发展了同余式组

发展了同余式组

早晨，东方现出了一片柔和的浅色和鱼肚白。祖冲之早早起来，舒展着身子。他望着黎明的玫瑰色彩，若有所思。天空种种奇妙的颜色，对他来说都已了如指掌。几十年来他已经与天结下了深厚的友谊。

“父亲！”祖冲之没有回头就知道是自己的儿子祖恒。祖恒看到父亲今日如此轻松，感到很奇怪。因为在他的印象中，父亲常常是伏案读书写字，再则便是观测。这些几乎是他生活的全部。看到父亲今日情绪很好，祖恒便见缝插针地问道：

“父亲，那天我在书房发现您在计算一种‘同余式组’。孩儿从未听说过呀？”

祖冲之看着儿子，心里有一种说不出的欣慰。他已预感到儿子对数学要比自己灵敏得多。由于历法改革离不开数学，他才在数学上下工夫，可总是觉得力不从心。昨夜他又研究了半宿，觉得浑身有些疲劳，才出来走走。听到儿子的问话，又勾起他的兴趣。于是，他便滔滔不绝地讲给儿子听：

“古代历法计算中，常常要设想一个‘上元’。上元就是要在远古时代找到这样的一个甲子年：这年的冬至节气正好是个甲子日半夜零时，朔旦也在这个时刻，这个甲子日所在的年度就叫做‘上元’，从上元到制订历法的那一年的全部年数叫做‘上元积年’。由制订历法时所在的年度去求上元积年（也就是求上元），就要解一组同余式，计算很复杂。何谓同余式组呢？首先说同余式，设a,b同余，用记号a≡b（mod p）表示，例如7与12同用5除，都余2，即它们是以5为模同余，7≡12（mod 5）。而同余式组则是通过一组同余式求出某一个数，例如在《孙子算经》中有这样一个问题：‘今有物不知其数。三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二，问何几何？’这个‘物数’需要满足三个同余式，设其为x，就是

x≡2（mod 3）

x≡3（mod 5）

x≡2（mod 7）

这是数学史上赫赫有名的‘中国剩余定理’。

求上元积年一般需要解两个同余式组成的同余组，设x为上元积年，a回归年日数，p为朔望月日数，r1为制历年冬至到本年甲子日零时的时间，r2为冬至到本年朔旦的时间，于是有

ax≡r1（mod 60）

ax≡r2（mod p）

其中60是从甲子日到甲子日的周期。”

“父亲，您这样把同余式组引进天文历法中，也算是一大发明吧？”

祖冲之笑着说：

“这可不算发明。我只是利用了同余组而已。我可以运用它来求上元积年，不但可以计算冬至、朔旦，还可以考察日、月、五大行星的位置哩。”

祖恒惊讶地说：

“父亲，我明白了！”

祖冲之望着儿子那天真无邪的样子，那白白净净的皮肤，不由得想起了妻子。当年，他妻子还是小姑娘时，常到祖家作客。他们是表亲，妻子总是亲切地叫他表哥。有一天，他们在果园玩耍，不知从何处窜出一条狗，向表妹奔来。她吓得面如土色，叫喊起来。祖冲之闻声赶到，打走了那条狗。表妹向他奔来，他抓住她的一只手。他突然感到一股温存的热流从头暖到脚。他觉得表妹比往日更加美丽，更加妩媚了。那么苗条，那么纯洁、恬静，他握着她那细嫩的小手不愿放开。这时，无意中他发现弯弯一角月牙，正在西天垂挂着，距离月尾不远处缀着几颗闪亮的小星星。

他突然发现了什么，不由自主地喊道：

“今日是阴历十六，怎么会是月牙呢？”

表妹被他这突如其来的喊声惊呆了，不知所措地问：

“什么十六呀月牙的！你在说些什么呀？”

祖冲之解释说：

“我是说今日是阴历十六，月亮本应是圆的，怎么成了月牙呢？”

他思忖片刻，惊喜地说：

“我知道了，肯定是月偏食！”

说着，拉着表妹的手说：

“走！我们回家吧，我有好办法让你看一样东西。”

……

“父亲，你在想什么呀？”

祖冲之拍了拍儿子的肩头说：

“我想起一件往事，那时我也像你这么大。”

说到这里，他摇摇头没有再说下去。但从他的表情上可以看出，他的心中是甜甜的。

祖冲之发明这个算法大概是在3世纪。他在他的《大明历》中就是通过解同余式组来求上元积年，而且复杂程度远远超过了前人。他对上元的选择，条件更加严格，除了上述冬至、朔旦时刻外，还把日、月、五大行星的位置同时加以考察，寻求它们“同出一元”的时间。那个时间日月同升，五大行星运行到一个方向，即所谓“珠联璧合之征”的时刻。祖冲之选择这样的一年为上元。在这些条件下去求上元积年x，需要解由11个同余式组成的同余式组。计算过程十分繁重，但是祖冲之却把上元积年x求出来了。这个事实说明祖冲之具有很高的数学水平和高超的计算能力。

同余式起源于历法计算，进一步证明天文历法研究是推动数学发展的一种动力。祖冲之虽非我国第一个研究同余式的人，但他发展了同余式组，对此做出了很大贡献。在外国，要到18世纪，欧拉（1707—1783）、高斯（1777—1855）等人才研究这类问题，比祖冲之晚1000多年。