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积分计算中的常规方法(一)

时间:2023-02-13 理论教育 版权反馈
【摘要】:积分计算中的常规方法如第一、第二换元法,分部积分法,牛顿-莱布尼兹公式等等,相信读者都已相当熟悉了,在此不再赘述。本节我们主要介绍一些非常规但又很实用的方法。这些方法充分体现出数学思维的灵动美,有的反映出定积分计算特有的奥妙之处。间断点集的聚点唯一为0,故补充定义f=1,得知f在[0,1]上R-可积。故此类积分形式上是广义瑕积分,实质上仍是R-积分。

积分计算中的常规方法如第一、第二换元法,分部积分法,牛顿-莱布尼兹公式等等,相信读者都已相当熟悉了,在此不再赘述。本节我们主要介绍一些非常规但又很实用的方法。这些方法充分体现出数学思维的灵动美,有的反映出定积分计算特有的奥妙之处。希望读者朋友细加体会,领悟其中的奥妙进而熟练自如地应用。

一、分段技巧

例1 求alt

分析 关键是去掉绝对值,记积分为I。

解法一 当0≤a<b时,分部积分法,得

I=(a+1)e-a-(b+1)e-b

a<b<0时,分部积分法,得

I=(b-1)eb-(a-1)ea

a<0<b时,分部积分法,得

alt

解法二 先求不定积分∫xe-|x|dx,然后套用牛顿-莱布尼兹公式

alt

要求F(x)在x=0处可导,至少必须连续,F(0+)=F(0-),推出

c1=c2

所以 F(x)=-|x|e-|x|-e-|x|+c

最后得I=F(b)-F(a)=(|a|+1)e-|a|-(|b|+1)e-|b|

例2 计算alt

解 记f(x)=sgn[sin(lnx)],易知f(x)在x=0处无定义,在(0,1]上不连续点是e-kπ(k=0,1,2,…),任意补充一个f(0),由于f在[0,1]上的有界性及其不连续点集仅有一个聚点,故f在[0,1]上R-可积。

当x∈[e-(k+1)π,e-kπ]时,f(x)=(-1)k+1

alt

例3 求alt

解 分析alt

被积函数有界且仅有可数个间数点。

间断点集的聚点唯一为0,故补充定义f(0)=1,得知f在[0,1]上R-可积。故此类积分形式上是广义瑕积分,实质上仍是R-积分。

因此alt

思考:能否算出此级数的和?

分析 级数展开出来是alt

若换序,得出alt此级数和为ln2-1<0,但原条件收敛级数不能随意地换序。换一种方式处理如下:

alt

所以原积分=2ln2-1。

例4 计算alt

分析 凡属于alt一类积分,通法是令x=π-t。

解 记原积分为I,令x=π-t

alt

再令万能置换u=tant,但当alt时,变换失效,故必须分段考虑alt故得

alt

二、递推关系的应用

著名的积分alt

就是用递推关系式alt得出的。

在建立递推关系的过程中,分部积分法是关键技术手段。

例5 计算积分alt

解 由对称性,显然有alt

alt

alt

alt

例6 计算积分alt

解 alt

例7 计算狄利克雷积分alt

解法一 利用积化和差易得alt

alt

最后一项视n奇偶定夺。易算出Jn=π。

解法二 alt

解法三 因为alt

    所以 Jn=Jn-1=…=J0=π。

例8 计算alt

分析 当n是奇数时,此Jn相当于例7中的Jn除以2,即alt(n奇)。

关键是当n为偶数时,联想和差化积公式

sinnx-sin(n-2)x=2sinxcos(n-1)x

解 alt

故 alt

三、对称性原则

众所周知,若f(x)为[-a,a]上的奇函数时alt

     若f(x)为[-a,a]上的偶函数时alt

在本段我们将对上述公式加以推广,得到另外两个公式(1)和(2),并结合实例说明其应用。

1.对一般的[-a,a]上的可积函数,有

alt

例9 计算积分alt

解 alt

或令x=-t代换亦可得。

2.区间[0,a]上的对称性公式

alt

例10 求积分alt

解 alt

化归为求积分alt。利用分段技术

alt

alt

例11 计算积分alt

解法一 考虑含参变量积分alt

alt

alt

此种引入参变量的方法在求一类特别难求的积分如alt等时特别有效。但对本题而言显得大材小用,有点繁琐。

解法二 alt

alt故原积分等于alt

解法三 alt

注 将上述三种解法作一个对比是很有意思的,学数学需要一些豁然开朗的事情才会有趣,才能提高。

例12 计算积分alt

解 仅凭观察该积分的外形,就知常规手法一定不行,故用对称性原则一试。

引入alt

(请思考一下上式的几何含义是什么?事实是φ(x)关于点alt呈中心对称状)

alt

注 上述解法的本质就是拼图游戏,即将两块对称的复杂图形拼成了一个矩形。

习题4.1

1.求alt

2.假设f(x)满足f(x)=f(x-π)+sinx,且x∈[0,π]时,f(x)=x,计算alt

3.计算alt

4.计算积分alt(递推关系In=In-2);

     alt

5.记alt

  并且有alt

6.求以下各积分的值

alt

7.已知f(x)连续alt的值。

(1999年数学(四))

8.设f∈C3(R),证

alt

(北师大2004年)

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