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银行效率的测度函数与估计方法

时间:2022-11-24 理论教育 版权反馈
【摘要】:超越对数成本函数表示在既定技术条件下厂商成本和产量之间的数量关系。本文在“引言”部分对银行效率测度方法做了较为全面的介绍,银行效率的测度方法包括财务指标分析法和前沿分析法两大类,其中前沿分析方法又可分为参数法和非参数法。

第三节 银行效率的测度函数与估计方法

一、银行效率的测度函数

(一)柯布·道格拉斯(Cobb-Douglas)函数

1928年美国数学家CharlesCobb和经济学家PaulDauglas提出的以下生产函数:Y=AKαLβ,其中K为投入的资本额,L为投入的劳动量。

根据要素产出弹性的定义,容易推出资本的产出弹性为α,劳动的产出弹性为β。由产出弹性的经济意义,有:0≤α≤1,0≤β≤1。

在最初的生产函数中,假定参数满足α+β=1,即生产函数满足一阶齐次性,也就是假定研究对象满足规模报酬不变。1937年,Durand提出了C-D生产函数的改进型,取消了α+β=1的假定,允许要素的产出弹性之和大于1或小于1,即承认研究对象可以是规模报酬递增的,也可以是规模报酬递减的。

后来,学者们将其应用到银行效率研究领域,Benston(1965,1972)、Bell和Murphy(1968)应用如下形式的对数线性CD成本函数来研究银行业的效率:

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式中:C为总成本,Q为产出,W为投入,i=1,2,…,I,I为银行的家数,εit为误差项。

当考虑银行业的技术进步等时间趋势时,上述函数演化为:

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式中t=1,2,…,T,T为观测期,γ为待估计的参数,用以衡量技术随时间进步的速度。

当该函数被用于研究银行的X-效率时,误差项εit为复合误差项,即εit=Uit+Vit,其中Uit为X无效率项,服从半正态分布或其他分布,Vit为随机误差项。

当从利润的角度研究银行效率时,(2.1)(2.2)式变形为:

lnπit=α+αilnQitilnwitit

lnπit=α+αilnQitilnwit+γt+εit

其中εit=Uit-Vit

(二)超越对数函数(Translog Function)

该函数首先由Christensen、Jorgenson和Lau(1973)提出,后来由Fuss etal.(1978)等人加以发展。超越对数成本函数表示在既定技术条件下厂商成本和产量之间的数量关系。这一函数是由生产函数导出的,厂商的成本函数取决于其生产函数以及投入的生产要素的价格。对一个具体的厂商来说,给定了产出水平Q= f(X1,X2,…,Xn),要求总成本C(即各投入要素的价格P1,P2,…,Pn与数量X1,X2,…,Xn的乘积之和)达到最小值。此时的生产问题可以描述为:

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这是一个生产约束下的成本最小化问题,其均衡条件为任一投入要素的边际产量与投入要素的实际价格及产品价格的比率相等,用公式表示为:img17,其中P为产品价格。在此条件下,可以得出总成本函数形式:

c= f(P1,P2,…,Pn,Q)

其中P=(P1,P2,…,Pn)分别为投入要素价格向量,Q为产出向量。在该函数右边添上乘性随机误差项得:c= f(P,Q)exp(v-u),对其两边取自然对数得:ln C= ln f(P,Q)+ v-u。假设存在不变规模报酬,Greene(2000)证明Cm= Qc(p),c(p)为单位或平均成本函数。通过在lnp= 0点附近将lnc(p)做二阶泰勒展开得超越对数函数:

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其中αkjjk,δkj=δjk,ρkjjk,由成本函数的性质2,知C(y,w,t)对投入价格一定是线性齐次的。当且仅当下面n+ 3个对参数的线性约束成立,这个性质才会被超越对数成本函数满足:由上述超越对数成本函数可得与此相关的经济效应:(1)规模收益:img20

(2)成本份额:根据谢泼德引理,就上式两边对第i个投入价格的对数求导数,可得下列份额方程:

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当考虑技术变化对银行效率的影响时,人们习惯于将函数(2.3)式修改为:

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同CD函数一样,超越对数函数式(2.3)式(2.4)被用于研究银行的X-效率时,误差项εit被假设为复合误差项,即εit= Uit+ Vit,其中Uit为X无效率项,服从半正态分布或其他分布,Vit为随机误差项。

(三)傅立叶弹性成本函数(Fourier Function,简写FF)

傅立叶弹性成本函数是Translog函数的改进形式,它可在全局范围内近似任何函数,被用于解决一些变量的真实函数关系不清楚的情况下的问题。由于正弦函数和余弦函数的线性组合即傅立叶级数能够与任何的正常的多变量函数相近,因而傅立叶函数对没有确认的未知函数的真正形式提供了最相近的形式。其一般表达式如下:

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此处,TC为总成本;Qi为银行的第i项产出;Pi为银行的第i项投入的价格(即工资水平,利率,和有形资本的价格等)。T=时间段;Zi为对数值ln Qi的调整值,以致让它分布在[0,2π]之间;α,β,δ,γ,θ,ψ,ρ,a,t和b都是待估计的参数。

二、银行效率测度的估计方法

本文在“引言”部分对银行效率测度方法做了较为全面的介绍,银行效率的测度方法包括财务指标分析法和前沿分析法两大类,其中前沿分析方法又可分为参数法和非参数法。非参数分析法包括数据包络分析法和无界分析法(Free Disposal Hull),其中无界分析法是数据包络分析的特例。参数法可分为随机前沿方法(Stochastic Frontier Approach,SFA)、自由分布法(Distribution Free Approach,DFA)和厚边界函数法(Thick Frontier Analysis,TFA)三种。其中最成熟使用最多的是随机前沿方法。本小节在此着重介绍随机前沿方法。

(一)SFA方法的起源与发展

SFA起源于几乎是同时发表的两篇论文,一篇是Meeusen和Broeck(MB)(1977),一篇是Aigner,Lovell和Schmidt(ALS)(1977)。两篇文章研究的都是生产前沿(Production Frontier)问题,都花费了作者近三年的时间。他们的模型可表述为:

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其中y是产出数量;x为投入向量;β为衡量生产技术水平的待估计的参数;u和v是两个相互独立的误差项,第一个误差项v是被用于描述统计误差的白噪音,vi相互独立,都服从正态分布N(0,σ2V);第二个误差项u用于描述技术无效率,MB分析了u服从指数分布的情况,ALS分析了u服从半正态分布和指数分布两种情况。

自从随机前沿模型诞生以来,很多学者对其进行了广泛的研究和扩展,这些扩展可概括为以下四个方面:

一是将技术效率项u从组合误差项v-u中分离出来。MB和ALS(1977)的模型只能计算整个样本的平均的技术效率水平,不能用于评价样本中单个决策单位的效率水平。(在正态-半正态模型中采用E(-u)=E(v-u)=-(2/π)1/2σu计算平均的技术无效率,在正态-指数模型中采用E(-u)= E(v-u)=-σu计算平均的技术无效率)。例如,假如我们研究中国银行业的效率,得到一个包含四大国有银行、12家股份制银行和117家城市商业银行的样本,使用它们1977年的方法,则可以计算出整个样本平均的技术效率,例如E(u)= 0.8,我们可以说我国银行业的技术效率水平平均为0.8,但是我们没有办法比较国有银行和股份制银行的效率差异。这主要是因为我们没有能将技术效率项u从复合误差项v-u中分离出来。这大大限制了随机前沿方法的应用。直到1982年,Jondrow,Lovell,Materov和Schmidt(JLMS)才解决了这个问题--用条件分布[ui|vi-ui]的模或平均值来衡量生产单位i的技术效率水平,这大大提高了SFA模型的实用性。

二是扩展了技术效率项u的分布假设。MB和ALS(1977)的模型分别假设技术效率项服从半正态分布或指数分布,这两个分布都只有一个参数,属于较简单的分布。人们不禁要问,为什么选用这些分布?能不能用其他分布?为了解决这个问题,研究者们很快提出了更灵活的分布形式。Greene(1980a,b)提出了Gamma分布,Stevenson(1980)提出了Gamma分布和截断正态分布。Lee(1983)甚至提出了四个参数的Pearson分布。

三是扩展了随机前沿模型的应用领域。SFA最初应用于分析生产前沿问题,很快研究者们提出了成本前沿函数模型E= c(y,w;β)exp{v+ u},此处E为支出;[c(y,w;β)exp{v}]为成本前沿;u为技术无效率或配置无效率或X无效率项。

最后的一个扩展表现在使用的数据类型方面。SFA最初应用的数据是横截面数据,很快,研究者将它们推广到面板数据(Panel Data)。最初的面板数据模型假设效率不随时间变化,后来,Cornwell、Schmidt and Sickles(1990)和Battese and Coelli(1992)等放松了这一假设。

(二)SFA模型中参数的估计与效率的计算

随机前沿模型种类繁多。按前沿类型可将随机前沿模型分为成本前沿SFA模型和生产前沿SFA模型;按数据类型可将随机前沿模型分为横截面SFA模型和面板数据SFA模型;按u的分布函数形式可将随机前沿模型分为正态-半正态模型、正态-截断正态模型、正态-指数模型、正态-Gamma模型。其中正态-截断正态模型是正态-半正态模型的一般化形式,其计算原理与正态-半正态SFA模型相差不大;正态-Gamma SFA模型相对较复杂。本文在此详细介绍横截面数据的正态-半正态分布随机前沿模型和正态-指数随机前沿模型。

记函数模型为:ln yi0+∑nβn ln xni+ vi-ui。此处vi为随机误差项;ui为技术无效率项,vi与ui相互独立。

一、正态-半正态SFA模型的参数估计

人们一般采用最大似然技术估计SFA模型。其思路是根据u和v的概率密度函数得到ε= u-v的概率密度函数,再由ε的概率密度函数得到其对数似然函数,最大化对数似然函数即得参数估计值。

正态-半正态SFA模型假设ui~iid N+(0,σ2u),从而u的概率密度函数为:

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正态-半正态SFA模型假设vi~iid N(0,σ2V),从而v的概率密度函数为:

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由于u和v相互独立,u和v的联合概率密度函数为u的概率密度函数与v的概率密度函数的乘积:

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由于εi= vi-ui,u和ε的联合概率密度函数f(u,ε)为:

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对u和ε的联合概率密度函数f(u,ε)取u的积分,即得ε的边际密度函数:

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此处σ22u2v,λ=σuv,φ()和Φ()分别表示标准正态分布的概率密度函数和累积分布函数。

根据方程(2.6),可得到含N个样本点的样本的对数似然函数为:

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最大化方程(2.7)可求得各参数的估计值。当N趋于无穷大时,参数估计量是一致估计量。

估计出各参数后,下一步的工作就是计算技术效率值。由于E(ui)是一个汇总测度(Summary Measure),很难将单个的残差分解成ui和vi的边际值,一个可行的替代办法是求出给定εi条件下ui的条件分布。Jondrow,Lovell,Materov和Schmidt(JLMS)(1982)证明得出:如果ui~N+(0,σ2u),则给定ε下u的条件分布为:

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式中:μ=-εσ2u2,σ2c2uσ2v2

既然f(u|ε)服从截断半正态分布N+(μ,σ2C),从而将该分布的平均值或模作为ui的估计,即:

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虽然两者都是ui的点估计,但人们使用E(ui|ε)比M(uii)多。获得ui的点估计后,生产单元i的技术效率为:TEi= exp(-^ui)。此处^ui为E(ui|ε)或M(uii)。

Battese和Coelli(1988)提出了技术效率的另外一个点估计:

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由公式(2.8)与公式(2.9)和公式(2.10)计算得到的技术效率值存在一定的差别,研究者们更倾向于使用公式(2.10)。然而上述估计值都不是一致估计量,但它是目前能从截面数据中得到的最好估计量。

二、正态-指数SFA模型的参数估计与技术效率的计算

正态-指数SFA模型假设:随机误差项vi~iid N(0,σ2V);ui服从指数分布;ui、vi和Xi彼此独立。

根据上述假设,可得u和v的概率密度函数、u和v的联合概率密度函数以及u和ε(ε= v-u)联合概率密度函数分别为:

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对(u,ε)的联合概率密度函数积分可得ε的边际概率密度函数:

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根据ε的边际概率密度函数,可得含N个样本点的对数似然函数为:

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此处A=-~μ/σv,~μ=-ε-(σ2vu),与正态-半正态模型一样,最大化方程(2.11)得到参数的估计值,然后求出给定εi条件下ui的条件分布的模或平均值作为第i个生产单位的技术效率:

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