市场间关系的度量

第九章　场际期权交易

在这关于期权交易策略的最后一章中，我们将考察一系列交易，而这些交易据我所知，还没有在其他任何一本有关期权的书中被彻底地讨论过。这些策略考察不同标的市场之间的期权交易，被称之为场际交易策略。

期货市场中的场际交易策略

非常奇怪，期权的场际交易策略还没有被详细地考察过，而这些策略在其他的衍生市场中是非常重要的。在期货市场，不同市场间期货的价差策略已被应用了多年。不同市场间交易的基本原理是，在一个市场中买入而在另一个市场中卖出，与在一个市场中的完全没有保护的多头或空头头寸相比，风险可以大大减低。另外，相关市场的价格可以而且确实可以与其公平价格或长期关系发生偏离，价差交易者可以从对该差异的利用中获得盈利。例如，在固定收益市场，人们对价差策略进行了大量的研究，而且每天都在利用它。在芝加哥交易所，美国政府债券期货合同的全部组合之间的价差可以相互对冲。其中最知名的一种是10年期债券对20年期债券期货，被称为是NOB价差（notes over bonds）。在芝加哥商业交易所（国际货币市场的分支机构）的短期利率期货市场，90天期的美国政府短期债券期货与3个月期的欧洲美元存款期货之间的价差交易已应用多年，被昵称为TED价差。在那些产品范围更广的金融期货市场，不同的货币经常被交易，价差成为了交易活动的一个活力源泉。在伦敦国际金融期货交易所，不同的长期（通常10年）债券期货与短期存款以美元、英镑、马克、里拉、瑞士法郎与欧洲货币单位报价。伦敦国际金融期货与期权交易所（LIFFE）完成了大量的交易策略可能范围的研究，这些策略可以基于不同市场中发现的错误定价关系而建立，也可以基于不同市场间的价差关系将如何变化的看法而建立。^[1]

在商品交易市场，场际（其意是不同市场之间）价差交易非常活跃，有时甚至非常有意义。在纽约商业交易所，石油产品是做得最成功的产品，交易商通过买入原油期货并卖出汽油和民用燃料油期货（这是投入产品—原油—的最终产品）来建造“纸上精炼厂”。这些交易在市场之间的价格比关系预期发生变化时被应用。在芝加哥交易所，大豆组合体也经常被包含进场际价差交易中，交易商买入大豆期货，并卖出大豆粉和大豆油期货（这些是大豆原料的终端产品）。该价差被广泛称为“榨大豆”价差。这些价差非常有意义，因为交易商知道这些市场是相互关联的。当然，这并不能阻止交易商在没有显见的关系存在时建立场际价差。例如，在芝加哥国际货币市场（IMM）中，商品期货与金融期货之间的交易策略已存在多年了。一些交易商会买入英镑期货并同时卖出活牛期货（惠灵顿牛肉价差），或是买入日元期货并卖出黄金期货（金色东京价差）。正如人们想像的那样，这些价差听起来在许多方面比它们的名字有趣。在这些市场间实际上没有什么关系，本质上交易商仅仅是对两个完全不相关的市场持有某种态度，事实表明，场际价差策略是名义上的，而不是事实上的。

什么时候我们考虑过这样一个从坚实的经济基础中衍生出来的价差根本不存在？答案依赖于两个市场的关联程度如何，这可利用相关分析的统计技术来确定。

市场间关系的度量——相关系数

相关关系是两个市场一起变动的近似程度的一种统计计量。它是两种资产相互之间变动程度的一种标准化计量。不管什么时候我们提到期权市场中可变性这个词，首先反映到我们脑海中的就应该是波动率。这样的话，相关关系的计量一定与本书中大量讨论过的波动率有关系，事实确实如此。两项资产的相关关系可由下列方程给出：

正如读者所见，当我们将该方程与第四章的那个方程比较时，会发现二者确实有些相像。方程的上边部分看起来确实有些难以忘怀：我们对观测到的所有的回报水平与一定期间内的平均回报的差进行了求和（用Σ代表）。不同之处在于先前的方程中加了平方，以使所有的观测项成为正值。在这里，我们是要考察在每一时点上两项资产的回报偏离平均观测值程度的相互关系。说得简单一点就是，在第一项资产高于或是低于平均回报水平的情况下，第二项资产的回报是如何偏离其平均回报的？当资产与我们的预期观测值有变化时，它们是一起变化的吗？上面方程中上边部分的正式名称是协方差。某种程度上，它大体与第四章讨论过的方差相似，二者有需要解释的同样问题。

读者会记得方差（标准差或是波动率平方）就像是一个平方了的马克一样，在现实世界中没有什么实际意义。为了得到一个可以对市场（或回报）当前水平进行比较的数字，我们必须将方差标准化，做法非常简单，就是取它的平方根，得到标准差或是我们所说的波动率。同样道理，上述方程也得进行标准化以便可作解释，做法是以协方差除以两种资产的标准差的乘积。得出的结果，就是相关系数，它以一种标准化的处理方法告诉我们，这两个市场一起变化（或不一起变化）的方式。表9. 1列示了在伦敦国际金融期货与期权交易所（LIFFE）交易的长期政府金边债券（Gilt）与10年期德国政府债券（Bund）期货合同的协方差与相关系数的计算过程（通过利用ExcelTM）。

表9. 1　长期Gilt与10年期德国Bund期货合同的协方差与相关系数

在1994年1月4日～5月4日间，Gilt与Bund期货市场的相关系数是0. 658757，或说是65. 9%的正向关系，这意味着这些市场在65. 9%的时间内，趋于同向运动。然而，非常清楚，两个市场间的变动远非理想，这可以从图9. 1的两个市场的日回报的散点图中看出。

图9. 1　Gilt与Bund期货市场的日回报散点图

在图的中间是一个大的“+”，其中垂直线代表该时期内Gilt的平均回报，水平线代表Bund的平均回报。每一个点代表一个Gilt与Bund单个日回报的观测值。读者可以看到这个散点图形在图中的西南—东北象限中呈现一种束状，这表明当Gilt的回报低于期望值（平均水平）时，Bund的回报也倾向于低于期望值；当Gilt的回报高于平均水平时，Bund的回报也倾向于高于期望值，这与图形的东北象限的散点相联系。散点稀少的象限（西北象限与东南象限）意味着这两个市场的运动方向完全相反。相关系数65. 9%仅告诉我们这些市场在2/3的时间中一起变动，1/3的时间内它们的变动是不同的。当然，不同类别的资产其相关系数也不相同。图9. 2a、9. 2b和9. 2c分别列示了资产间相关系数为完全正相关（100%），完全不相关（0%）以及完全负相关（-100%）的样本散点图。

图9. 2a　相关系数=1. 0

图9. 2b　相关系数=0. 0

图9. 2c　相关系数= -1. 0

我们可以看到，一个正的100%的相关系数是一条穿过两种资产平均值的直线。这条线的走向是西南—东北。图9. 2b中的相关系数为0%，各点散布在所有区域，表明两个市场间没有固定的关系。相关系数为-100%的图形（图9. 2c）显示两个市场的走势方向完全相反。在这种情形下，两个市场间也是直线关系，不过直线的走向是东南—西北。这些市场的变动与其在镜子中的影子一样，完全相反。

实际上，没有几个市场的变动是完全一致或是直接相反的。表9. 2是LIFFE的固定收益期货市场间的相关矩阵。分析中利用1994年1月4日～1994年5月4日的数据估算相关系数。这种类型的矩阵非常有用，因为我们可以一目了然地看到市场间的相关关系。例如，在该期间市场间相关系数最高的是德国政府债券（Bund）期货与意大利政府债券（BTP）期货，其相关系数为0. 80515。其次是Bund期货与Gilt期货，其系数为0. 65875。而日本政府债券期货（JGB）与Gilts、BTPs或是Bunds之间几乎没有什么相关关系则不足为奇。事实上，当资产间的相关系数小于0. 15，就意味着这些市场间的变动（从实务目的出发）在该段时期内是独立的。

表9. 2　伦敦国际金融期货与期权交易所（LIFFE）债券期货的相关系数

为什么这些数字对场际价差交易者如此重要？答案是相关系数代表了资产间历史中存在的相互关系的程度，以及相互交易的市场间是否有某种逻辑基础。在前面的例子中，人们预期组成虚拟“纸上精炼厂”的市场（即原油、汽油与民用燃料油）高度相关，而虚拟“惠灵顿牛肉”（英镑与活牛）价差的市场没有相关关系。确实，这是说明这两种价差的例子。因此，相关关系的度量是确定场际价差策略是否有意义的关键要素。^[2]

这对期权而言有什么可做的呢？任何事情！首先，作为对期货交易或其他标的资产的替代，期权市场间存在着大量的交易机会。其次，很显然由于方程的上半部分与下半部分都含有与波动率相关的因素，相关关系与波动率有某些联系。很清楚，在方程的下半部分中，两个市场的波动率都进来了。而在方程的上半部分中，每个观测值减去平均回报再求和，是计算一系列数据的历史波动率的步骤之一。显然，相关关系的度量是表示资产价格的波动率的另一种简单方法。但在这种情形中，是相对于另一种资产的。既然如此，那为什么期权的场际交易策略没有得到广泛的应用呢？最可能的答案是，交易商仅仅估算单个市场的波动率就已经疲于应付了，不同市场间的波动率如何一起变动的额外复杂性也超过了多数交易商愿意考虑的程度。然而，这种情形近期已有了变化，一种全新的变异期权已被逐渐引进了，该类期权叫做“相关性依赖期权”。

本章我们将以标的资产的变动以及这些标的资产期权的波动率之间的关系为基础，探讨市场间的相关关系。这使得我们可利用期权作为工具，来从事市场间的方向性交易策略，进行波动率关系交易，对价差期权进行定价与交易。最后，我们将举些利用货币市场间的相关关系的例子，并考察一下单个的股票期权市场波动率以及包含这些股票的股票指数的波动率之间的关系。

最令人欣慰的是所有这些都可以利用我们前面讨论过的概念来做到，诸如第四章中的波动率估计，上边说过的相关系数方程以及第二章中描述的布莱克—斯科尔斯（Black - Scholes）模型的一个简化概略形式等。掌握了这三个基础概念，你会惊讶地发现，场际期权交易竟如此之简单。

场际期权方向性策略

考虑场际价差的一个原因是，越是经常地履行与期权相对的期货交易，交易商越是仅仅希望将注意力集中于市场间的相对价格关系，而不用去担心期权的波动率变化或时间衰减。但是那些持有这种观点的人，遗漏了期权提供给场际价差交易商的巨大机会。

考虑一下货币市场。^[3]让我们退回到几年前海湾战争时期。在那段时期内，由于不确定性引发了寻求安全性的资本的撤离，美元走势相当强劲。如果某交易商建立了一个美元对比如说是日元的多头头寸，交易商在期初做得可以说是非常漂亮。不寻常的结果是，在战争结束后，美元恢复了它的长期下跌趋势，实际上经历了一个加速贬值的过程。那些继续保持着多头美元头寸的人将遭受重大损失。而在战时与战后都成为当时的赢家的是英镑与瑞士法郎。英镑可能从英国经济独立于中东石油中获利，而瑞士法郎则由于多变的中东投资者在战争开始前就开始收回他们的基金（一般是美元）而转存瑞士，吸引了大量基金。在这样的不确定时期，一个交易商或许不愿意直接对美元的走势下赌注，他或她可能会决定进行一次较为安全的赌博，从事两种预期会对海湾战争有不同反映的欧洲货币间的货币关系交易。例如，某个交易商可能会考虑一个瑞士法郎与德国马克间的场际价差交易：买入瑞士法郎，卖出德国马克。

由于这可以在一个主要银行的店头交易市场（OTC）上完成，交易商可以利用标准兑换进行美元/瑞士法郎与美元/德国马克货币期权的交易，从而构造一个合成的头寸。如果投资者预期瑞士法郎要涨价，他们可以创建我们在第六章中讲过的三种同样的多头头寸的任何一种，即他们可以买入标的（期货），买入一份看涨期权，或是卖出一份看跌期权。在本例中，我们将买入一份处于轻度亏价状态的瑞士法郎看涨期权（用美元）。为了从表现相对较差的德国马克上实现盈利，交易商将卖出德国马克。假定要在空头标的（期货）、多头看跌期权与空头看涨期权之间进行选择，投资者将卖出一份处于轻度亏价状态的德国马克看涨期权（用美元）。因此，看上去好像是美元不参与其中，因为在同时做多与做空一份美元看跌期权。不幸的是，不是这么简单。

回到1985年，当我在哈里斯（Harris）银行与芝加哥信托公司工作时，我们的主要货币交易商希望建立一个英镑与德国马克之间的“合成的交叉期权”，他们的假定是美元暴露风险能够消除。由于两方面的原因，情形并非如此，首先，交易所〔比如芝加哥商品交易所（CME）〕的标准化合同大小的价值都是一个不同数量的美元数，因此头寸并没有完全被对冲平衡。其次，如果这两种货币的变动不是完全100%相关，那么当两种货币之间的最初价差关系发生变化时，标的期货合同美元的价值也要变动，暴露风险不再是平坦的了。为了表明这是如何发生的，让我们回到我们的瑞士法郎/德国马克价差的例子上来，并增加一些数字。

就在科威特被入侵之前的1990年8月1日，12月份德国马克期货交易价是0. 6285（1. 5911个欧洲单位），瑞士法郎12月份期货的交易价是0. 7357（1. 3268个欧洲单位）。瑞士法郎与德国马克之间的隐含交叉兑换率是1. 1706（0. 7357/ 0. 6285）德国马克兑1瑞士法郎。瑞士法郎对德国马克12月份期货合同的价差是0. 1072（0. 7357 -0. 6285）。假设某个交易商想就瑞士法郎相对德国马克增值赌一把，他要做的第一件事情是构造一个对美元不敏感的头寸。让我们假定：在8月1日，我们的交易商考虑以0. 0078的价格买入10月份0. 7500瑞士法郎看涨期权，并以0. 0061的价格卖出10月份0. 6400德国马克看涨期权。他的这个美元头寸将给他的每个合同带来什么价值？0. 7500瑞士法郎看涨期权标的是125000瑞士法郎，这使得该看涨期权的买入者有权利以0. 7500的价格买入125000瑞士法郎，并卖出93750美元（125000×0. 7500）。0. 6400德国马克看涨期权的标的也是125000德国马克，卖出该看涨期权就有义务以0. 6400的价格卖出125000德国马克，如果执行的话，为此就需要买入80000美元（125000×0. 6400）。这样，如果交易商买入一份瑞士法郎看涨期权并卖出一份德国马克看涨期权对冲它的话，他还会有一个13850美元的没有对冲掉的美元头寸。事实上，他将卖出比瑞士法郎看涨期权更多的德国马克看涨期权，否则他的头寸不能对冲平衡。为保持对美元的中性，正确的套期比率应是：

为了保持对美元的中性状态，交易商将买入100份0. 7500的10月份瑞士法郎看涨期权，并卖出117份0. 6400的10月份德国马克看涨期权。0. 7500的10月份瑞士法郎看涨期权的价格在8月1日是78个基点（或是0. 0078），0. 6400的10月份德国马克看涨期权的价格是61个基点（或是0. 0061）。因为两个合同都以美元为条款，每一个基点是1/100美分，所以0. 0001（点）对于125000就是12. 50美元。这样，对0. 7500瑞士法郎看涨期权，交易商需要支付97500美元（100× 12. 50美元×78），而在卖出117份0. 6400德国马克看涨期权时可以收回89212. 50美元（117×12. 50美元×61），净流出是8287. 50美元。另外，交易商还需要为交易支付保证金，以便为空头看涨期权头寸提供担保，这大约是每份空头看涨期权1890美元，或是总计221130美元。然而，这笔保证金可以通过在清算所存放短期债券来抵付，这对交易商来说并不是一笔真正的掏出口袋的成本。

在8月23日，这两份合同间的价差确实加大了，瑞士法郎12月份期货的价格上升到0. 7950，而德国马克12月份期货的价格上涨到0. 6469，现在价差是0. 1481，与8月1日的0. 1072的价差相比增加了409个基点。瑞士法郎/德国马克的新的交叉兑换比率现在成了1. 2289德国马克兑1瑞士法郎。0. 7500的10月份瑞士法郎看涨期权现在的交易价格是0. 0472点，0. 6400的10月份德国马克看涨期权的交易价格为0. 0152点。净结果是交易商在0. 7500瑞士法郎看涨期权上获利394个基点，在0. 6400德国马克看涨期权上发生了91个基点的损失。总的净效应是从该交易策略中实现了359412. 50美元的利润，这由100份多头瑞士法郎看涨期权实现的利润492500美元和117份德国马克看涨期权上发生的133087. 50美元的损失所组成。

如果交易商仅仅利用12月份期货合同而不是期权，他将在买入的瑞士法郎期货上实现593个基点的利润（在0. 7950价位上卖出，而在0. 7357的价位上买入）。对一份多头的12月份期货合同来说，这将实现7412. 50美元的利润。对德国马克头寸他将每份合同损失184个基点（在0. 6469上买入，而在初期卖出的价位是0. 6285）。对一份空头12月份期货来说，他将发生2300美元的损失。利用与期权中使用的一样的套期比率，该策略会产生一个总计为472150美元的利润（100份多头瑞士法郎期货实现的盈利741250美元减去117份空头德国马克期货的损失269100美元）。既然期货交易会带来更多的利润，那为什么还要用期权呢？

一个可能的理由是采用期货价差策略，交易商在两种合同中可能遭受的潜在损失是无限的，他必须依赖损失终止指令来控制他的风险；而对于期权策略，他在瑞士法郎“绑腿”中面对的至少有一种损失有限的情形。只有德国马克空头看涨期权可能遭受的损失是无限的，这需要加以避免。另外一个原因是该策略有一个不寻常的损益，这依赖于瑞士法郎对德国马克的相对绩效。在图9. 3的三维图形中，显示了期权策略与美元对瑞士法郎、美元对德国马克、瑞士法郎对德国马克的变化的关系。

如读者所见，如果美元/德国马克的价格在10月份期权到期时是0. 6400，美元/瑞士法郎的价格是0. 7500，则损失等于支付的权利金8287. 50美元。然而，如果德国马克不动或是贬值而瑞士法郎增值，该价差将会盈利。当然，如果是相反的情形发生了，则价差将发生损失。这可以从图9. 3中看出。所以，通过买入期权，价差将提供一个无限制的损益机会，这依赖于投资期间瑞士法郎与德国马克二者间的相对价格关系。

从该策略中实现的最重要的利润是，在期权到期前有机会从两个市场之间波动率的相对变化中赚取利润。即使在该期间内瑞士法郎/德国马克价差保持不变，仍然有机会从瑞士法郎的波动率相对于德国马克波动率的上升中实现盈利。下边，我们将讨论发生于相关市场间的波动率关系。

图9. 3　期权策略的损益

场际波动率关系

当对不同市场的相对价值进行比较时，人们通常会评估这些市场对套利有何表现。如果它们的差异对不同资产的定价是重要的，这项基础能力可使得价格回归正常，特别是在期权市场上。

当比较不同市场的波动率时，人们发现这样的无风险“套利”利润的机会几乎是不可能的，因为这些市场不是一样的。另外，以相关系数定义的不同市场间的相关程度，随着时间的推移也会发生变化。即使如此，通过对不同市场波动率相关关系的详细研究，获利机会仍然是存在的。场际波动率交易仅仅是一种交易策略的建立，该策略可以从相关市场的波动率差异超过其历史均衡关系，而交易商认为目前的差异关系将回归其长期平均状态的情形中实现盈利。

让我们再次返回到货币市场，考察一下套利机制是如何保持不同货币间的价值对等的，以及为什么这样的一种套利机制对货币期权而言是不可能获得的。考虑下面外汇交易现货市场中的兑换关系：

美元/德国马克　　　　　　　1. 6400

美元/日元　　　　　　　　　104. 00

德国马克/日元　　　　　　　63. 00

这些价格关系是正确的吗？如果不是的话，有没有套利的机会？图9. 4显示了套利的三角关系以及交易商为捕捉德国马克/日元兑换比率的定价错误机会而做出的行为。交易商在现货市场中支付164万德国马克，兑换到100万美元。随后他还将支付100万美元来换取10400万日元。最后，用他拥有的10400万日元来兑换165万德国马克。如此操作之后，交易商赚取了1万马克（或6098美元），他没有承担任何风险，因为在此过程中他从没有使用过自己的资金，他只是将别人的钱在另外两种货币之间转来转去，锁定了一个无风险的套利利润。

图9. 4　现币套利

很清楚，在货币市场，这些机会很少会存在，因为完成套利交易如此容易，将立刻实现套利利润。那么，在货币期权市场的情形又如何呢？

考虑下面外汇交易期权市场中的兑换关系：

美元/德国马克ATM*波动率 10%

美元/日元ATM波动率10%

德国马克/日元ATM波动率8%

*ATM代表平价（at-the-money）

其中是否有机会？乍一看好像是有。美元/德国马克与美元/日元的波动率正好相同都等于10%，而德国马克/日元的波动率仅为8%。交易商可能会采用我们在上边建议的应用于瑞士法郎与德国马克的类似策略。他买入一份波动率为10%的美元/德国马克看涨期权，买入一份波动率为10%的美元/日元看跌期权，同时卖出一份波动率为8%的德国马克/日元看涨期权。他这样做的逻辑是，买入的两份期权会对他的两份美元头寸的暴露风险进行套期保值，净的暴露风险将等于零，该策略在图9. 5中进行了概述。不幸的是，事情往往不是它们看上去如此简单。

图9. 5　场际波动率关系

为了评估该策略的绩效，仅仅通过看一个货币汇率的变化是不太可能的，我们必须同时看所有三个汇率的变化。这也要求应用一个三维图形来帮助我们认识该策略的损益情况，第一个图形见图9. 6。^[4]

图9. 6　期权策略的损益

在这幅图中，需要有点解释。垂直维度是期权的总体价值，在此称为“期权束”。下边的水平维度，一个轴表示美元/日元现货兑换比率，这里150反映了美元的强劲，115反映了美元的疲软（相比日元较为强劲）。另一条轴表示美元/德国马克现货兑换比率的范围。同样，如果汇率为1. 90，就意味着美元较为强劲，而为1. 55时则表明美元疲软。曲线的形状非常奇怪，看起来就像是一个骑墙组合。最大的盈利出现在美元对日元和德国马克同样强劲或疲软的时候。例如，当美元/日元汇率是150、美元/德国马克汇率为1. 90时，实现的利润是“8”。该利润也可以在美元对日元与德国马克疲软时实现，美元/日元汇率为115，同时美元/德国马克汇率为1. 55。这样，如果德国马克与日元的汇率相对于美元发生完全同样的变动，则交易会实现盈利。如果美元/日元的汇率停留在目前的现货市场的103水平上（这个例子不是取自1994年的数据，但却反映了20世纪90年代早期的状况），美元/德国马克汇率保持在1. 75，则持仓头寸不亏不赚。然而，如果日元与德国马克的汇率向相反方向运动，也就是说，日元与德国马克市场负相关，交易就会发生损失。这幅图假定所有期权的隐含波动率相同，只有现货市场的汇率发生变化。但是，假若隐含波动率发生了变动，该策略又会如何呢？

在图9. 7中，期权策略的波动率敏感性再次绘制于三维图形之中，垂直轴表示全部头寸的价值，我们也将其称为“期权束”。

水平轴都表示隐含波动率，一个是美元/日元期权的，一个是美元/德国马克期权的。在这种情形中，我们得不到一个骑墙组合的形状，但是却更像是一架飞机，表示如果美元/日元与美元/德国马克两个期权的隐含波动率都发生了下降，该策略将遭受重大损失。然而，如果两个期权的隐含波动率都上升了，该策略将实现盈利。本质上，我们是一起做多美元/日元和美元/德国马克市场波动率，同时“做多”市场间的相关性。如果在现货市场中汇率高度正相关，这意味着当美元价值发生变化时，两种货币将发生同样的变化，如图9. 6所示，我们将获利。从图9. 7中可以看出，我们也在做多两个隐含波动率。这样，从这些图形中非常容易就可看出，在单个的美元/德国马克与美元/日元期权之间，以及与德国马克/日元的交叉期权之间，都不存在“套利”关系。如果该策略可以“套利”，那么不管市场中发生什么，利润也将锁定。然而，就像这两个期货表明的那样，该策略的损益情况依赖于交叉期权中两种货币的相对变动，以及它们的波动率变化。

因此，交叉期权的估值问题和场际期权交易的评估问题是同一个问题。显然，当对场际期权交易策略进行评估时，分析工具一定不同于同样标的资产的期权策略估值问题所要求的常用工具。对于同样的标的资产，我们拥有可信赖的期权定价模型，如布莱克—斯科尔斯（Black - Scholes）定价模型可以使我们管理交易策略的绩效项目。非常清楚，这个简单的方法对建立在两个不同的标的资产上的期权并不适合，不是吗？我们需要的是一种全新的方法，要考虑到两种资产的共同运动，其变动相互影响。幸运的是，这种方法在布莱克—斯科尔斯（Black - Scholes）定价模型出现五年后就已经出现并得到了解决。

图9. 7　期权策略的波动率敏感性

场际期权关系的评估定价模型

就在布莱克（Black）和斯科尔斯（Scholes）发现了他们解决欧式看涨期权的定价问题的答案后不久，另一位学者比尔·玛格瑞伯（Bill Margrabe）希望利用相同的方法解决一个不同的问题。^[5]他的目的是发现一个模型，该模型可以对标的资产发生了变化的期权进行定价。在做了许多无用功之后，他发现了一个转换标的资产的欧式期权与美式期权的闭式解决方法。这就是：

以前，有读者看了这个模型说：“真是另外一个方程啊！”在此我要说明的是，这几乎等同于布莱克—斯科尔斯（Black - Scholes）定价模型。仅有的实质性区别是，敲定价格不再是固定不变的，并为X2所替代。X2是第二种资产的价格。同时由于波动率的加入使其变得稍微复杂了些。这个波动率的加入对于本模型以及评估场际期权交易策略的风险都是非常关键的要素。正因如此，我们现在将主要讨论这个新的波动率因素：

这个新的波动率因素是，标的资产变换了的期权总方差，是两种资产方差之和减去2倍的两种资产的协方差的函数。^[6]当然，在期权市场，我们的兴趣在于方差的平方根，也就是加入的波动率的标准差。为了确定标的资产变换期权的波动率，我们仅仅需要对整个方差函数开平方。但是考虑下列情形：如果第二种资产的方差等于0（没有风险），因此获得了一个无风险的回报率，我们把它加进玛格瑞伯（Margrabe）模型后，会得到什么？答案是：布莱克—斯科尔斯（Black - Scholes）定价模型。波动率仅依赖于第一种资产的方差，由于第二个与第三个因素在玛格瑞伯（Margrabe）模型的波动率中都已不包括了（你自己看，给σ2取0看结果是什么），另一种资产的价格X2减去了无风险利率（用变量E·e-rt来表示）后也成为固定值。因此，我们一直是有答案的，只是没看见而已！

标的资产变换期权的玛格瑞伯（Margrabe）模型的另一个优点是，欧式期权与美式期权的价格是相同的，证据可以从他的论文中找到，有兴趣的读者可以看看。

无论如何，让我们回到在玛格瑞伯（Margrabe）模型中加入波动率的重要性上来。虽然每个市场的波动率的含义非常清楚，但关于相关性是什么以及如何估算它则不一定清楚。所幸的是，相关性可以用与估算波动率的方法一样的方法来估算。事实上，如我们前边的相关系数方程所示，波动率（标准差）的加入对相关性的估算是非常关键的。但为使问题简单化，让我们还是考虑一下金融时报（FTSE）与标准普尔（S&P）指数的波动率之间的场际关系。图9. 8a、9. 8b、9. 8c显示了金融时报100指数（FTSE100）、标准普尔500（S&P500）指数的历史价格波动率，

图9. 8a　金融时报100指数（FTSE100）的历史价格波动率

图9. 8b　标准普尔500指数（S&P500）的历史价格波动率

以及1991年8月～1994年2月间，金融时报100指数和标准普尔500指数的相关性。

在这些图中，波动率与相关性是利用周数据在10周的滚动期基础上计算的。可以看出，不但波动率的形式不同，而且金融时报100指数（FTSE100）和标准普尔500的回报间的相关关系在期间内也是不稳定的。在图9. 8c中，两个市场回报间的相关关系在某个时点上几乎高达90%，而在另一时点上则几乎为0%。显然，价差不断变化，那些做场际波动率交易的投资者在做的实质上是相关关系的交易。单个波动率的变化以及相关关系如何影响场际价差关系？为了发现答案，我们必须返回到标的资产变换期权的玛格瑞伯（Margrabe）模型对波动率的估计中。

图9. 8c　FTSE100和S&P500的历史相关性

玛格瑞伯（Margrabe）方程加以修改可以反映平方根函数，σ=（σ2+

x1/X2x1 σx2

2-2·ρx1x2·σx1·σx2）1/2。作为结果的变换期权波动率（因此也是场际价差关系的波动率）在三个不同的相关程度上进行了比较。对金融时报100指数隐含波动率为20%，标准普尔500指数隐含波动率为15%的情形，场际关系的总体波动率仅仅依赖于相关性的影响。在第一种情形，如果相关系数为完全的负100%，那么该价差交易的风险就仅仅是这两个不同市场的波动率的总和。这是因为两个市场的变动完全相反，期权代表买入一种资产与卖出另一种资产的权利。如果它们以完全相反的方式变动，那么波动率效应是加和的。本质上说，这就好像是加起来的一个数。如果相关系数为0，那么合成的波动率将大于任何一个单个的市场波动率，但是要小于波动率之和。然而，如果金融时报100指数和标准普尔500指数回报之间的相关系数是100%（完全正相关），那么场际波动率价差的风险就仅仅是金融时报100指数和标准普尔500指数波动率之间的差。波动率的减少是由于买入金融时报100指数并卖出标准普尔500指数（假定他们的变动完全相同）的期权头寸是自套期的。留下的风险是由于金融时报100指数的变动相对于标准普尔500指数的变动更大些。对于场际期权价差关系来说，该方程的含义是：

（1）在第一种市场的波动率或是第二种市场的波动率上升的情况下，场际期权价差的波动率也将上升。

（2）如果两种资产的回报之间的相关性增加，场际期权价差的波动率将下降。

因此，从事场际期权价差的交易商同样也是在交易波动率，如果他预期单个市场的隐含波动率要上升或是市场间的相关性要下降，他就买入期权市场间价差中的隐含波动率。

隐含相关性的概念

当交易商从事相同标的资产的期权交易时，隐含波动率在该策略的时间价值的变化中是一个关键的因素。本书第七章主要为读者展示的就是如何从交易商从事交易的市场的隐含波动率的变化中获取利润。在价差关系的变化中的关键因素是一个类似的概念，即隐含相关性。

在许多市场中，例如外汇市场，拥有随其他资产的变化而变化的期权是可能的。例如，我们前面的美元/德国马克、美元/日元以及德国马克/日元期权的例子。读者可以回忆起，美元/德国马克与美元/日元两个期权都有一个10%的隐含波动率，而德国马克/日元期权的隐含波动率是8%。有了这些数字，确定隐含相关性就是可能的，这个隐含的相关性对于德国马克/日元的波动率是8%来说确实是存在的。这可以通过对玛格瑞伯（Margrabe）合成波动率方程加以修改而得到：

σ=（σ2+σ2-2·ρ·σ·σ）1/2

德国马克/日元美元/德国马克美元/日元德国马克/日元美元/德国马克美元/日元

将上述隐含波动率代入方程，得到：

8% =（0. 102+0. 102-2·ρ德国马克/日元·0. 10·0. 10）1/2

变换这个方程，求ρ德国马克/日元，我们会得到下面一个新的隐含相关性方程：

ρ= -［（σ2-σ2-σ2）/（2·σ·

德国马克/日元德国马克/日元美元/德国马克美元/日元美元/德国马克σ美元/日元）］

代入上面的数字，得到：

0. 68 = -（0. 082-0. 012-0. 012）/（2·0. 01·0. 01）

结果是0. 68，这是德国马克与日元之间的隐含相关系数，用百分比表示就是68%。这个数字的含义是什么？交易商怎样才能从中获利？

本质上，交易商是在他们认为市场间的实际相关关系与隐含在交叉期权波动率中的相关性有差异的时候，才利用场际价差策略。在大多数期权市场中，如股权或债券期权市场中，人们利用该技术评估相关市场间的交易策略，或是为变异期权定价，这些期权要么是一篮子证券回报的损益，要么是差异市场中表现绩效最好的资产。这些将在第十三章中详细讨论。然而，在货币期权市场中，该技术是在非标准化的交叉期权合同中所应用的交易策略中最主要的。

交叉货币期权定价中相关系数的应用

在银行对交叉货币期权定价时，最常见的问题是估算公平价格时对适宜波动率的估计。历史波动率经常是用于估计代入公式中的波动率的惟一的方法，历史波动率我们在第五章中进行了讨论。这样做充满了风险，特别是对于较短到期日的期权来说。读者可能会想起，利用历史波动率去估计的一个问题是，实际实现的波动率与此不同。对较短的估算期间所应用的波动率“锥”的变动性表明，较短到期期权的波动率的估算中存在着最大的偏差。一个替代的技术是利用其他的期权，从这些期权中估算隐含波动率，随后使用上述玛格瑞伯（Margrabe）合成波动率方程，就会估算出“交叉”隐含波动率。

例如，一家意大利大银行希望确定波动率，以便对意大利里拉对日元货币期权进行定价。这不是一个最具流动性的市场，不可能去直接确定一个可用于期权定价的隐含波动率，然而，得到一个美元/里拉期权与美元/日元期权的隐含波动率还是可能的。银行对美元/里拉与美元/日元之间的相关关系进行了一个历史分析，发现其关系相对稳定。下边是现时市场的基本状况：

美元/日元隐含波动率　　　　　　　　14%

美元/里拉隐含波动率　　　　　　　　15. 5%

里拉/日元历史相关系数　　　　　　　30%

交易商简单地将这些数据代入到玛格瑞伯（Margrabe）合成波动率方程中：

0. 17494 =（0. 142+0. 1552-2·0. 30·0. 14·0. 155）1/2

这意味着一个17. 494%的波动率，将会在运用标准期权定价模型对里拉/日元交叉期权进行定价的过程中使用，该定价可能会通过使用里拉/日元远期合同确切数量的一个DELTA套期策略而被放大。作为选择，银行可以使用玛格瑞伯（Margrabe）方程与方程中的两个DELTA［N（d1）与N（d2）］来确定美元/里拉与美元/日元期权的确切数量，需要持有（分别地）这些数量的期权来对头寸进行套期保值。还要说明，在该时期内交易商还必须小心地保持一个对美元中性的头寸。

虽然这非常有趣，但我们似乎迷失了方向，因为这一章是要讨论场际期权交易策略的。言归正传，下面我们将利用一个稍微复杂些的相关技术，来评估单个股票期权与包含这些股票的股票指数期权之间的波动率关系。

股票期权与股票指数期权的波动率交易

在股权市场，相关性的概念已被很好地建立起来并被经常引用。这个概念对于组合理论与资本资产定价模型（CAPM）来说是基础性的。当我们在第十一章中讨论期权的组合应用时，将对这些概念进行详细论述。在组合理论中，当一个特定的证券与组合的风险不同时，需要对相关性进行度量。不论何时，只要资产的回报与组合的回报的相关系数小于正的100%，就要这么做。在资本资产定价模型（CAPM）中，相关系数（与协方差）在确定一支股票与市场组合（单个的股票是该市场组合的一部分）的相对风险时是非常重要的因素。在多数市场中，“市场组合”的替代度量将是以资本化为权重的股票指数，像金融时报100指数或标准普尔500指数一样。我们要再次提到这个不可思议的词汇：风险。如果一个像资本资产定价模型一样的模型确实与股票和股票指数的相对风险有关系，那么，也应该和股票与股票指数两者的波动率有关系。用于评估这种关系的技术叫做R平方检验方法，读者很快将会看到，这与前面提到的相关性有密切的联系。

比较股票与股票指数波动率的R平方检验方法

对于这项技术，分析者认为，股票价格变动的方差数值可以用股票指数的变动来解释。该比率来自于一项叫做回归的统计技术，方程如下：

对于投身于股市中的投资者，应该非常熟悉这个方程。如果不熟悉的话，至少也知道Beta（β）的概念。Beta（β）的含义是，对于一个给定的用股票指数表示的总体市场的变动量，股票的变动量有多大。如果Beta（β）是1. 0，那么当市场发生10%的变动时，该股票的变动幅度也是10%。当Beta（β）等于0. 50时，则该个股将以市场变动幅度的50%发生变动。在某些情况下，交易商可以认为一只股票的Beta（β）像一份期权中的DELTA。但是，我们知道DELTA取值范围是-1 到+1之间，而Beta（β）却可以是任何的数值，不管是正的还是负的。

因为Beta（β）度量两种资产之间的相对风险，它一定与相关性有某种关系，事实确实这样。下面是关于个股对市场的Beta（β）方程：

如果读者比较一下这个Beta（β）方程与本章中开始部分中相关系数的表达式，就会注意到除了方程分母部分的一点细微差别外，几乎相同。不同之处是相关系数表达式的分子部分是被分母（σX·σY）来除的，而在Beta（β）方程中，分子部分（与相关系数公式的分子相同）是被（σX·σX）来除的。分母的不同意味着什么呢？

相关系数是对不同市场的相关关系的一种标准化度量，因为不同证券的风险被标准化了。Beta（β）仅仅表示一个证券（市场）与另一个证券（股票）之间的相对关系。另外，（σX·σX）仅仅是市场的波动率（标准差）乘以自身，这被称做是市场的方差。相关性告诉分析者两个市场是否是相关的。而Beta（β）告诉人们的是，在给定另一种资产变动幅度的前提下，该种资产的变动幅度是多少。

回归分析可以得出非常有用的统计量，表明有多少股票的变动量可以由市场的变动来解释。这个统计量叫做R平方，其方程如下：

该方程表明股票与市场指数的波动率（平方）关系与这两类资产历史的Beta （β）相关。当我们把单个股票期权的波动率看成是这些单个股票所组成的股票指数的波动率时，这个历史的R平方统计量就成了市场隐含波动率的当前水平。假定条件是如果观察到有差异发生，那么它们将回归到该时期的历史关系中。

当我们看上面这个方程时，我们会立刻注意到波动率（σX与σY）都出现了，为了比较这些资产的历史R平方，我们必须用今天的隐含波动率替代方程中的历史波动率，以得出隐含的R平方关系。这由下式给出：

虽然与前面提到的隐含相关性技术相比，这个方程好像是一个完全不同的方法，但实际上并不是这样。R平方仅仅是相关系数乘以自身，因此从实务角度出发，他们是在度量同一个事情。

为帮助理解，我们准备给出一个英国市场中两只股票（有这些股票的期权交易）的例子，并将它们的R平方关系看成是最流行的英国股票指数——金融时报100指数期权的R平方关系。我选择的两只股票是英国电信（British Telecom）（通讯）与普鲁登斯（Prudential）（金融服务与保险）。对这两只股票，我们都从1992 年5月～1994年5月的日回报率中得出历史数据，并确定出滚动年的Beta关系与历史的R平方关系。每周我们都重新估计这些统计关系，经常保持一个一年期的分析期。接下来，我们将处于平价状态（ATM）期权的隐含波动率作为单个股票以及较近到期的金融时报100指数股指的隐含波动率，这样利用过去一年的历史Beta确定出一个隐含的R平方。随后，在图中将历史的与隐含的R平方标示出来。见图9. 9a英国电信（British Telecom）与图9. 9b普鲁登斯（Prudential）。

图9. 9a　英国电信（British Telecom）股票的历史与隐含R平方

图中有两个有意思的地方：一是用虚线标示的历史R平方关系（见实际R平方曲线），从1993年5月起直到1994年5月走势相当稳定。对英国电信（British Telecom），历史R平方大约在40%左右，对于普鲁登斯（Prudential），历史R平方开始时约为50%，此后缓慢下降。然而，这样的稳定走势对于隐含R平方而言，并不如此，显示出大幅的波动，并经常超出R平方100%（可由市场的变动解释的股票方差）的数学限制。二是在某些时间，二者有交叉，就好像是期权市场回归到它们的公平关系后又漫不经心地走开了。

图9. 9b　普鲁登斯（Prudential）股票的历史与隐含R平方

看到这些图，我决定反向跟踪，试试一些简单的交易策略，看能不能获得盈利。我的假设是如果隐含R平方与历史R平方有显著不同，它最终必须回归到平价关系状态。例如，若隐含R平方相比历史R平方太高了，它就必须降下来。假定Beta是常数，那么，这种情形出现的惟一途径是要么金融时报100指数的隐含波动率下降，要么单个股票的隐含波动率上升。这可以从上面的隐含R平方关系方程中得出。交易策略非常简单：我将买入单个股票的隐含波动率，卖出金融时报100指数波动率。

让我们考虑一下另外一种情形，即隐含R平方低于历史R平方。为了使隐含R平方上升回归到它的平价状态，要么金融时报100指数的波动率必须上升，要么单个股票的波动率必须下降。同样，交易策略也是简单的：我买入金融时报100指数的隐含波动率，而卖出股票的隐含波动率。

两种策略的逻辑如下：对于股票与金融时报100指数，我都将买入或卖出处于平价状态的骑墙组合，确信该头寸是完全DELTA中性的。其次，我将对THETA风险进行套期保值，因为我确信在多头骑墙组合中损失的部分可以由空头骑墙组合的收益来弥补。最后，假定股票期权的GAMMA效应是股票与股票指数之间历史Beta关系的函数，调整GAMMA使其达到中性。这样做，头寸就仅仅集中于股票与股票指数二者的VEGA（或隐含波动率）敏感性上了。

利用这些简单的策略规则（并忽略交易成本），我们再次利用这些数据，来看一看这些规则是如何发挥作用的。图9. 10a显示了英国电信（British Telecom）对金融时报100指数期权的每日波动率与累计波动率百分比。看来确实是每日波动率（实线）围绕0上下波动，累计利润线（虚线）在1993年8月间向上穿过每日波动率曲线，保持相对平稳，直到1994年5月另一个更大的利润跳跃出现。不考虑这些，一年时间从该策略中实现的全部盈利以波动率来表示会超过25%。

图9. 10a　英国电信（British Telecom）的日波动率与累计波动率百分比

为了解释为什么利润不是在一年中平稳地实现，而仅仅是在两个时点上实现，我们必须返回到图9. 9a中，看看在英国电信（British Telecom）的隐含的与历史的R平方时间系列中发生了什么。可以看出，每次隐含R平方时间系列与历史R平方时间系列交叉时，英国电信（British Telecom）与金融时报100指数的隐含波动率之间的波动关系就回归到直线关系。当两个时间系列出现显著差异时，没有利润会产生。这样，历史记录提示我们，在这些隐含R平方与历史R平方关系的“交叉点”上，市场才确实对错误定价关系作出反应。

利用这些简单的交易规则，普鲁登斯（Prudential）对金融时报100指数期权的情形又如何？图9. 10b显示了该价差的每日波动率与累计波动率百分比的结果。同样，仅有一个时点该策略表现最好。这就是1993年7月，其累计利润用波动率来表示差不多达到了20%。在此之后，累计盈利在该水平附近绯徊。再回到图9. 9b，可以看到发生的情形。隐含R平方时间系列线穿越实际R平方时间系列线的惟一情形出现在1993年7月中。在该时点上，期权的做市者调整了他们两个市场的相对波动率，回归到直线关系。之后，利用这个简单的交易规则不会实现其他的盈利。这样，除非两个时间系列线再次相交，否则我们不会建议去做任何其他的交叉市场波动率交易。

图9. 10b　普鲁登斯（Prudential）的日波动率与累计波动率百分比

一个有意思的问题是，既然许多证据表明市场是相对有效的，那这些异常现象如何还会存在？权威性的答案或许永远也不会有，但是我们可以提供的一个可能解释是，我们将两种不同的方法都看做是在资本市场中如何对资产进行估值了。第一个模型假定资产的价格会趋向于一个均衡价值，而这个均衡价值依赖于全部市场的多数意见。另一个模型通过套利对资产进行定价，也就是如果资产的价格偏离了其公平价值，通过建立一个由其他被公平定价的资产组成的等同组合，可以完全模拟被错误定价了的资产的损益。然后套利者将买入（或卖出）被错误定价的资产并卖出（或买入）被公平定价的等同资产组合，锁定一个无风险的利润。显然，这两个模型依赖于不同的机制来实施。在期权定价中，套利是使价格回归正常水平的一种机制。

套利策略的范围在上一章已有讨论，如果价格偏离了公允价值，就有一个确定的策略可以无风险地使价格回归公允价值。在资本资产定价模型中，保持价格正常的机制是均衡理论，即：随着时间的推移，如果人们发现有被错误定价的资产，他们就会开始卖出被高估的证券而买入被低估的证券，直到价格回归到它们的均衡价值。然而，有一点很关键：该机制并不是一个无风险的套利，因为这两类资产不是完全相关的。如果你还有疑问的话，请返回到图9. 9a和图9. 9b，图中实际R平方的水平对普鲁登斯（Prudential）来说最大值是50%，对英国电信（British Telecom）来说，最大值是40%。用相关系数来表示，普鲁登斯（Prudential）与金融时报100指数的最大相关系数是70%英国电信（British Telecom）与金融时报100指数的相关系数最大是63%假定这些资产间不会发生完全一样的共同变动，虽然价格也会向均衡价值回归，但这可能是伴随着一个显著性的波动率变动而发生的。当它们确实回归到均衡价值时，这经常意味着有价格已偏离公允价值达到一个如此的程度，以致每个人都意识到显著的差异，随后该种状态（本例中是波动率）回归常态。

当将均衡定价与套利定价进行比较时，我还想说的一个类似的问题是，一辆轿车与一辆大篷车（拖车）如何一起行驶在高速公路上？如果轿车拖着大篷车并将轿车与大篷车之间的拖带固定死（比如很结实地拴在拖车拴钩上），这两个汽车将完全在一起行驶。这类似于基于套利机制的资本市场模型的过程。另一方面，如果轿车与大篷车用一根绳子连在一起，那么它们也会一起行驶，但若是轿车突然加速或是来个急转弯，大篷车在拼命赶上轿车之前会停顿一下。这类似于基于均衡理论的模型在资本市场中的过程，就像人们可以认同的那样，第二个过程也会有从A到B两个交通工具，但是二者的关系不会像轿车与大篷车出现灾难性后果的可能性一样稳定。

或许利用资本资产定价模型（CAPM）（一种均衡）对期权（用套利定价）的相对波动率进行估价时，人们会预期突然出现一个波动，使股票期权与股指期权的波动率回归到平价状态。虽然这些发现确实指出了一个有意思的结论，但还得注意。读者中不管是谁，若想执行这种跨市场的波动率策略的话，都应该仔细考察一下该策略将适用的市场的历史记录，要恪守所有那些起作用的交易规则。

在本章中我们将讨论的最后一块领地是期权市场中一个全新的领域：场际价差期权。这类价差期权正变得越来越普遍和流行。值得欣慰的是这些产品衍变的基本原理在本章中已经介绍过。

场际价差期权

近些年来，许多市场的参与商被相关市场间发生的价差所影响。例如，原油价格与汽油价格之间的价差对石油的生产商与消费者都是非常重要的。在利率市场，那些从事跨标的工具（如抵押证券与基于政府债券的标准化金融期货）的套期者早已经熟悉了基础风险的概念，对于他们中的不少人来说，还没有什么工具可以管理这种风险。解决这些问题的一个办法就是依赖场际价差期权的发展。

我的两个同事（朋友），迈克尔·塞尔贝（Michael Selby）博士与莱斯·克鲁劳（Les Clewlow），对价差期权进行了大量的研究，并非常友好地允许我在本书中该部分引用他们的工作成果。^[7]他们的研究动机起源于越来越明显的一个事实：相关商品期货市场的价差对以这些期货合同的标的为产品的生产商与消费者都非常重要。另外，价差期权可以使得套期者规避与从一个合约月份到另一个合约月份的滚动套期头寸相联系的风险，并帮助进行库存管理与降低存货成本。

他们考察了许多价差关系，其中有潜在的价差期权存在。这些价差包括他们所称的交割间价差与商品间价差。

他们将交割间价差定义为标的资产相同但到期日不同的两个期货间的价差。该种价差的一个例子是，做多3月玉米期货并做空7月玉米期货。该价差在本书中被称为场内价差（见第八章的日历价差）。他们称之为商品间价差的是我曾提到过的场际价差，同样，它们被定义为两重紧密相关的商品（如原料与白糖期货、原油与民用燃料油期货、黄金与白金期货^[8]）期货合同间的价差。

他们工作的目的是，利用多样的技术方法解决适合期权价差定价的定价模型。然而，我从该研究中选取的部分是他们在其模型中完成的经验分析，这是他们对比了伦敦商品交易所原料与白糖期货合同之间，以及国际石油交易所（伦敦）原油与汽油（英国词汇是民用燃料油）期货合同之间的这两个场际价差，利用实际市场数据进行的。但是在此之前，还是让我们先看一看他们的价差期权定价模型吧。

看完简单的服从几何布朗运动或是算术布朗运动的单因素模型，以及一个更加复杂的两因素模型后，他们认为最适合价差期权定价的模型是两因素模型。吸引我的是他们得出的价差波动率的解决方法，这可以用下式表示：

当然，当我们对价差方差开平方后就得到我们加入到定价模型中的波动率，一个有意思的测试是，相对于一定时期内存在于市场中的实际波动率关系，看看估算出的波动率是如何起作用的。

为了得到价差波动率的一个理论值，他们利用有两个期货价格的函数（见上面的方程），将结果绘制在一个规则的期货价格网格图中。在他们假定期货价格系列的情形下，相关系数起初被假定为一个常数。这样他们就可以对波动率理论函数进行估计。从图9. 11可以看出，LCE原料与白糖期货之间的价差波动率的比较的三维图像是一架漂亮的飞机。如果原糖期货合同的价格上升，而白糖期货的价格下跌的话，价差波动率将上升。

图9. 11　波动率理论函数（1992年5月）

该波动率的上升与白糖减原糖的价格下跌相联系。相反，如果原糖期货的价格下跌而白糖期货的价格上升，那么预期波动率将下降，价差增大。这可有两种解释：直觉的解释与数学的解释。

直觉的解释是，当一个固定的波动率水平应用到一个不断减小的价差中时，对较小价差的波动率的相应影响更大。例如，一个20%的波动率水平对仅有20个基点的价差而言，与对一个有120个基点的价差相比，会产生一个对价差变化更大的相应影响，与此类似，从现实世界中也可得出如此结论。如果我们有一定量的气体（价差波动率），该气体被压缩得越来越小，其温度与气压就会相应上升。相反，如果气体被放入一个更大的空间中，其温度与气压就会减小。在价差期权中，存在同样的原理，当波动率被压缩到一个不断减小的价差中，相应的影响就会上升。

对价差波动率的上升的数学解释，直接来自于上面的价差波动率方程。读者会注意到波动率是价差水平的一个函数。在方程的分子部分，看起来与玛格瑞伯（Margrabe）合成波动率方程相似，只有方差与波动率（标准差）被乘以了组成价差的标的期货的价格（或这些价格的平方）。从方程的下半部分（分母）看，是除以一个价差平方。如果价差水平下降，那么从方程可知，分子部分中的方差（或波动率）被一个越来越小的数字相除，在理论上其结果将不断增大。这样，当价差减小时，价差波动率将上升。当然，若是价差为0，方程将失去意义。但是，该模型显然认为这种情形几乎不可能发生。

无论何时发展出一种理论来，用实际数据对其进行检验是非常重要的。这可以通过对这个波动率理论关系与滚动的30日期间的实际波动率相比较来进行。实际波动率关系如图9. 12所示，可与图9. 11中的理论关系来对照。

图9. 12　历史实际波动率（1992年5月）

在图9. 12中，1991年1月～1992年12月期间的实际波动率形状没有丝毫的平滑意思，而且非常崎岖粗糙。然而，确实存在这样的一般关系，即价差扩大波动率降低，价差缩小波动率升高。但是，为什么实际波动率的表面与预期的波动率表面如此不同？答案是相关系数不是常数，它随着时间的推移不断变化。图9. 13列示了原料与白糖期货合同间的30天相关系数，这些期货到期日从1991年3月～1992年2月不等。

图9. 13　原料与白糖期货的相关关系（30天）

正如读者所见，相关系数是不稳定的。1991年3月～7月之间，相关关系几乎从正常水平的70%～80%下降到20%～30%的水平。这样，评估与交易这些价差期权的关键因素仍然是资产间的相关性。

迈克尔·塞尔贝（Michael Selby）博士与莱斯·克鲁劳（Les Clewlow）也检验了1992年3月～1992年11月间国际石油交易所（IPE）原油与汽油期货间的价差关系。同样，价差波动率的表面是不平滑的，非常的不稳定，见图9. 14所示。这些图代表了11月到期月期货的实际波动率关系。同样，为什么波动率关系如此之不稳定的原因，也是由于原油与汽油市场（见图9. 15）间的相关关系的不断变化。

这些创新产品再次证实了相关市场间的场际关系的重要性。不同市场间期权的交易的关键因素并不单单是单个市场的波动率，更重要的是两个标的市场间的相关性（或R平方）。

尽管现在去猜想或许早了点，但我还是预测：到千年之交，不管是对期权市场的交易，还是对其他所有的衍生产品市场的交易，相关性都将成为一个重要的因素。对那些希望一展拳脚的人来说，应该仔细考虑由期权以及场际价差期权（像上面的标题那样）而定的相关关系。

图9. 14　历史波动率（30天）函数（1992年11月）

图9. 15　原油与汽油相关关系（30天）

这些场际期权价差策略相对于我们的策略矩阵应该归入哪一类？相对于标的资产的波动率，它是一个有难度的看涨期权。场际期权价差对单个资产波动率可以是买家也可以是卖家，确实它们对每一个标的资产的走势都可以估计出某种观点。即使有这些难题，我还是决定将这些交易放入与期权套利策略一样的类别中，因为它们是从两个相关期权市场的错误定价中获利的半套利交易。读者可以从表9. 3中看到本书中最终的交易策略矩阵。

图9. 16　期权交易对标的市场的看法策略矩阵

至此，本书的交易部分就完成了。在下面的几章中，我们将考察在降低投资风险中对期权的应用，以及组合期权的应用。再后，我们将深入研究利率期权、变异期权、风险管理以及组织问题。

【注释】

[1]该领域最出色的研究成果之一是由LIFFE完成的，题目是“货币价差交易指引”。

[2]相关系数也是人们是否可以利用衍生市场在货币市场对头寸进行套期的关键因素。国际会计准则允许这样一种策略使用套期保值会计处理的条件是，要求相关系数最小为70%或更高。详见第十六章。

[3]该部分主要来源于一篇发表于《期货杂志》1990年11月份题目为《货币期权价差》的文章，作者是Jon Stein。

[4]下面的两幅图形是由伦敦蔡斯曼哈顿银行（Chase Manhattan）的马丁·库珀（Martin Cooper）提供的。

[5]威廉·玛格瑞伯（Margrabe，William），《标的资产变换的期权的价值》，《金融杂志》，33（1977年3月），第177～186页。

[6]作为一个技术点，读者可能希望返回到本章关于相关系数的定义上去，如果在方程的两边同时乘一个标准差，就会看到前面的方程确实等于协方差。

[7]该部分参考了沃里克商学院金融期权研究中心的一篇工作论文，作者是莱斯·克鲁劳（Les Clewlow）与迈克尔·塞尔贝（Michael Selby），该文发表于1993年10月。

[8]他们的商品间价差也指另一类在两个不同的市场中交易的到期日相同的同样期货间的价差。我对此加以脚注，以避免对我所使用场际价差这个词汇产生混淆，场际价差是两个不同标的市场间的价差。