式中，s为二度体的横截面面积。

同时，还可以推导出计算重力异常垂向梯度或重力垂向梯度异常的基本公式和计算重力异常水平梯度或重力水平梯度异常的基本公式，以及计算重力异常垂向二阶导数或重力垂向二阶导数异常的基本公式。

9.3.2 重力异常计算中模型的简化和组合

在正演计算中，首先是针对一些简单规则几何形状的物体（如球体，水平圆柱体，水平台阶等），计算其产生的重力异常并分析其特征。在实际工作中，某些简单规则地质体，或形状较复杂但距离足够远时，可以近似当作简单规则形体进行研究。如矿巢、矿囊、弯隆构造、某些溶洞可以近似当作球体。扁豆状矿体、两翼较陡的长轴背斜及向斜，大型人工管道等可以当成水平圆柱体来看待。另一方面，复杂地质体引起的重力异常也可以用简单形体异常的叠加得到。如可用一系列微元棱柱体或长方体来构造一个密度界面模型。如图9-1所示是一个两度体密度界面的剖面图，计算其产生的重力异常可先将它分解为若干个宽度相同、顶深不同的直立板组合，计算每个直立板产生的异常然后求和就可得到相应界面产生的重力异常。

图9-1 密度界面示意图

位于x0处的直立板在水平地面（Z=0）x处产生的重力异常为

式中，G为万有引力常数；x为观测点水平坐标（m）；x0为直立板平面中心点水平坐标（m）；2a为直立板水平宽度（m）；D1为直立板顶面深度（m）；D2为直立板底面深度（m）；σ为直立板面密度（剩余密度）（kg/m2）。

在地面x处观测到的总异常就是每一个柱体异常的叠加：

9.3.3 简单规则形体产生的重力异常特征

1.球体（点质量）

将坐标原点选在球心于地面的投影点上。对于剩余密度均匀的球体来说，它与将其全部剩余质量M集中在球心处（0，0，D）的点质量所产生的异常完全一样。

由对称性知密度均匀的球体产生的重力异常是中心对称的，在平面上，其异常等值线为一簇以球心在地面投影点为圆心的许多不等间距的同心圆，分析其特征只需研究过原点的任意剖面上异常的分布即可。这里取中心剖面与X轴重合，异常分布的基本特征（图9-2）是：

图9-2 球体重力异常及其导数剖面曲线图

（1）在x=0（即原点）处，异常取得极大值；

（2）异常相对原点为对称分布，当z→±∞时，异常值→0；

（3）异常半极值点的横坐标为球心埋深的0.766倍。

水平梯度或方向导数。异常的正负与选择的x轴方向有关，但零值点总是大体对应着球心在地面的投影处，重力异常的垂向一阶和二阶导数，它们在平面上的等值线图会有一圈零值线把正负异常分开，且异常的极值（此例如前所述指的是极大值）所在位置与球心在地面的投影一致。说明，异常导数阶数越高，异常随深度的增加衰减越快。

因此，在实测重力异常平面图中近于圆形或长短轴差别不大的近椭圆形异常，多半是近于球形地质体产生的。在同一地区，异常越尖锐，范围越小（以x来度量），则该地质体的埋深较浅，反之则较深。

2.水平圆柱体（水平物质线）

无限长的水平圆柱体在地面引起的异常，完全可以把它当作剩余质量集中在其中轴线的物质线（线密度为λ，埋深为D）看待：Δg（x，0）=。

而对有限长的水平圆柱体（设柱体长度为2L，中心剖面），Δg L（x，0）=。用无限长水平圆柱体的公式近似会带来误差，但随着长度的增加这种误差会迅速减小。

在垂直走向的剖面图上的异常特征与球体过中心剖面异常特征类似，随x增大衰减变慢。但平面图则完全不同，它是一组不等间距的平行直线，中间异常值最大，两边异常值小（实测异常当然不会有无限长的等值线，而是长轴拉得很长的长椭圆形封闭曲线，在长轴线的中间部位就是这种状况）。

3.铅垂台阶

一些界线清楚的高角度接触带，可等效成铅垂台阶来研究。将坐标原点选在台阶铅垂面与地面的交线上，让z轴与台阶铅垂面垂直，台阶沿z轴正方向和沿y轴均为无限延伸。若以h和H分别表示台阶顶面与底面的深度，则

在平面等值线图中，是一簇平行台阶走向的直线，与水平圆柱体不同的是，这里的等值线是一边低而另一边高，且在台阶面附近等值线最为密集。只要保持（H-h）不变，不论台阶的上顶埋深如何，Δgmin，Δg（0，0）和Δgmax都不变，只是整条曲线随深度加大而变缓。