元组关系演算

2.3.1　元组关系演算

如果在一阶谓词演算表达式中，变量是以元组为演算单位，就称其为元组关系演算，其中元组变量表示关系中的元组，变量取值范围是整个关系。

（1）元组关系演算公式的一般表达式为：

{t|φ(t)}

其中，t是元组变量，φ(t)是以元组变量为基础的公式，它由原子公式和运算符组成。

（2）元组关系演算原子公式

① R(t)是原子公式。

② t[i]θt[j]是原子公式，其中θ是算术比较运算符，i、j分别表示元组t的第i个、第j个分量。

③ t[i]θC或者Cθt[i]，其中C是常量。

（3）元组关系演算公式的定义

① 原子公式是公式。

② 假如φ₁(t)和φ₂(t)是公式，则φ₁∧φ₂，φ₁∨φ₂，¬φ₁也都是元组关系演算公式，分别表示：

如果φ₁和φ₂同时为真，则φ₁∧φ₂才为真，否则为假；

如果φ₁和φ₂中一个或同时为真，则φ₁∨φ₂为真，仅当φ₁和φ₂同时为假时，φ₁∨φ₂才为假；

如果φ₁为真，则¬φ₁为假。

③ 假如φ是公式，t是φ中的自由变元，则∃t(φ)也是公式：

若有一个t使φ为真，则∃t(φ)为真，否则∃t(φ)为假。

④ 假如φ元组关系演算是公式，则∀t(φ)也都是元组关系演算公式：

如果对所有t，都是φ为真，则∀t(φ)为真，否则∀t(φ)为假。

⑤ 只有按上述规则的有限次组合形成的才是域关系演算公式。

（4）用元组演算表示关系代数中的各种基本运算

设有关系R和关系S，其谓词表示为R(t)和S(t)，就有：

① 交：R∩S={t|R(t)∧S(t)}；

② 并：R∪S={t|R(t)∨S(t)}；

③ 差：R−S={t|R(t)∧¬S(t)}；

④ 选择：σ_F(R)={t|R(t)∧F}，其中F是一个谓词公式。

例2-7　查询学生(学号，姓名，年龄，所在系)中，年龄大于18并且所在系为“计算机系”的学生信息。

{t|学生(t)∧t[3]＞18∧t[4]='计算机系'}

⑤ 投影：

Π_{ri1,ri2,…,rik}(R)={t^(k)|(∃u)(R(u)∧t(1)=u(i1)∧…∧t(k)=u(ik))}

例2-8　列出学生的姓名和所在系的信息。

{t|学生(t)∧t[1]=学生[2]∧t[2]=学生[4]}

⑥ 笛卡儿积：

R×S={t^(n+m)|(∃u⁽ⁿ⁾)(∃v^(m))(R(u)∧S(v)∧t[1]=u[1]∧…∧t[n]=u[n]∧t[n+1]

　　=v[1]∧…∧t[n+m]=v[m])}

其中，t^(n+m)表示t有目数(n+m)。