发现还是发明

到目前为止，所有这些简短的叙述都充分证明，我们所处的世界受数学支配，至少其认识分析过程深受数学影响。正如本书将要提出的，大多数（也许是全部）人类活动似乎都源自于数学，对此，人类自己甚至根本都没有意识到。让我们再用一个金融领域的例子来证明——布莱克—斯科尔斯（Black—Scholes）期权定价模型^［11］（1973）。布莱克—斯科尔斯期权定价模型为其发现者赢得了诺贝尔经济学奖［授予了迈伦·斯科尔斯（Myron Scholes）和罗伯特·卡哈特·默顿（Robert Carhart Merton），费歇尔·布莱克（Fischer Black）在获奖前就已经去世了］。该模型中的关键平衡等式能帮助我们理解如何确定股票期权价格（期权是一种金融工具，投资者以此共同商定未来某个特定日期股票的价格，并以此价格买入或卖出股票）。令人难以置信的是，该模型的核心问题，布朗运动已经被物理学家研究了几十年了。布朗运动描述了微粒的不规则、无休止的运动状态，它可以通过水中悬浮的花粉粒子和空气中烟尘粒子的运动观察到。同样的方程式也可以在星团里无数个星体运动中观察到。这是不是有点像《爱丽丝梦游仙境》（Alice In Wonderland）中所说的“神奇啊，太神奇了”？不管宇宙如何运行，毕竟商业和经济显然是人类思维所主导创造的世界。

让我们再来看一个在电路板制造或计算机设计中常见的问题。这些领域里，都可能要利用激光在平板上钻出数以万计的小孔。为了节约成本，设计人员不希望钻孔行为是一种随机行为，就像“随意游客”。他们希望能在钻孔前找出最短的“路径”，每个孔都将被“光顾”到，且只“光顾”一次。其实，从上个世纪20年代起，数学家们就开始研究这个“旅行商问题”了。简单地说，所谓“旅行商问题”，就是假设有一位商人，或者是一位参加竞选的参选人，想要以一种最经济的方式访问给定数量的所有城市，其中任意两座城市之间旅行的花费是已知的。他的问题就是找出一条能将所有城市都访问完、并且最后要回到原始出发点的、最便宜的那条路线。1954年，美国人给出了49个城市的“旅行商问题”解决方案，2004年瑞典人给出了24 978个城市的解决方案^［12］。今天，电子工业、物流公司发送包裹，甚至日本弹珠盘游戏机（与弹珠类似，需要击打数千次手指）制造都可以最终简化为这个数学问题，并且其效率提高都依赖于这个问题的答案。

数学还进入了一些传统上与之联系并不十分紧密的学科领域。例如，有本期刊叫《数理社会学杂志》（2006年出版了第30卷）。其所谓的数理社会学，是通过数学工具来研究和分析复杂的社会结构、组织和非正式群体。该杂志所发表的文章主题涵盖很广，包括预测公众观点的数学模型、预测社会群体中某些交互行为的数学模型，等等。

让我们换个方向，把目光从数学转向人文学科，来看看计算语言学。这门学科起初只涉及计算机科学家，但今天它已经发展为一门跨学科的研究领域，它把语言学家、认知心理学家、逻辑学家以及人工智能专家集中在一起，共同研究自然进化语言的复杂性。

这难道是捉弄我们的恶作剧吗？人类所有试图领会和理解世界奥秘的努力，最终却带领我们发现了越来越精细复杂的数学领域，而这些领域正是宇宙，甚至人类所有行为的基础。难道数学就是教育工作者所谓的秘籍吗？（为了防止“教会徒弟，饿死师傅”，老师通常会把书上的知识藏起来一部分不教给学生，这样老师就总显得比学生高明。）或者，借用圣经上的一个隐喻：数学是智慧之树结出的最终果实吗？

正如我在本章开始部分所介绍的，数学无理由的有效性产生了许多有趣的问题：数学是一种完全独立于人类思维的存在吗？换句话说，就像天文学家们发现先前未被人类所观察到的星系那样，我们是否只是发现了本已存在的数学真理？若不是，难道数学只是人类的发明？如果数学真实存在于某个抽象的世界中，那么这个神秘的世界与物理现实世界之间是什么关系呢？只拥有有限知识的人类如何才能超越时空限制进入这个永恒不变的神秘殿堂？另一方面，假如数学仅仅是人类的发明，并且只存在于人类意识中，那么我们又如何解释，发明出来的这么多数学真理怎么会如神迹般地准确预言了几十年后，甚至是几百年之后才出现的宇宙和人类生活中的某些问题呢？这些问题并不像表面上看到的那么简单。正如我在书中反复讲到的，即使在今天，数学家、认知学家、哲学家们对此还存在分歧。1989年，法国数学家阿兰·孔涅（AlainConnes，他赢得了数学界最有名望的两项荣誉：1982年的菲尔兹奖和2001年的克拉夫奖）曾很清晰地表达了他的观点^［13］。

根据我的观察，质数（仅能被 1和自己整除的数）组成的世界，远比我们周围的物质世界稳定。数学家的工作可以与探险家发现世界相媲美。他们都是从经历中发现基本事实。举例来说，通过简单的计算，我们发现质数的序列似乎永无穷尽。那么，数学家的任务就是证明存在无穷多的质数，当然这是欧几里得提出的一个古老结论。这个论证中最有趣的一个推论就是，如果某一天有人宣称他发现了最大的质数，很容易就能证明他是错的。对任何其他论证来说同样如此。由此可见，我们面对的数学如物理现实一样无可争议。

著名的多产数学科普作家马丁·加德纳（Martin Gardner）支持“数学是一种发现”的观点。对他来说，无论人类认识与否，数字及数学都是独立于人类认知存在的，这一点毫无疑问。他曾风趣地评论^［14］：“如果森林中有两只恐龙与另外两只恐龙相遇，不管周围是否有人类在观察，那儿都会有4只恐龙。但是愚蠢的熊却不会知道。”正如孔涅强调的，“数学是一种发现”的观点（这也是柏拉图的看法）的支持者认为，一旦人们理解了某个数学概念，如自然数1，2，3，4…，那么就会面临一些无可争议的事实，如3²+4²＝5²，这与人们如何看待它们之间的联系无关。这至少给我们留下一种印象，我们接触的是已经存在的真实世界。

当然，不是所有人都这么认为。在为孔涅的一本书（在该书中，孔涅表达了他的上述观点）撰写评论文章时，英国数学家迈克尔·阿蒂亚爵士（他在1966年获得了菲尔兹奖，2004年获得阿贝尔奖）写道：

每一位数学家都会支持孔涅。我们都感到整数、圆在某种抽象意义上是真实存在的，并且柏拉图的观点（我在本书第 2章会详细讨论）十分有吸引力。但是我们真的能支持它吗？假如宇宙是一维空间的话，或者甚至是离散的，很难想象几何学在这个一维空间中是如何孕育发展的。对人类来说，我们对整数似乎更在行，并且计数是真正原始的概念。但是想象一下，如果文明不是出现在人类中，而是出现在太平洋深处，出现在独居并与世隔绝的水母中，情况又会如何？水母不会有个体的体验，只会感觉到周围的水。运动、温度和压力将给它提供基本感知经验。在这样的环境中不会出现离散的概念，也不需要计数。

由于阿蒂亚确信^［15］：“通过理想化和抽象物理世界中的那些基本要素，人类创造了数学。”语言学家乔治·莱考夫（George Lakoff）和物理学家拉斐尔·努涅斯（Rafael Núñez）也持同样的观点。在他们合著的《数学从哪里来》（Where Mathematics Comes From）一书中，他们总结道：“数学是人类天性的一部分，它源于我们的身体、大脑以及我们在这个世界中每天的经历。”

阿蒂亚、莱考夫和努涅斯的观点又引出了另一个有趣的问题：如果数学完全是人类发明的话，它真的具有普遍性吗？想象一下，如果外星文明真的存在的话，它们是否也会发明出与我们相同的数学呢？卡尔·萨根（Carl Sagan，1934—1996）过去认为答案是肯定的。在他的《宇宙》（Cosmos）一书中，当探讨智能文明会将哪种讯息传播到外空间时，他提出：“任何自然的物理进程都不可能在传播无线信息时只包括质数。假设接收到这样的信息，我们就能推断出那里存在至少喜欢质数的文明。”但这如何确定呢？在新书《一门新科学》（A New Kind of Science）中，数学物理学家史蒂芬·沃尔夫拉姆（Stephen Wolfram）认为这种称为“人类的数学”的智慧，也许仅代表从数学之树上开放的、众多不同的“花朵”中的一朵。例如，如果不使用基于数学公式的法则来描述自然的话，人类也可以使用其他不同类型的法则（比如，在简单的计算机程序中所体现的法则）。另外，一些宇宙学家们最近已经开始讨论我们身处的宇宙可能是多元宇宙（众多宇宙的集合体）的一个组成部分。如果这种多元宇宙真实存在的话，其他宇宙空间中所发展出的数学与我们的数学一致吗？

有一些分子生物学家和认知学家基于大脑功能的研究提出了另外一种观点：数学同语言区别不大。换句话说，基于这种“认知”，人类在注意自己的双手、双眼、两胸无数世代后，数字“2”的抽象定义慢慢形成。同样，“鸟”这个字的概念也是这样形成的——人们逐渐认识到这个字代表有两只翅膀、并且能够飞起来的动物。正如法国神经系统学家让皮埃尔·尚热（Jean-Pierre Changeux）所说的^［16］：“对我而言，公理法（例如欧几里得几何学就是建立在几条公理之上的）就是与使用大脑相关联的理性能力的表现。”但是，如果数学算另外一种语言的话，我们又如何解释孩子们在学习语言时会相对比较轻松，但其中相当一部分在学习数学时却倍感吃力呢？苏格兰天才儿童马乔里·弗莱明（Marjory Fleming，1803—1811）就用一种极为无奈的语气描述了她在面对数学时的那种痛苦。弗莱明不到 9 岁就夭折了，在她的日记中留下 9 000 多字的散文和500多行的诗歌。在一篇日记中她曾抱怨道^［17］：“我要告诉你的是乘法表带给了我无尽痛苦和烦恼，你可能难以想象。最难对付的就是8乘8和7乘7，这真是让人无法忍受。”

这个问题很难回答。如果考虑其他一些因素的话，它可能就会转变成另一个问题：与其他表现人类思维的方式（如美术和音乐）相比，数学和它们有什么本质不同？如果没有什么本质不同的话，那么，为什么数学会表现出一种不可思议的逻辑性和自相一致性，而这些特征是其他任何一种人类创造都不具备的？以欧几里得几何学为例，虽然它是在公元前 300年创立的，但直到目前，它依然是正确的（当然要看它的应用领域），它表达的某些“真理”现在仍然被遵守。相比之下，今天我们既无法强迫现代人喜欢古希腊人所听的音乐，也无法再继续坚持亚里士多德幼稚的宇宙模型。

一方面，在科学研究的各领域中，很少会出现继续沿用 300年前的思想和概念的情形；另一方面，最新的数学研究可能会参考去年甚至上周才发表的数学定理，但是也有可能引用公元前 250年阿基米德所证明的球表面积公式。19世纪的原子结构模型的理论仅仅存在了20年就被抛弃了，那是因为有新的发现证明该理论基本原理有错误，这也是大多数科学研究发展的一般过程。因为站在了巨人的肩膀上，所以才能看得更远，所以牛顿对那些巨人不吝溢美之辞（也许没有，参见第4章）。但同时，牛顿也许还应该向那些巨人们道歉，因为他的工作使很多他脚下巨人的理论过时了。

但这不是数学理论发展的路线图，尽管用来证明某些结论的形式已经改变了，但是数学结论本身却始终没有什么差别。事实上，正如数学家及作家伊恩·斯图尔特（Ian Stewart）曾经指出的^［18］：“在数学领域里，谬误一词表示先前以为是正确的、而后来却发现有错误并被纠正的结论。”并且它们之所以被证明是谬误的结论，也不是因为在其他学科领域有了新的发现，而是通过更仔细、更严格地参考那些同样古老的数学真理才被证实的。难道数学真的是上帝的语言吗？

如果你认为对数学究竟是一种“发现”或是一种“发明”的理解无关紧要，请想想这两个词之间的差异在下面这个问题里的深长意味：“上帝是一种发现还是一种发明？”或者另一个更刺激的问题：“上帝是按自己的模样创造了人，还是人类以自己的形象创造了上帝？”

在本书中我将和大家一直探寻这些以及其他问题的答案。我们将回顾那些历史上和当今最伟大的数学家、物理学家、哲学家、认知学家和语言学家们在各自领域所作出的卓越贡献，以及在其研究过程中体现出的远见卓识。书中还要回顾一些近代思想家们的观点、警言和他们对这些问题所持有的保留意见。让我们先以早期哲学家们的某些开创性观点为起点，开始这段激动人心的旅程吧。