我们在讨论身份这一主题时，又产生了另外一个问题。每个事物都会随着时间流逝而产生消耗。有时候，部分被取代了。摩托车和汽车换了新的离合器，房子换了新的屋顶，甚至人体中单个细胞也随着时间推移而被新的细胞所取代。这样的变化并不影响事物的身份。当我更换摩托车的离合器时，它还是原来的摩托车。现在，我们假设过了几年时间，我把“黑色霹雳”牌摩托车的每个部件都更换了。作为一个细心的人，我保留了原来的旧部件。当每个部件都被更换掉后，我把所有原来的部件都重新装好，重新制造出原来的那辆摩托车。但开始时它是“黑色霹雳”，更换一个部件并不影响它的身份：它还是同一辆摩托车。所以，每次更换一个部件后也是如此，这个机器仍然是“黑色霹雳”；直到最后，它还是——“黑色霹雳”。但是我们知道这是不正确的。车库里，“黑色霹雳”现在就立于它旁边。
这里还有一个例子表明了同样的问题。一个5岁的人（从生理上来讲）还是一个孩子。如果某人是一个孩子，那么一秒钟之后，他/她还是一个孩子。这样的话，再过一秒钟，他/她还是一个孩子，再过一秒钟，再过一秒钟……过了630，720，000秒钟后，他/她还是一个孩子。但是，那时他/她却已经25岁了！
图10一个摩托车手的困惑。
这样的论证被认为是由欧布里德创造使用的，这个欧布里德还创造了我们在第五章所说的骗子悖论。这些论证现在被称为连锁推理悖论。（这种论证的标准形式是：每次增加一粒沙子，永远也不能形成一个沙堆；“连锁推理”这个词来源于希腊单词soros，意思是“堆”。）这些是逻辑学中最让人恼火的一些悖论。它们之所以会产生是由于其所使用的谓语（“是黑色霹雳”，“是一个孩子”）在某种意义上是模糊的；换言之，它的适应性只允许非常小的变化：如果应用到一个事物上，那么事物中一个非常小的变化不会改变这个事实。实际上，我们在日常对话中所使用的这种谓语在这个意义上都是模糊的：“是红色的”、“是清醒的”、“是高兴的”、“是喝醉了的”——甚至“是死了的”（死亡需要时间）。因此，连锁推理之类的滑坡论证极有可能在我们的推理中普遍存在。
为了集中探讨连锁推理问题，我们详细地来看一下下面这个论证。假设杰克就是那个5岁的孩子。我们用a0来表示句子“零秒之后杰克是个孩子”，用a1来表示句子“一秒之后杰克是个孩子”。如n是任意一个数字，那么an则表示句子“n秒之后杰克是个孩子”。假设k是个非常大的数字，至少有630，720，000那么大。我们知道，an是正确的。（在零秒之后，杰克仍然是5岁。）对于每个数字n，我们进行以下条件推理：an →an+1。（如果杰克在任何时间是一个孩子，那么他在一秒钟之后仍然是孩子。）我们可以采用“假言推理”的推理顺序把所有这些前提联结起来：
最后得到了ak，我们知道ak不为真。什么地方出现了错误，而且似乎也没有多少回旋的余地。
那么，我们又有什么好说的呢？下面是一个解决方案，它有时被称作模糊逻辑。作为孩子的属性似乎逐渐地淡出，而作为（从生理上讲）成人的属性则似乎渐渐显现。人们很自然地会认为“杰克是个孩子”逐渐地由真变为假。那么，真实性是根据不同程度逐渐显现的。假设我们用1和0之间的数字来衡量这些程度，1表示完全为真，0则表示完全为假。于是，每一个情形都赋予每个句子这样一个数字。
那些包含否定和合取等算子的句子的情况又是怎样的呢？随着杰克长大，“杰克是个孩子”的真值就降低了。“杰克不是个孩子”的真值就逐渐增加。这表明，﹁a的真值就是1减去a的真值。假如我们把a的真值写作|a|，那么，我们便可得到：
|﹁a|=1-|a|
下表列出了某些样例的真值情况：
合取命题的真值又是怎样的呢？一个合取命题只能具有真值最低的合取项的真值。因此，人们很自然地认为，a&b的真值就是|a|和|b|中最小的那一个。
|a&b| = Min（|a|，|b|）
下表列出了某些样例的真值情况，a的真值列于左边一列，向下递减；b的真值列于表顶部那一行。相应的a&b的真值则列在纵横交汇处。比如说，我们要找到|a&b|的真值，而|a|= 0.25，|b| = 0.5，那么就找数字的纵横交汇处。结果用黑体标明了。
类似地，一个析取命题的真值就是析取项的最大（更大）真值，即：
|a V b| = Max（|a|，|b|）
请读者自己画出一张某些样例的真值表。请注意，根据上文的阐述，符号﹁，&和V仍然是真值函数符号。换言之，a&b的真值还是由命题a和b的真值决定的。只不过那些真值现在变成了0到1之间的数字，而不是原来的T和F。（不过，也许值得注意的是，如果我们把1看作T且把0看作F，那么真值只为1和0的情况就会与第二章中所谈到的真值函数情况一样，您自己可以核实一下。）
条件句的情况又是怎样的呢？我们在第七章已经看到，有很多合理的理由说明符号→不是一个真值函数，不过，我们在这里可把这些担心放到一边。如果它是一个真值函数，考虑到真值程度，它又会是哪一个函数呢？似乎也没有什么明显的答案。这里是一个（相当标准的）建议，它至少可以对结果进行正确的分类。
如果|a|≤|b|：|a →b| = 1
如果|b|＜|a|：|a →b| = 1-（|a|-|b|）
（符号＜表示“小于”，≤表示“小于或等于”。）因此，如果条件句的前件不像后件那么正确的话，那么该条件句完全为真。如果前件比后件更加正确，那么条件句的真值就小于最大值减去前件和后件的真值之差。下表列出了某些样例的真值情况。（a的真值列于左边这一列，向下递减；b的真值列于表顶部那一行。）
推理的效度又是怎样的呢？如果一个推理的结论在前提正确的每一个情形下都正确的话，那么它就是有效的。但是，现在的情况是，在某个情形下是正确的指的又是什么呢？指的是它足够正确。但是怎样才算足够正确？那就要根据语境而定。比如说，“是一辆新的自行车”是一个模糊的谓语。如果你去一个自行车经销商那儿，他告诉你某辆车是新的，你就会期望它是从未使用过的。换言之，你期望“这是一辆新的自行车”具有真值1。而另一方面，假设你去参加一个公路车赛，被要求选新的自行车。你会选那些不超过一年的自行车。换言之，你的可接受的新自行车标准就更为宽泛了。“这是一辆新的自行车”只需要，比如说0.9或更大一点的数值。
因此，我们假设存在由语境所确定的某个可接受的水平。这可能是0与1之间的某个数字——也许在极端情况下就是1本身。我们用符号ε来表示这个数字。这样，只要在每一个前提的真值都至少像ε一样大的情形下，一个推理的真值至少也像ε一样大，那么它在该情形下就是正确的。
那么，这对连锁推理悖论又有什么意义呢？假设我们有一组连锁推理。就像前文一样，我们用an表示句子“n秒之后杰克是个孩子”；但为了易于操作，我们假设杰克四秒后就长大了！那么，便可产生如下一张真值的记录表：
a0 →a1具有0.75的真值［=1-（1-0.75））］；a1 →a2的真值也是这么大；实际上，每一个条件句形式an →an+1的真值都是0.75。
这告诉我们，连锁推理悖论依赖的是可接受水平ε，它在这里是起作用的。假设语境要求有最高的可接受水平，即ε=1，在这种情况下，“假言推理”是有效的。因为，假设|a| = 1，且|a →b| = 1。由于|a →b| = 1，所以我们必然具备|a|≤|b|的条件。于是可推理得到|b|=1。因此，连锁推理的论证是有效的。但在这种情况下，条件句的每个前提的真值若为0.75则是不可接受的。
另一方面，如果我们把可接受水平设置为小于1，那么“假言推理”的结果就是无效的。为了阐述方便，我们假设ε=0.75。如我们前面所见，a1 和a1 →a2的真值都为0.75，但a2的真值却是0.5，小于0.75。
这样，不管你采取这两种方法中的哪一种，这个论证都是错误的。要么某个前提是不可接受的；要么前提是可接受的，但推理得到的结论却没有效度。为何我们这么容易就被连锁推理蒙骗呢？也许是因为我们混淆了完全正确和几乎正确。不能对此进行区分通常不会造成多大差异。但是，如果你一次又一次地进行推理后，它就会造成很大差异了。
这是对这个问题的一种分析。但是有了模糊性，什么也别想简单明了。说“杰克是个孩子”完全为真，但到了某个特定的时间点它又变成完全为假了，问题出在哪里呢？不过似乎也不存在这样的一个时间点。人们选择任何一点作为界限都是非常任意的，它至多是一个习惯性行为。但是，现在的情况是：在杰克成长的哪一个时间点上他百分之一百地不再是一个小孩了？换言之，在哪个时间点上“杰克是个小孩”的真值由1变成小于1了？像前面所说的那样，人们选择任何一点划界都是任意之举。（有时，这被称作高位数模糊性问题。）如果这是正确的，那么我们并没有真正解决模糊性的最基本问题，我们只不过是把它重新定位了一下而已。
本章要点
·真值是0到1之间的数字（包含0和1）。
·|﹁a| = 1-|a|
·|a V b| = Max（|a|，|b|）
·|a&b| = Min（|a|，|b|）
·如果|a|≤|b|，|a →b| = 1；如果|a|＞|b|，|a →b| = 1-（|a|-|b|）
·只要一个句子的真值至少与（语境所决定的）接受水平一样大，那么它在该情形下就为真。
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