首页 理论教育 振动原本非线性

振动原本非线性

时间:2022-02-13 理论教育 版权反馈
【摘要】:实际的摆却是非线性摆。这样写出的运动方程就是非线性的了。总起来说,我们所处的振动世界是一个非线性世界,把它简化为线性振动是由于人们不会或者不愿处理非线性问题的权宜之计,不得已而为之。然而大自然无情地是非线性的。现在我们就从原始的非线性振动开始,进行整体性研究,考虑最一般的情况,而且把所有的振动系统一律称为振子或非线性振子,因为在“来回往复”运动与非线性这两个主要特征上,各种系统都是一样,等价的。

振动原本非线性

什么是振动?简单地说,振动就是振荡,是一种来回往复的运动。它包括的范围很广,物体在某一平衡位置附近的往复运动是振动,这只是物体位置的变动;其实凡是描述系统状态的物理量在某一数值附近的来回变动,都叫振动。如单摆摆动、弹簧伸缩、电磁振荡、乐器弦线或鼓面的振动等。传统物理学中对振动有过定义,往往用“周期性运动”或“周期性变化过程”等术语。过去认为那是严格的、准确的、科学的,现在从混沌的角度看是不科学的、不全面的。原因是传统物理学把振动过分简单化了,把非周期的往复运动全给扔了,或有意无意地排除在视野之外了,只保留下周期性的。

我们先看单摆。摆是经典力学的象征,伽利略观察比萨大教堂吊灯的摆动,发现了周期与摆幅无关的单摆定率;惠更斯(C.Huygens,1629—1695年)利用摆的“等时性”发明了钟表;傅科(Foucault,1819—1868年)利用巴黎的诸神庙里20层楼高的摆演示了地球的自转。直到电子表风靡世界之前(其实,电子表内的振荡与摆无异),摆始终是计时装置的心脏,是规则性韵律的象征。然而这一切都是近似的,是以大大简化了的“线性摆”为前提的。实际的摆却是非线性摆。

图5-1 单摆

img75

在一根长度为L不会伸缩的轻线(或者杆)的下端,系一个质量为m又可看作质点的小球,上端固定(图5-1)。用摆线与垂直方向夹角θ描述摆球的角位移,摆img76,线速度是V=Limg77img78,线加动时的角速度是角加速度是速度是a=Limg79。,在摆角θ处摆球受到指向平衡位置的回复力,它是重力的分力mgsinθ,在空气中摆动还要受到阻力βV=βLimg80:根据牛顿定律写出摆的运动方程是

img81

这是一个非线性方程,无法精确求解,于是进行简化:忽略空气阻力,只讨论小振幅sinθ≈θ的情况,则方程(5.1)变成

img82

这就成了线性方程,有精确的解,也容易解出来,是θ=Acosωt(其中振幅A由初条件给定)。由此,可以算出摆的位移、速度和加速度,都是随着时间周期性变化的,周期就是T=img83=2πυ,称为圆频率,υ为频率。凡是用形如(5.2)式那样的方程描述的运动叫做简谐振动,其振动周期和频率由振动系统自身的性质(这里是摆长L和重力加速度g)决定,称为固有周期和固有频率。这些结论与伽利略的观察是一致的,人们很满意。中学这么讲,大学也这么讲,但很少有人提起大振幅会怎样的问题。

再看弹簧振动。胡克(R.Hooke,1635—1703)定律说弹簧的弹力(恢复力)与其伸缩长度成正比,即f=-kx,也是在小形变的情况下才成立的,这时连接于弹簧活动端的质量为m的质点,根据牛顿定律写出其振动方程是:

ma=-kx

或将加速度a写成img84,则有

img85

这和(5.2)式相同,所以也是简谐振动,有自己的固有频率和固有周期。而实际的弹簧恢复力的一般形式是:f=-kx-λx2-μx3-…这样写出的运动方程就是非线性的了。实际上弹簧振动也受到阻尼作用而且往往不能忽略。

电子振荡也是这样。由于欧姆(G.S.Ohm,1787—1854)定律所说的电流与电压成正比(即线性关系)也只是在小电流的情况下才成立,而且只对纯电阻电路,实际的振荡电路既非纯电阻,电流与电压也绝不是线性关系,所以电磁振荡也是非线性的,电路中的电容、电感和晶体管都是非线性元件。

总起来说,我们所处的振动世界是一个非线性世界,把它简化为线性振动是由于人们不会或者不愿处理非线性问题的权宜之计,不得已而为之。线性化之后的方程如此简单,如此容易处理,处理之后的结果又是如此和谐而有韵律,以至传统学者中绝大部分人,宁愿损害它们的物理真实而换取线性化。结果是以假乱真,其实是自欺欺人。它有时很成功,但往往自设了陷阱,成功将失败埋藏得如此之深,以致连坟墓都看不见,以为自然界原本就是这么简单。然而大自然无情地是非线性的。人们越来越认识到,必须正确对待和学会处理非线性。传统的解方程方法不灵,就应该寻求别的方法,也不能再随便地将非线性扔掉了。大物理学家费米(E.Fermi,1901—1954年)告诫:“《圣经》里并没有说一切自然定律都可以表示成线性的!”爱因斯坦(A.Einstein,1879—1955年)早就明示过:“由于物理学的基本方程都是非线性的,因此,所有的数学物理都必须从头研究。”

现在我们就从原始的非线性振动开始,进行整体性研究,考虑最一般的情况,而且把所有的振动系统一律称为振子或非线性振子,因为在“来回往复”运动与非线性这两个主要特征上,各种系统都是一样,等价的。

免责声明:以上内容源自网络,版权归原作者所有,如有侵犯您的原创版权请告知,我们将尽快删除相关内容。

我要反馈