轴上单色物点经单折射球面成像性质的分析

2.1.4　轴上单色物点经单折射球面成像性质的分析

在导出光路计算公式的基础上，可分析发出单色光的轴上物点经单折射球面的成像性质，即成像是否完善。

前面指出，轴上物点发出的同一U角的圆锥面上的所有光线经球面折射后交于一点。那么，不同U角的圆锥面上光线经球面折射后是否也交于一点呢?现举例说明如下。

［例2－2］　有一个折射球面，r=10，其两边介质折射率n=1.0，n＇=1.5163。今有L=－100之轴上单色物点A，分别发出U=－1°、－2°、－3°的三条光线，计算其各自的像方共轭光线与光轴交点的位置。

表2.1　双胶合镜组的实际光线光路计算

计算过程见表2.2，计算结果为

L=－100，U=－1°，有L＇=35.969；

　　　　U=－2°，L＇=34.591；　

　　　　U=－3°，L＇=32.228。　

表2.2　单折射球面不同孔径角的光路计算

由上述结果可以看出，轴上物点A发出的有限大小的单色同心光束（即宽光束），其不同U角值的圆锥面上的光线，经球面折射后，将有不同的L＇值，即并不相交于光轴上的同一点。图2.7即表示这一成像规律。此时，通常将折射光束最小截面处（或光能最集中的位置）的弥散圆视为物点A的像点A＇。

图2.7　单折射球面的成像性质

上述结论也可以从解析关系式的分析得到。若将式（2.1）～式（2.3）依次代入式（2.4），并以反三角函数形式表示各角度值，则得到：

上式表明，在一般情况下，轴上单色物点的像距L＇不仅与物距L和结构参量（r，n，n＇）有关；而且还与物点发出的光束孔径角U有关。在给定L与结构参量的条件下，则L＇值随U角的不同而不同，即物方单色同心光束，在像方对应的是非同心光束。这表明，轴上单色物点经球面折射后，得到的是不完善像，这种现象即是“球差”，是球面折射的本征性特性。

由式（2.12）可以看出，在一般情况下，L＇随U的变化规律是非线性函数的关系，且其具体规律随物点位置与结构条件而不同。

那么，在给定结构和物点位置的条件下，是否存在L＇与U角无关、即球面对轴上单色物点能成完善像的特殊情况呢?深入研究表明（详见像差理论）：对给定的单折射球面（r，n，n＇），存在三个特殊物点位置（物距L），其L＇与U无关，即能以宽光束成完善像。这三个特殊物点位置，可由式（2.12）中L＇，或式（2.4）中为常数得到。具体分析为：

（1）L=r，因而L＇=r，即物点、像点重合于球心C处。这对共轭点由得到。位于球心的物点发出的同心光束，其所有光线均沿法线方向无折射地通过球面，因而I=I＇= 0。显然，该物点发出的任意宽的光束均成完善像。

（2）L=L＇=0，即物点与像点重合于球面顶点O处成完善像，这对共轭点由得到。

（3）和。这对共轭点称为“齐明点”或“不晕点”，是由得到。

上述三种情况经常应用于光学设计中，其中（2）、（3）两种情况，在高倍显微物镜中，有重要实际应用。

还应指出，在（1）和（2）两种情况中，由于L＇是与折射率无关的常数，因此位于这两个位置的物点，即使发出的是非单色光，也能成完善像。

此外，单折射球面对轴上单色物点的成像，除了上述三个特殊位置能成完善像外，在其它位置上当满足近轴光线条件时，也能成完善像。以下即转入对近轴的光路计算与近轴的物像关系进行具体分析。