塔珀自我指涉公式

你相信吗，一个不等式的图像里竟然写着这个不等式本身？2001年，在介绍一种全新的方程图像绘制算法时，塔珀（Jeff Tupper）构造了这样一个有趣的不等式：其中，lLxl」表示向下取整，即不超过x的最大整数；mod（x，y）则表示x除以y的余数。神奇的是，如果把满足不等式的点描绘在平面直角坐标系上，那么对于某个特殊的数n，图像在0≤x≤106、n≤y≤n﹢17 的范围内将会是图1 所示这个模样。

图1

这个n的值是：

4858450636189713423582095962494202044581400587983244549483093085061934704708809928450644769865524364849997247024915119110411605739177407856919754326571855442057210445735883681829823754139634338225199452191651284348332905131193199953502413758765239264874613394906870130562295813219481113685339535565290850023875092856892694555974281546386510730049106723058933586052544096664351265349363643957125565695936815184334857605266940161251266951421550539554519153785457525756590740540157929001765967965480064427829131488548259914721248506352686630476300[12]

觉得这个很神奇吧？你也许会想，天哪，这个是怎么构造出来的啊！其实这一点都不神奇。塔珀自我指涉公式仿佛是数学里的魔术，当看穿了里面的把戏之后，你便能轻易构造出无数个这样的式子来，塔珀自我指涉公式也就没什么意思了。继续读下面的内容之前，大家不妨先思考一下。你能看出其中的奥秘吗？

在这个式子里，变量x和y出现的每个地方都加上了取整符号，因此整个图像都是一格一格的。于是，我们只需要考察的整数解，把这些解描绘在平面直角坐标系上，再扩展成一幅像素画即可。另外，一个数乘以 2的负k次方相当于对应的二进制数小数点左移k位（正如一个数乘以 10的负k次方相当于这个十进制数的小数点左移k位），那么实质上就是N的二进制数右起第k位上的数字（正如可以提取出十进制数N右起第k位上的数字）。当x＝0，1，2，3，…并且y=17N，17N+1，17N+2，…，17N+16时，指数-17x-mod（y，17）恰好对应 0，-1，-2，…，-17，-18，-19，…，-34，-35，-36，…，于是位于y＝17N和y＝17（N﹢1）之间的图像的每个像素和N的二进制中的每一位数字一一对应。

随着N值的增加，图形的像素会一点一点地变化。当纵坐标足够大时，必然会出现一段高度为17的图像，图像的样子和不等式本身的样子完全相同。

当然，我们也可以把塔珀自我指涉公式中的 17改成任何你想要的数。图 2给出了的图像，可以看到，随着纵坐标的增加，图像依次枚举了所有高度为3的黑白像素画。

因而，你可以在塔珀自我指涉公式中“找到”任何你想要的图像，只需要适当选取图像高度，把图像编码为二进制数，并转换为十进制数即可。你甚至可以告诉你的恋人，说你发现了一个函数，函数在某个位置的图像正好是“某某某我爱你”的字样！

图2