事件间的关系及运算

事件是一个集合，因而事件间的关系与事件的运算可以用集合之间的关系与集合的运算来处理．

设Ω是试验Ε的样本空间，A，B，C，A1，A2，…都是事件，即Ω的子集．

1．事件的包含

若事件A发生必有事件B发生，则称事件A包含于事件B，或事件B包含事件A，记为A⊂B，或B⊃A．

A⊂B的一个等价说法是，若事件B不发生，则事件A必然不会发生．

对于任一事件A，有

（1）A⊂A；（2）∅⊂A⊂Ω；（3）若A⊂B，B⊂C，则A⊂C．

若A⊂B，且B⊂A，则称A与B相等，记为A＝B．

2．事件的并（和）

表示“事件A与B中至少有一个发生”的事件，称为事件A与事件B的并（和），记为A∪B．对于任一事件A和B，有

（1）A∪A＝A；（2）A⊂A∪B，B⊂A∪B；

（3）若A⊂B，则A∪B＝B；（4）A∪Ω＝Ω，A∪∅＝A．

事件之间的和运算可以推广到有限个和可列无穷多个事件的情形．

表示“A1，A2，…，An中至少有一个事件发生”这一事件．

表示“A1，A2，…，An，…中至少有一个事件发生”这一事件．

3．互不相容事件（互斥事件）

表示“事件A与B不能同时发生”的事件，称事件A与B为互不相容，或互斥，记为AB＝∅．

显然有：（1）基本事件是两两互不相容的；（2）∅与任意事件是互不相容的．

以后把互斥的事件A与B的并，记为A＋B．

若n个事件A1，A2，…，An中任意两个事件互斥，即AiAj＝∅（1≤i＜j≤n），则称这n个事件互斥．以后把n个互斥的事件A1，A2，…，An的并记作A1＋A2＋…＋An．

4．事件的交（积）

表示“事件A与B同时发生”的事件，称为事件A与事件B的交（积），记为A∩B （AB）．对于任一事件A和B，有

（1）A∩B⊂A，A∩B⊂B；

（2）若A⊂B，则A∩B＝A，特别地AΩ＝A；

（3）若A与B互斥，则AB＝∅，特别地∅A＝∅．

事件之间的积运算也可以推广到有限个和可列无穷多个事件的情形．

表示“A1，A2，…，Ann个事件同时发生”这一事件．

表示“A1，A2，…，An，…可数无穷多个事件同时发生”这一事件．

5．事件的差

表示“事件A发生而事件B不发生”的事件，称为事件A与事件B的差，记为A－B．

显然有：（1）若A⊂B，则A－B＝∅；

（2）若A与B互斥，则A－B＝A，B－A＝B；

（3）A－B＝A－AB（证明：利用A－B⊂A－AB且A－AB⊂A－B）；

（4）A－（B－C）≠A－B＋C（左边为A的子事件，而右边不是）．

6．事件的逆（对立事件）

当AB＝∅且A∪B＝Ω，则称事件A与B互为逆事件（对立事件）．A的对立事件记为是由所有不属于A的样本点组成的事件，它表示“A不发生”这样一个事件．显然有：

（1）A∪＝∅；

（2）＝∅，A＋＝Ω；

（3）A－B＝A ，（证明：A－B＝A－AB＝A（Ω－B）＝A ）．

互逆事件与互斥事件的区别：

互逆必定互斥，互斥不一定互逆；互逆只在样本空间只有两个事件时存在，互斥还可在样本空间有多个事件时存在．例如，在抛硬币的试验中，设A＝｛出现正面｝，B＝｛出现反面｝，则A与B互斥且A与B互为对立事件；而在掷骰子的试验中，设A＝｛出现1点｝， B＝｛出现2点｝，则A与B互斥，但A与B不是对立事件．

若用平面上某个矩形区域表示样本空间Ω，矩形区域内的点表示样本点，则上述事件的关系及运算可以用集合图形直观地表示出来，见下图1－1所示．

图1－1