有效利率的计量

5.4.2　有效利率的计量

按照价值均衡理论，借贷项目的有效利率实际上是借贷项目现金流入量和流出量的现值均衡的调节器。因此，计量有效利率只要分析借贷项目的现金流量分布情况，求得使其现金流量净现值等于零的贴现率。

现实中设定利率与有效利率产生差异的原因是多种多样的，其中主要是还本方式和付息方式。除此之外，借款合同中某些条款的不同规定也会对有效利率产生影响。我们从经济生活中归纳出下列几种典型情形，来计量有效利率，并作相应的分析。

（1）到期一次还本付息的情形

如果长期借款合同规定到期一次付息，并且按单利计算利息，那么由于货币时间价值的作用，借款的有效利率会低于其设定利率。我们举例说明。

【例5-2】某公司拟向工商银行取得一笔3年期的借款600万元，借款合同中规定的年利率为9%，银行规定的还款方式为：到期一次还本付息，并按单利计息。

显然，银行规定这样的还本付息方式是对借款企业的一种优惠。我们来计算该方案的有效利率（设为x），解下列方程：

600（1＋x）³＝600×（1＋9%×3）　　　　　　　　　（5-8）

解得x≈8.293%

上述计算结果表明，三年后一次付27%的利息与每年付8.293%的利息是等价的。有效利率8.29%比设定利率9%低0.71个百分点，幅度接近8%。注意本例中的借款期限只有3年，利率也不见得很高，有效利率与设定利率的差异已经比较明显了；如果借款的期限相当长，到期一次还本付息的条款会产生多大的影响呢？

算一算期限为30年的借款，假如上述借款的期限不是3年而是30年。结果会怎样呢？只要将方程（5-8）中的“3”改为“30”，很快就可以计算出有效利率约为4.46%（计算过程从略），不足设定利率的一半。可见“到期一次还本付息（单利计息）”的威力还真不小，它让银行的收益一下子少了一半，当然也让借款人赚了不少便宜。显然，当借款期限很长时，这种到期一次还本付息借款的有效利率将趋于零。当然这只是个假设，因为现实中期限为30年的借款并不多见；30年期限的借款又是到期一次还本付息的就更罕见了。

（2）一年内多次付息的情形

与第一种情况相反，如果一年内多次付息，同样由于时间价值的作用，借款的有效利率会高于其设定利率。假设上例中借款的还本付息方式为：按季支付2.25%（9%/4）的利息，到期一次还本。显然，与第一种情况相比，这种方式对借款人提出了较为苛刻的条件。我们同样可以计算其有效利率。解下列方程：

600（1＋x）³＝600×（1＋2.25%）¹²　　　　　　　　　（5-9）

或者

600（1＋x）＝600×（1＋2.25%）⁴　　　　　　　　　（5-10）

上述前一个方程是按借款的整个期限来建立的，而后一个方程是按一年设立的。因为既然是按季付息，按3年计算和按1年计算有效利率（年利率）的结果是相同的。

解式（5-9）或式（5-10），得

x≈9.31%

上述计算结果表明，每季度付2.25%的利息，不等同于每年付9%，而是相对于每年付9.31%的利息。

假如你是银行的经理，你肯定会考虑这样一个问题：借款支付利息的间隔时间越短，有效利率越高，对银行越有利；如果规定借款按月付息，有效利率一定还会提高。要是债务人愿意，你一定会尽量说服借款人支付利息的时间间隔尽可能短。但是，你首先必须弄清楚：利息支付时间间隔的缩短对有效利率的提高是否敏感？

假如银行对上述借款要求按月支付利息（月利率为0.75%），借款人也愿意接受，这时有效利率约为9.38%（计算结果略），比按季付息的有效利率9.31%提高得并不明显。

推广到一般的情形，如果借款在一年内付n次利息，则可以得到下列关于有效利率x的方程式：

算一算一种实际不可能发生的情形：借款在一年内付无穷次利息，叫做连续复利，看看其有效利率是否变为无穷大？

显然不会。学过高等数学的人立即能看出：式（5-11）中n趋向于无穷大时，等式的左边是e^0.09，即有效利率为：

x＝e^0.09－1≈9.42%

可见，即使连续复利，其有效利率也不过9.42%，比设定利率高不了多少。所以刚才那个银行经理不会打算在借款合同中将付息间隔时间定得太短，以免既不能明显提高贷款的有效利率，又可能被债务人指责为“付息条件过于苛刻”。

（3）预扣利息的情形

在资金比较紧张的状况下，民间的某些借贷业务会出现这样的契约条款：债务人同意在借款时将利息预先支付给债权人，这就是所谓的预扣利息。采用这种方法，借款企业可使用的贷款额只有本金减去利息后的差额。因此，债务人实际可使用的资本数额会减少，其有效利率必然提高。

一般来说，实行利息预扣方式的通常是短期借款。因为如果借款期限较长，借款人实际得到的资金净额会因利息的预先支付而大打折扣，债务人不得不增加借款的额度。不仅如此，借款期限越长，预扣利息对有效利率的影响会越敏感，债务人的资本成本就上升得越明显。

我们不妨假设例5-2中的借款为预扣利息的情形，将3年的利息162万元（600×9%×3＝162）在借款时一次扣除，债务人实际获得的借款额为438万元。那么有效利率x应该是下列方程的解：

438（1＋x）³＝600

解得x≈11.06%

计算结果表明，由于利息预先在本金中扣除，该借款的有效利率较设定利率高出2.06个百分点，这个差异还是比较明显的。

（4）存在补偿性余额条款的情形

补偿性余额是银行要求借款企业在银行中保持按贷款数额一定百分比的最低存款余额。对于债务人来说，补偿性余额条款使其可使用的资金减少，导致有效利率提高。

假设银行对上述借款设立15%的补偿性余额，即要求借款企业在其存款账户上保持至少90万元的余额，企业实际可以使用的资金数额仅为510万元，而利息仍然按600万元的本金计算；该借款按年支付利息，到期一次还本。再假设银行对90万元的存款余额以活期利率（0.72%）支付利息给借款人（实际工作中活期利息通常按季度支付，本例中假设按年支付）。分析该借款的现金流量分布情况如下（不考虑所得税的影响）：

现金流入：借款时一次取得现金510万元；存款的利息收入（每年）0.648万元。

现金流出：每年支付贷款利息54万元；3年后还本600万元。

现金流量的净现值为

NPV＝510＋0.468×年金现值系数（K，3）－［54×年金现值系数（K，3）＋600×复利现值系数（K，3）］

用内插法找出使NPV＝0的K值，先取K＝15%，计算出其净现值为－6.74万元；再取K＝16%，净现值为5.38万元。最后根据内插法得到有效利率约为15.57%。

由此可见，由于存在15%的补偿性余额，借款的有效利率比设定利率高出6.57个百分点，补偿性余额对有效利率的影响可见一斑。