在课堂中发展学生的创新意识

四、在课堂中发展学生的创新意识

——催生和利用学生的新观念

学生的数学学习，从本质上看，就是学生在对已有经验（生活经验和学习经验）进行数学加工的基础上产生新的观念。这种新观念的产生是检验数学课堂是否具有生成性的主要特征之一。现代教学设计重视创设学习的系统环境，帮助学生经历知识的形成过程，在学生的过程经历中催生学生的新观念并利用学生的新观念解决问题，发展学生科学地研究问题的意识。让学生在课堂上产生问题，解决问题，最后带着新的问题离开课堂。数学课堂教学的这种核心价值的追求使得催生和利用学生的新观念成为数学课堂中教师的核心任务之一。

（一）学生产生新观念的心理机制

所谓新观念指的是学生在数学学习活动过程中对数学对象的结构、属性、关系进行富有独创性、新颖性的重新建构所得到的结果。它是创造性思维的初级阶段。环境启发、直观想象（包括线索想象与发散想象）和猜想、逻辑思维与逻辑判断是影响新观念形成的主要因素。学生产生新观念的心理加工模式可以用下面模式来描述：

图2－4－1

（二）催生学生新观念的基本策略

1．鼓励学生自主建构学习是产生新观念的基础

如果个体以主动建构的方式形成数学对象（概念、模型、公式、属性、关系等）的意义，那么在这种建构过程中，个体的大脑中已有信息联结网络会与新信息进行相互作用，如果感受到的新信息是在原来的联结网络中，则是对原有信息网络的一次强化；如果新信息与原有的知识经验反差较大，不能纳入原有的联结网络中，则会产生对原来联结网络的改造和扩充，这种情况下就比较容易产生新观念。而在学生自主建构学习活动中，与有效产生解释新情景、解决新问题、形成新技能的远迁移认知活动相匹配的教学活动是：设置认知冲突、与同伴分享观点、满足学生需要、研究对象的现实性。因此，在数学教学过程中，引导学生进行自主探究、合作交流能有效地催生学生的新观念。

2．创设合适的环境启发是催生学生新观念有效方法

学生产生新观念是在对选择性注意的关注焦点（数学对象）进行反复结构分析、比较、联想的基础上产生对象属性和关系的新的看法。这种新观念的产生是在外显的信息加工基础上进行的内隐联想，从心理活动的本质上看是内隐的。内隐学习是自动加工，这种加工的基本模式是：“靶线索——行动”联结。这种联结的编码从工作记忆（WM）中消失后就处于一种特殊的阀下激活状态——介于显意识与潜意识之间的准意识状态，这种状态遇到所呈现的靶线索时，将从靶出发沿着“靶——行动”的特殊路径自动激活扩散。学生研究的对象是“靶”，环境启发为学生产生新观念提供了认知“线索”，有利于激活“靶”与“行动”之间的新联结通道。学生学习过程中的环境启发，主要来自与教师设计的活动系统的启发。这种环境启发，主要包括问题情境的暗示性启发、数学对象的结构性启发、评价和反思过程中的反思性启发、与同伴及老师交流过程中的交互性启发。

（1）问题情境中的暗示性启发。教师创设从学生的原有经验和新观念之间有密切联系的问题情境，学生通过对问题的思考，达到接受暗示，通过逻辑判断，可以产生新的观念。例如在《扇形统计图》的教学过程中，教师设计了如下两个问题：

问题1：某城市的2000年—2005年的居民人均年收入分别是：2002年：7600元；2001年：8500元；2002年：9000元；2003年：10200元；2004年：12000元；2005年：12800元；如果想要用图形把该城市居民这几年的人均收入直观明了地表示出来，请问应用什么图形表示？（学生很容易想到用条形统计图或折线统计图表示）。

问题2：这个城市近几年的城市居民的人均收入是在不断地增长，但居民的贫富差距逐年拉大，2005年统计表明，人均年收入在15000元及以上的人群占全市总人口的15%，人均年收入在10000—15000元的人群占全市总人口的20%，而人均年收入4000元以下的人群占全市总人口的20%。如果要用图形直观明了地表示这组统计数据，请问应该用什么图形来表示？（学生也能想到应该用扇形统计图来表示）。

当学生解决了这两个问题后，教师请学生谈谈从解决这两个问题中得到的启示，从中催生学生产生“针对不同的数据类型和调查目的需要选择合适的统计图”这个新观念。

（2）数学对象的结构性启发。如学生通过结构相似性比较，通过联想产生对象和关系本质属性的相似性猜想，并通过逻辑的方法对得到的猜想进行判断，从而产生新观念。下面是轴对称性质应用的典型问题：

问题3：在铁路同侧有两个城市A、B，现准备在铁路沿线建造一个车站，如果要使建成的车站到A、B两个城市的距离之和最小，请问车站应建在何处？

图2－4－2

学生最初解决该问题时会遇到较大的困难，因为学生还没有利用轴对称变换把直线同侧的两个点变换到直线异侧的两个点的经验，即使老师按照这种思想讲给学生听，学生对怎样想到这种方法还是很茫然。如果我们借用物理学中的光线反射现象来提出问题，解决问题，那么学生就容易产生利用轴对称变换解决问题的新观念。

问题4：物理学研究表明，光线在同一媒介中沿着最短路线传递，如果A、B两人中的一个人直接用手电筒照射到另一个人，用什么数学知识能说明“光线沿着最短路线传递”这个结论是正确的？（学生容易想到“两点之间的连线中线段最短”这一数学知识）。

问题5：如果A、B两个人中的B用手电筒先照射到墙壁的镜子上的点C，通过镜子的反射再照到A，根据物理学的规律，光线所传递的路线B→C→A仍然是最短的路线，请问：你能用数学知识说明道理吗？

通过这种类比性启发，学生再解决问题3就变成自然的迁移。

（3）评价和反思过程的反思性启发。这种启发往往出现在当学生发现某种现象或规律时，开始学生对自己的发现过程颇为满意，不重视自己数学活动过程合理性的评价和数学思想方法的感受，通过教师的启发，学生往往会有新的发现。

课堂活动片段实录1：《三角形面积》复习课中的某一片段：

研究问题：如图，在Rt△ABC中，∠C是直角，AC＝3，BC＝4，点E在直角边AC上（不与A、C重合），若EF把△ABC的周长两等分，△AEF的面积用y表示，求y关于x的函数式，并写出自变量x的取值范围。

图2－4－3

教师在提出这个问题大约1分钟后，随机请一个学生说出自己的思考过程：

生1：因为AC＝3，AE＝x，所以CE＝3－x，BC＝4……（下面无法继续）。

师：你准备用什么方法求出△AEF的面积y？

生1：我想用y＝AE·AFsinA求面积。

师：你为什么这样想？

生1：因为AC、BC已知，可以求出∠A的三角形函数值，而AE是△AEF的边。

师：刚才这位同学想到求面积的一种方法，但由于求AF的困难而没有完成任务，谁能帮助他完成这个计划？

生2：设DF＝m，由m＋4＋3－x＝6得m＝x－1，从而AF＝5－（x－1）＝6－x，得到y＝x（6－x）·，即y＝－x²＋x，0＜x＜3。

师：很好，刚才这位同学完成了同学1的计划，那么还有其他意见吗？

此时生1举手了，他想到了利用AE＋AF＝6得到AF＝6－x，从而用更简便的方法求出了面积y。

师：刚才这两位同学用两种方法求出了△AEF的面积，请同学们参照这两位同学的思考，重新检查一下自己的解题过程。

当教师准备下面的教学活动时，学生3举手了，由于教师没有看到，学生3就自己站起来说，“老师，上面错了！”

师：哪里错了？

生3：如果x取0．5，那么6－x＝5．5，这不对。

师：（恍然大悟），这位同学思考问题非常仔细，能发现隐藏的错误，值得我们学习，实际上斜边长只有5，所以AF＝5．5是不可能的。那么，请问，x的正确的取值范围是什么？

生3：（想了2分钟左右）1＜x＜3。

在这一活动片段中，当第一位学生解决问题没有完成时，教师没有简单地到此为止，而是询问和理解学生1的解决问题的计划，在肯定学生的计划基础上请其他同学帮助他完成计划，然后学生1在同学方法的启发下产生了解决问题的新方法，他是在认真审视同伴的解决问题的过程和反思自己起初思考后，换一种角度思考产生的新观念。更可贵的是同学3在评价解决问题过程中发现了教师没有发现的隐藏的错误（实际上复习用书错了），表现出在解决问题中的评价和批判意识。

图2－4－4

（4）课堂交互启发。在数学课堂活动中，当部分学生用某种方法完成课堂中的认知操作、形成知识经验后，通过同伴之间的相互交流启发，可能产生更多新观念。这就是信息的共享增殖现象，也是数学新课程强调学习中相互合作与交流的主要原因之一。如在扇形统计图的课堂教学中，教师提出了如下的问题：“比较两个扇形统计图，为本专卖店提出合理化的建议”。课堂实施中，学生出现了各种各样的答案，如“本店的玩具销售很好，应多进玩具进行销售”、“进行相互合作，停止销售日用品，多销售玩具”等。而有一位同学在交流中得到启发，从另一角度提出了自己的建议：“加强本店日用品的市场开发力度，因为它有潜在的提升空间”。

3．引导学生进行线索联想、鼓励自由联想和猜想是催生学生新观念的关键

数学新观念的产生，有赖于对问题的数学描述、对数学问题的结构综合分析与重组。其中结构重组是关键的环节，数学对象的结构重组需要想象力和发散性思考问题习惯的支撑。

（1）尽可能从不同侧面、用不同方法描述问题，利用这种多样化的数学描述引发数学线索联想，催生数学新观念。例如：在选择合适的统计量分析数据中，出现提出如下问题：为了从A、B两位运动员中选一人参加奥运会射击比赛，两位运动员要进行选拔赛，两位射击运动员在5次选拔赛中的平均成绩如下表：

你认为应该选哪位运动员？

在解决这个问题中，学生可以选择不同的统计量进行分析，从不同的侧面提出建议，如用平均数描述运动员的平均成绩；用方差描述运动员成绩的稳定性；从变化趋势分析运动员的发展潜力等。

（2）对数学对象的结构进行“整体——分拆——重组——变换重组——数学合理解释”的线索联想，催生学生的新观念。例如人教版实验教材八年级下19．1．2《平行四边形的判定》P98—99中的三角形中位线研究，教材是把三角形中位线性质当作应用平行四边形相关的判定和性质解决问题的样例来呈现的，如果仅仅这样组织学生的学习活动，那么就失去了让学生发现中位线性质的新观念产生过程；如果按照下面的方法组织学生进行自主探究和合作交流，就可以让学生经历新观念的产生过程：

问题情境1：用一张正三角形的纸片折出一个小金字塔模型（进行平面——空间的结构整体变换）。

A．学生动手实验操作：

图2－4－5

B．折痕有什么特征？——经过三角形两边中点。（由结构启发产生中位线的概念）

C．把折成的三棱锥重新展开铺平，你发现这张纸片上有哪些图形？从中能发现这些折痕有什么性质？（从中发现平行四边形，得到证明思路的启发）。

由此可以初步产生中位线的性质的结论，当学生初步说出“正三角形中位线与第三边平行且等于第三边一半”时引导学生用逻辑方法说明自己发现的结论的正确性，并进一步思考发现结论的推广：在一般三角形中是否也有类似的性质？

问题情境2：用一张任意三角形纸片能否折成一个三棱锥？

图2－4－6

让学生从实验操作过程再次发现在一般的三角形中，中位线仍然有这个性质，并引导学生进行逻辑证明。

在上述学生研究过程中，学生新观念的产生得益于对三角形进行折叠、展开和重组。

如果把三棱锥展开后得到的图形沿着折痕剪下，重新组合拼接，就会产生证明三角形中位线性质的新的方法。

图2－4－7

在这种“整体—分拆—重组”过程中，产生了证明三角形中位线性质的新思路，再通过合理解释（数学逻辑表达），就能促进新观念的合理化。如果把三角形中位线的基本结构合理联想到四边形的边和对角线的中点连线，则又可以有一些新发现。

3．在对数学结构进行线索联想的基础上，进行开放的、多样化的自由联想和猜想可以引起数学结构的远迁移重组，从而增加产生数学新观念的机会。

例如：“经过切点且垂直切线的直线经过切点”是一个基本定理，一般地，在数学课中，往往用它来进行画图和证明，如果能够把圆周上的许多经过切点且垂直与切线的直线组合，把直线与光线相联系，就可以产生聚焦的光束，如果再联想到单束光线不产生高温而聚焦光束产生高温，这就是医学上各种光疗（包括刀的）的原理。如果利用数学中的相似图形知识，则还可以在材料内部进行切割，这就是模具及零部件的内加工技术的基本原理。（这些技术现在都属于高新技术）。

图2－4－8

4．引导学生把逻辑推理融入直观想象和猜想过程

（1）数学联想和猜想得到的新观念需要数学推理说明其合理性。数学联想和猜想是直观思维的结果，直观思维具有形象性、内隐性，是个体在对研究对象进行结构分析和想象的基础上通过重组而产生的新模型，其合理性需要用逻辑的方法来进行检验。检验的基本方法有逻辑推理、假设检验和反例验证三种基本方法。例如：在用加减消元法解二元一次方程的教学中，教师不仅要关注学生发现这种解方程组的方法和对这种方法进行技能训练，更应重视用等式性质来解释加减消元法合理性的过程，这种新观念的合理性解释是用逻辑推理的心理操作来完成的。再如，当我们发现两个班级学生的数学成绩有差异，就会初步产生两个班级的学生成绩有系统差异的想法，而我们的这种想法是否合理，需要在有系统差异的假设下进行假设检验（差异的显著性检验）。而在探索三角形全等条件的过程中，学生产生“两边及其一边的对角对应相等两个三角形全等”的猜想时则用举反例的方法推翻这种错误的猜想。

（2）数学联想和猜想得到新观念是一个不断应用逻辑推理排除不合理的观念、修正得到的观念、形成和完善新观念的复杂过程，在形成新观念的过程中需要逻辑推理的心理操作来帮助形成和完善数学新观念。

（三）倾听和理解学生，从中发现学生的新观念，利用学生的新观念，提升数学课堂的教育价值

首先课堂倾听理解是发现和利用学生的新观念的有效方法。可惜的是，当学生在课堂上产生新观念后，教师自觉或不自觉地出现“叶公好龙”的心理现象，希望学生在课堂中出现新的观念，当学生新观念产生时，往往因为学生打破了教师原有的教学设计而草草收场，从而失去了提升数学课堂教学的教育价值的机会。

课堂活动片段实录2：《8．2消元（一）》（人教版新课程数学实验教材）。

在师生讨论了用代入消元法解二元一次方程组，从实际意义和数学本质上讨论了代入法的合理性，并完成基础练习后，教师提出了解下面解方程组的拓展研究问题：

当老师问学生这个问题怎样解决时，老师希望学生把x－y＝3转化为y＝x－3，再用代入法解决，但第一个回答问题的学生就产生了不同的想法：

把x－y＝3转化为x＝y－3，进一步转化为3x＝3y－9，代入方程（2）转化为一元一次方程解决问题。实际上，学生产生了这种非常规代入法，是教师在本课教学中充分尊重学生的自主探究的结果（因为在前面解方程组的活动中，消元的方法是学生自己归纳的，而且教师引导学生从实际意义和数学中的等式性质两个角度讨论了代入法的合理性）。当学生出现了这种解法时，教师还是暴露出把握教育机会，催生和利用学生的新观念的准备不足：教师没有让这个学生进一步解释自己解法，而是慌忙中用具体数代入检验x－y＝3与3x＝3y－9的等价性，而忘记了引导这个学生从等式性质角度分析其等价性，最终丧失了一次极好的催生和利用学生的观念进行整体与换元思想渗透的教育机会。

其次，仔细理解学生作业和作品也是发现学生新观念的有效途径。例如，人教版新课程数学实验教材中，在学生学习了三角形的稳定性后，安排有如下的学生作业：

要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少要钉上几根木条？五边形和六边形木架呢？

图2－4－9

参考答案是：四边形至少需要一根，五边形至少需要两根，六边形至少需要三根。

学生在解决这个问题时，出现了不同的答案：

（1）四边形至少需要一根，但在平行四边形中，这条木条钉的时候不能与任何一边平行；

（2）如果木条钉的位置恰当，六边形只要钉两根就可以了，如下图：

图2－4－10

虽然学生五边形钉木条设计方案是错误的，但在六边形设计方案中，如果在加钉的两根木条交叉处钉一枚钉，则这个六边形是稳定的，这是一种有价值的新观念！

如果能够从学生的这些作业中发现学生的数学新观念，保护和激励学生的创新意识，引导学生对多边形稳定性作进一步讨论，则会产生真正有教育价值的学生探究活动。