不完全的真理

弗雷格非常关注公理的含义，但形式主义最主要的支持者，著名的德国数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert，如图7-6所示）则提倡完全回避对数学公式的任何解读及阐释。希尔伯特对于数学是否源自于逻辑之类的问题丝毫不感兴趣。从严格意义上讲，对他而言数学就是一些毫无意义的公式，而公式也就是由任意符号组成的结构^［221］。希尔伯特将确定数学基础的研究归入了另外一门全新的学科，他称之为“元数学”。在希尔伯特看来，元数学研究的是，恰恰利用数学分析的方法来证明由形式系统调用的整个过程，即按照严格的推理规则从公理推导出定理的过程，是否前后一致。如果从不同的角度分析，希尔伯特认为他能从数学上证明数学是有用的，按他本人的话说^［222］：

我对数学新基础所作的所有研究只有一个目的，那就是一劳永逸地消除对数学推理可靠性的怀疑……我将把过去那些被认为组成了数学的所有内容，都严格地进行形式化处理。这样，真正的数学，或者说严格意义上的数学，就将成为公式的积累了。除了这种形式化的、严格意义上的数学以外，我们还有一类全新的数学：元数学，这是保证数学可靠性所必需的。与理论数学中的推理方式相反，在元数学中，通过上下文的语境推理，只能证明公理的一致性……因此，数学这门学科作为一个整体在两个方面交替地发展：一方面我们通过形式推理从公理中得到可验证的公式；另一方面，我们又通过应用语境推理增加新的公理，同时证明它们的一致性。

图7-6

为了探寻根本，希尔伯特的计划表牺牲了内涵。因此，对于他的形式主义论^［223］思想的追随者而言，数学的确只是一场游戏，但是希尔伯特的目标是，严格地证明这是一个完全可以自圆其说的游戏。基于他在公理中的所有进展，实现这种形式主义论者“证明论”的梦想看起来仅仅只是几步之遥了。

然而，并非所有人都认为希尔伯特所走的道路是正确的。路德维格·维特根斯坦（Ludwig Wittgenstein，1889—1951）^［224］，被认为是20世纪最伟大的哲学家，他就认为希尔伯特关于元数学的研究是在浪费时间。维特根斯坦曾经评价道：“我们不能为了一条规则的应用而制订另外一条新的规则。”换句话说，维特根斯坦不相信通过创造另一种“游戏”能理解现有的一种“游戏”，他说：“如果我对数学的本质并不清楚的话，任何证明都对我毫无帮助。”^［225］尽管如此，年仅24岁的库尔特·哥德尔却给形式主义论的核心思想给予了重重的一击。

1906年4月28日库尔特·哥德尔（如图7-7所示）^［226］出生于摩拉维亚城，这座城市后来因为捷克的布尔诺而闻名于世，在当时，这座小城是奥匈帝国的一部分。哥德尔在一个以德语为母语的家庭中长大，父亲诺道夫·哥德尔经营着一个纺织厂，父母坚持让年轻的哥德尔在数学、历史、语言和宗教等诸多方面接受广泛的教育。哥德尔十几岁的时候就对数学和哲学产生了深厚了兴趣。他18岁时进入了维也纳大学学习，在那里，他的注意力转移到了数学逻辑上。他被罗素和怀特黑德所著的《数学原理》，以及希尔伯特的理论所深深地吸引，并且选择了完全性问题作为他的学位论文的研究课题，这项研究的主要目标是从根本上确定希尔伯特所倡导的形式主义方法是否足以导出数学中所有真实的陈述。1930年，哥德尔被授予了博士学位，一年之后他就发表了“不完全性定理”（incompleteness theorems）^［227］，这对于数学和哲学这门科学来说，都是一个巨大的冲击。

图7-7

（1）任何一个包含初等算术在内的形式系统S中，都存在一种命题，它在这个系统中既不能被证明，也不能被证伪。

（2）任何一个包含初等算术的相容的形式系统S自身不能证明它本身的相容性。

这两条定理的文字看起来并没有什么恶意，但是对形式主义者的计划来讲，其影响是巨大的。简单地说，不完全性定理证明了希尔伯特的形式主义论从一开始就注定是不幸的。哥德尔的证明表明了，任何足以引起人们关注的形式体系，要么是不完全的，要么就是不一致的，这是它们内在的固有属性。这就是说，在最好的情况下，我们可以断言形式体系既不能被证实，也不能被证伪；而在最糟糕的情况下，形式体系会带来矛盾。既然对于任何陈述 T来说，T或不是非T都一定是正确的。那么，一个有限的形式体系既不能证实，也不能证伪确定的断言，这一事实意味着永远存在这样的真实陈述，它们在这个体系中是不可证的。换句话说，哥德尔证明了不存在由一个有限公理集和推理规则组成、在任何时候都能正确表达完整数学公理的形式系统。事实上最有可能的情况是，被人们所普遍接受的公理也只是不完全的和不矛盾的。

哥德尔本人相信独立的、数学真理形式的柏拉图世界的确存在。在1947年出版的一本著作中，他写道^［228］：

但是，不管集合论的对象和我们的感觉经验有多么不同，我们确实能感知到它们，正如我们可以看到的，公理是作为一种正确的事物把它们自己强加给我们的。因此我看不到为什么应当相信感性知觉而不相信诸如数学直觉这类的知觉。

命运似乎和形式主义论者们开了一个玩笑，正当他们准备游行示威庆祝自己的胜利时，一个公然的柏拉图主义者库尔特·哥德尔从天而降，落到了形式主义者的流行队伍前。

著名的数学家约翰·冯·诺依曼（1903—1957）当时正在讲授希尔伯特的理论，当哥德尔发表了他的理论之后，诺依曼终止了他计划中的教学课程，并致力于研究哥德尔的发现。

哥德尔本人有点像他的定理，晦涩复杂而又严谨缜密^［229］。1940年他和妻子阿黛尔从奥地利纳粹的魔掌中逃脱后来到了美国，并在新泽西的普林斯顿高级研究院获得了一个职位，在那里他与爱因斯坦成为了好友，两人经常在傍晚结伴散步。1948年哥德尔申请取得美国国籍时，爱因斯坦和当时也同样居住在普林斯顿的数学家和经济学家奥斯卡·摩根斯坦（1902—1977）陪伴他一同前去移民归化局接受面试。围绕这次面试所发生的一系列故事广为流传，这些故事的确揭示了哥德尔的性格。这里我会完整地叙述这个故事，我引用的是奥斯卡·摩根斯坦在1971年9月13日的备忘录中的记载。在此，我要特别感谢奥斯卡·摩根斯坦的遗孀多萝西·摩根斯坦女士，同时还有普林斯顿高级研究院，他们向我提供了这封文件的副本，并允许我公开其内容^［230］。

那是1946年，哥德尔马上就要取得美国国籍了。他邀请我做他的见证人，至于另外一位见证人，哥德尔邀请的是爱因斯坦，爱因斯坦十分愉快地答应了。当时，我和爱因斯坦经常见面，我们俩都对哥德尔在办理移民手续之前和办理过程中会发生什么事充满了期待。

在办理手续之前的好几个月中，我不时碰见哥德尔，他自己当然已经为此做了各种准备。由于他是一位非常严谨的人，为了能一次就申请成功，他开始了解美国人移民的历史，在这个过程中，他逐渐学习到了美洲印第安人的历史、各种不同部落的历史变迁等，有好几次他通过电话向我索取相关的历史文献资料，这些资料他都全部仔细研究了一遍。不过对他而言，研究这些资料的同时又带来了更多的疑问，甚至包括关于他们的历史是不是真实的这样的问题。在之后的一周里，哥德尔着手开始研究美国的历史，特别是美国宪法的制定过程及其文本内容更是引起了他的浓厚兴趣，除此之外，普林斯顿的历史也成为了他重点关注的对象，他想从我这里借到关于普林斯顿行政区和伊丽萨白镇之间的行政区域划分的资料。我试图向他解释所有这些知识对他而言都是毫无必要的，当然也是没有任何实际用途的。但是哥德尔坚持他的想法，不得已我向提供了他想知道的所有相关信息和资料，其中包括普林斯顿的有关情况。之后，他又了解了区议会和镇议会是如何选举产生的，谁是镇长，镇议会是如何运行的。他认为在面试过程中有可能被问到这类问题。如果他不了解自己生活的小镇，这将会给审核的人留下不良的印象。

我努力向他说明这类问题永远也不会被问到，最有可能问到的问题都是形式上的，并且谁都能轻松地给出答案，比如最常见的问题是，这个国家的政府是哪种类型的政府，或是最高法院叫什么。然而无论怎么样，他还是坚持要仔细研究一下美国宪法。

几天后，他颇为神秘、但又带着几分兴奋地告诉我说，在他分析宪法时，他发现了其中有一些内在的自相矛盾之处，而且他还发现利用宪法中的这些漏洞，一个人可以用一种完全合法的方法成为一位独裁者，并且建立起一个法西斯帝国。令他苦恼的是，这决不是当初制订宪法的人希望看到的。我告诉他这类事根本不可能发生，甚至即使他是正确的（当然我对此抱有强烈的怀疑态度）也不可能在现实中真正发生。但是他坚持他的观点，为此我们还特地讨论了他的这些可谓惊世骇俗的发现。我极力劝说他在特伦顿（新泽西州首府）法庭面试时千万不要提及类似的话题。之后我又把这件事告诉给了爱因斯坦，他也被哥德尔的这种观点给吓到了，并且也对哥德尔说不必对此感到焦躁不安，也完全不用去讨论其可能性。

几个月之后，去特伦顿接受审查的日期到来了。那天，我开车先去接哥德尔，他坐在了车的后排座位上，之后我们又去麦瑟尔街爱因斯坦的家中把他也拉上。在路上，爱因斯坦故意转过身去问他：“哥德尔，你真的已经为这次审核做好全部准备了吗？”当然，这个问题让哥德尔更加紧张了，他越发显得心烦意乱了，而这正好是爱因斯坦的目的，他对于哥德尔脸上流露出的紧张感到十分好玩。当我们到达特伦顿之后，我们三个人被带进了一间大房子。按照正常的程序，对见证人和申请人的提问是分开进行的。但是由于爱因斯坦的出现，我们得到了特别的照顾。工作人员十分客气地邀请我们并排坐在一起，当然哥德尔坐在我们中间。审查官首先询问了爱因斯坦，之后又问了我几个问题，他问我们认为哥德尔是否会是一名良好的公民。我们向他保证这绝对不是问题，他是一位受人尊敬的先生，等等。在此之后，审查官转而向哥德尔提问：“现在，哥德尔先生，您来自哪里？”

哥德尔：“我来自哪里？奥地利。”

审查官：“奥地利政府是哪种类型的政府？”

哥德尔：“它是一个共和国，但是宪法规定会让它最终变为一个独裁的政体。”

审查官：“噢！这真是太糟糕了，这种事永远也不会在我们这个国家发生。”

哥德尔：“哦，不，在这里也会发生，我可以证明它。”

在所有可以问的问题中，审查官偏偏挑了这么一个关键问题。在他们的交流过程中，爱因斯坦和我如同芒刺在背，不过那位审查官非常聪明，他马上安慰哥德尔说：“噢，上帝，可别让我们变成那样。”在这关键时刻他停止了提问，这让我们感到如释重负。当我们离开那间办公室向电梯走去时，一个手中拿着纸和笔的年轻人追了上来，他想请爱因斯坦为他签个名以作为留念，爱因斯坦满足了他的要求。在我们乘坐电梯下楼时，我对爱因斯坦开玩笑地说：“被这么多人骚扰可真是让人厌烦啊？哈哈。”爱因斯坦回答道：“你知道，这只是食人族的最后残余罢了。”我被他的回答弄糊涂了：“这怎么会呢？”爱因斯坦解释道：“是的，在过去他们想要的是你的血，而今天他们想要的是你的墨。”

下楼之后，我们就离开了特伦顿，驱车返回了普林斯顿。当我们回到麦瑟尔街的拐角处时，我问爱因斯坦是回家还是去研究所，他回答：“我回家，我的工作无关紧要。”并且他还引用了一首美国的政治歌曲。（可惜我现在记不起来歌词了，我本该把它记在笔记本上，这样如果有人能给我点提示的话，我一定能记起它们。）在去爱因斯坦家的路上，他回过头对哥德尔说：“好了，哥德尔，还有最后一次审查了。”哥德尔惊讶地问：“天啊，还有一次？”他又开始紧张了起来。爱因斯坦接着说：“哥德尔，下次审查是在你步入坟墓的时候。”哥德尔回答道：“但是，爱因斯坦，我不会‘步入’我的坟墓。”爱因斯坦乐不可支：“哥德尔，这不过是个玩笑罢了。”当爱因斯坦下车以后，我接着送哥德尔回家。所有的人都为这段艰难的煎熬终于度过去了而感到欣慰。哥德尔的心情也变得轻快了起来，并重新开始了他的哲学和逻辑研究之旅。

哥德尔在晚年患上了严重的精神疾病，最终导致他拒绝进食（他怀疑有人在他的食物中下毒），在1978年1月14日，他因为严重的营养不良和身体器官衰竭而不幸去世。

与一些流行的误解相反，哥德尔的不完全性定理并不是说某些真理将永远不会被认识。我们也不能从定理中推导出人类的理解能力是有限的。不完全性定理只是说明了形式体系的弱点和缺陷。因此，这就带来了一个十分奇怪的现象，尽管不完全性定理对于数学和哲学研究的意义十分重大，但它在理论基础上，对数学有效性的冲击却很小。事实上，在哥德尔发表他的证明之后的几十年间，数学已经在关于宇宙的物理学理论研究中取得了极为辉煌的成就。不但数学没有被当做一门不可靠的理论而被抛弃，数学和它的逻辑结论甚至还令人难以置信地成为了理解宇宙的核心理论。

不过，这却意味着困扰人们很长时间的关于数学“无理由的有效性”问题，将变得更为棘手了。想象一下吧，如果逻辑学家的努力最终完全成功了，会发生什么事情？这就暗示着数学完完全全地源自于逻辑，源于思考的法则。但是这门演绎的科学为什么会那么不可思议地与自然现象相符合呢？形式逻辑（也许我们甚至可以说是人类的形式逻辑）与宇宙之间是什么关系呢？在希尔伯特和哥德尔之后，答案并没有变得更加清晰。既然在过去所有的存在都是一场用数学语言表述的不完全的形式“游戏”^［231］，基于这种“不可靠”体系的模型如何能对宇宙及其运行方式产生深刻的见解呢？甚至在试图提出这类问题之前，我想通过仔细分析几个例子来研究数学有效性的细微差别，让问题变得更加突出明白一些。