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产量增长率大于投入要素增长率

时间:2022-12-19 百科知识 版权反馈
【摘要】:于是,长期生产函数表示,在长期内,在既定生产技术水平下,两种可变要素投入量的组合与能生产的最大产量之间的依存关系。西方经济学运用了等产量曲线与等成本线结合的图解法分析。与等产量曲线相对应的生产函数是:图4-3中三条等产量曲线,它们分别表示产量为55、75、90单位。等产量线的集合,描述了企业的生产函数。等产量曲线与无差异曲线非常相似。这类等产量曲线对应的是固定替代比例生产函数情况。

本节以两种生产要素均可变的生产函数为例来讨论长期中生产要素的投入组合与最大产量之间的相互关系。

一、长期生产函数的表达式

长期中,生产要素没有可变与固定之分,在既定的技术水平下,式(4.1)表示的厂商生产中所有的生产要素都是可变的,为了分析方便,通常用劳动和资本两种可变要素的投入组合来生产一种产品,则生产函数的一般表达式为:

式中:L表示可变要素劳动的投入量,K表示可变要素资本的投入量,Q表示所生产的最大产量。于是,长期生产函数表示,在长期内,在既定生产技术水平下,两种可变要素投入量的组合与能生产的最大产量之间的依存关系。

在两种可变投入要素生产函数下,如何使要素投入量达到最优组合,以使生产一定产量下的成本最小,或使用一定成本时的产量最大?西方经济学运用了等产量曲线与等成本线结合的图解法分析。

二、等产量曲线

(一)等产量曲线的含义

等产量曲线是在生产技术既定的条件下,生产同一产量的两种生产要素投入的不同数量组合点的轨迹。等产量线给出了厂商进行生产决策的可行性空间——为了得到某一固定的最大产出量,厂商可以使用的两种不同生产要素投入品的组合。与等产量曲线相对应的生产函数是:

式中:Q0为常数,表示既定的最优产量水平,这一函数是一个两种可变要素的生产函数当函数值为常数的情形。

图4-3中三条等产量曲线,它们分别表示产量为55、75、90单位。以代表55单位产量的等产量曲线为例,既可以使用A点的要素组合(OL1,OK3)生产,也可以使用B点的要素组合(OL2,OK2)或C点的要素组合(OL3,OK1)生产。这是连续性生产函数的等产量线,它表示两种投入要素的比例可以任意变动,产量是一个连续函数,这是等产量曲线的基本类型。等产量线的集合,描述了企业的生产函数。

图4-3 等产量曲线图

等产量曲线与无差异曲线非常相似。无差异曲线将消费者的满足程度按从低到高的顺序排列,等产量线则按产出水平的高低作同样的处理。但与无差异曲线的区别是,每一条等产量曲线都对应着特定的产出水平,而无差异曲线只具有序数意义而不具有基数意义。

(二)等产量曲线的一般特点

第一,距原点越远的等产量曲线表示的产量水平越高,反之,则越低。如图4-3,三条无差异曲线Q1、Q2、Q3,距原点的距离有Q1<Q2<Q3,越远的代表的产量越大。

第二,同一平面坐标上存在无数条等产量线,任何两条等产量线不会相交。

第三,等产量曲线向右下方倾斜,斜率为负,凸向原点。如图4-3,在同一条等产量曲线上,向右下方倾斜表明两要素之间是可以替代的;厂商为了维持产量不变,增加了一种要素数量必须要减少另一种要素数量。而且等产量线是以凸向原点的形状向右下方倾斜的,即等产量线的斜率绝对值是递减的。等产量曲线之所以会具有这样的特征,这取决于要素的边际技术替代率递减规律。

(三)等产量曲线的特殊形状

如图4-3所示,等产量曲线一般向右下方倾斜,斜率为负,凸向原点。但也存在以下两种特殊的情形:

第一,右直角的形状。这类等产量曲线对应的是固定投入比例生产函数情况。它与消费者行为理论中的完全互补的无差异曲线非常相似,具有如图4-4所示的形状。厂商若只增加两种要素中的一种——比如说,L1增至L2,K1保持不变,产量只能维持在Q1水平上,是不能提高的;只有按固定比例同时增加两种要素投入,比如说由(L1,K1)增至(L2,K2),产量才能由Q1增加到Q2,要素之间是不能相互替代的。

第二,向右下方倾斜的直线形状。这类等产量曲线对应的是固定替代比例生产函数情况。它与消费者行为理论中的完全替代品的无差异曲线非常相似,具有如图4-5所示的形状。投入的两要素之间是可以相互替代的,比如说,可以用大量的资本K代替劳动L,也可以用大量的劳动L代替资本K,或者K、L两者的均衡组合生产出同样的产量,并且可以替代的比率也是固定的,这就决定了等产量曲线的斜率是不会变化的,劳动对资本的替代比例也就是等产量曲线斜率的绝对值。

图4-4 固定投入比例的生产函数

图4-5 固定替代比例的生产函数

三、边际技术替代率

(一)边际技术替代率的含义

长期生产的主要特征是不同比例的生产要素组合可以生产同一产量水平,即在维持同一产量水平时,生产要素之间存在一定程度的替代关系。边际技术替代率(marginal rate of technical substitution,MRTS)是研究生产要素之间替代关系的一个重要概念,它是指在维持产量水平不变的条件下,增加一单位某种生产要素投入量时所减少的另一种生产要素的投入数量。以MRTSLK表示劳动对资本的边际技术替代率,则:

式中:△K和△L分别表示资本投入的变化量和劳动投入的变化量;MRTSLK表示的是在保持产出不变的前提下,多投入一单位的劳动,资本的投入可以减少的量。式中加负号是为了使MRTSLK为正值,以便于比较。

当要素投入量的变化量为无穷小时,上式变为:即:等产量曲线上某一点的边际技术替代率就是该点的切线斜率的绝对值。

(二)边际技术替代率与边际产量的关系

边际技术替代率等于两种要素的边际产量之比。设生产函数Q=f(L,K),则:

由于同一条等产量线上有任何一点的产量相等,即dQ=0,则上式可变为:

由边际技术替代率公式可知:

上述关系是因为边际技术替代率是建立在等产量曲线的基础上,所以对于任意一条给定的等产量曲线来说,当用劳动投入代替资本投入时,在维持产量水平不变的前提下,由增加劳动投入量所带来的总产量的增加量和由减少资本量所带来的总产量的减少量必然相等。

(三)边际技术替代率递减规律

边际技术替代率递减规律指:在维持产量不变的前提下,当一种生产要素的投入量不断增加时,每一单位的这种生产要素所能代替的另一种生产要素的数量是递减的。以图4-6为例,当要素组合沿着等产量曲线由a点按顺序移动到b、c和d点的过程中,劳动投入量由L1增加到L2、L3和L4,并且L1L2=L2L3=L3L4,相应的资本投入量由K1减少到K2、K3、K4,并且相应的减少量K1K2>K2K3>K3K4,等产量线也变得越来越平坦,这恰好说明了边际技术替代率是递减的。

图4-6 边际技术替代率递减

边际技术替代率递减规律是根源于生产要素的边际报酬递减规律。生产要素的边际报酬递减的主要原因又在于:生产技术条件既定时,任何一种产品的生产技术都要求各要素投入之间有适当的比例,这意味着要素之间的替代是有限制的。根据等产量线向右下方倾斜特征可知,要保持产量不变,在增加劳动投入的同时必须减少资本投入。由边际技术替代率的定义及公式式(4.16)可知,在维持产量不变的情况下,随着劳动投入量的增多,劳动的边际产量会越来越小,随着资本投入量的减少,资本的边际产量会越来越大,劳动的边际产量与资本的边际产量的比值会越来越小,这就说明边际技术替代率是递减的。

四、等成本线

(一)等成本线的含义

长期分析中讨论厂商的成本可运用等成本线这一工具。等成本线也称为厂商的预算线,是在某一特定时期,在生产要素价格既定的条件下,厂商既定的总成本支出可以购买到的两种生产要素的不同数量组合的轨迹。假定厂商既定的总成本支出为C,要素市场上劳动的价格用工资率w表示,资本的价格用利息率r表示,则成本方程为:

这一方程可表示为:

图4-7 等成本线

图4-7,在等成本线以内的区域,其中的任意一点(如A点)表示既定的总成本没有用完;等成本线以外的区域,其中的任意一点(如B点)表示既定的成本不够购买该点的劳动和资本的数量组合;等成本线上的任意一点表示既定的全部成本刚好能购买的劳动和资本的数量组合。

(二)等成本线的移动

如果出现下面两种情况,等成本线会发生移动,其移动规律与消费者行为理论中的预算线的移动规律相类似:

第一,厂商生产成本不变,投入的要素价格发生变化。可分为四种情况:①w变化而r不变化,等成本线会以纵轴上的交点为支点顺时针或逆时针旋转,w下降逆时针转动,w提高顺时针转动;②r变化而w不变化,等成本线会以横轴上的交点为支点顺时针或逆时针旋转,r下降顺时针转动,r提高逆时针转动;③ w、r等比例变化,等成本线平行移动;④w、r不等比例变化,等成本线移动视情况而定。

第二,投入的要素价格不变,厂商成本发生变化。由于两种生产要素的价格不变,所以等成本线的斜率不会发生变化;等成本线因成本的增加向外平行移动,因成本减少向内平行移动;在同一平面上,距离原点越远的等成本线代表成本水平越高。

如果厂商的成本与要素的价格同时发生变动,则等成本的变化要依这两种变化情况的不同而具体分析。

五、生产要素投入的最优组合

在长期生产中,厂商都会选择最优的生产要素组合进行生产,从而实现产量的最大化。所谓生产要素投入的最优组合是指在既定的成本条件下能生产出最大产量的生产要素投入数量组合,或既定产量条件下能得到最小成本的生产要素投入数量组合,这一不再变化的生产要素投入数量组合状态也称为厂商均衡。下面分两种情况来分析。

(一)既定成本下最大产量的生产要素投入最佳组合

假设只投入劳动和资本两种要素,它们都能从完全竞争的要素市场购买到;假定厂商的既定成本为C,劳动的价格为w,资本的价格为r,且w与r因为来自于完全竞争的要素市场而固定。这样,我们就不必考虑要素价格变化而专注于要素量的组合变化。把等成本线和等产量线画在同一个平面坐标系中,如图4-8所示。从图中可以确定厂商在既定成本下实现最大产量的最优要素投入组合,即生产的均衡点。

因为成本既定,所以图4-8中只有一条等成本线,但可供厂商选择的产量水平有很多,图中画出了三个产量水平Q1、Q2、Q3

图4-8 既定成本下产量最大的要素组合

先看等产量线Q1,图中等产量线Q1代表的产量水平最高,但处于等成本线以外的区域,表明厂商在既定成本条件下,不能购买到生产Q1产量所需的两种要素组合,因此Q1代表厂商在既定成本下无法实现的产量。

所以达到生产要素投入最优组合的条件是:

它表示:为了实现成本既定条件下的最大产量,厂商必须选择最优的生产要素投入组合,使得两要素的边际技术替代率等于两要素的价格之比。

(二)既定产量下最小成本的生产要素投入最佳组合

假设如同第一种情况,完全竞争要素市场的背景,厂商的既定产量为Q,劳动的价格既定为w,资本的价格既定为r,把等成本线和等产量线画在同一个平面坐标系中,则可用图4-9来分析既定产量下的最优生产要素投入组合,即生产的均衡点。

图4-9中等成本线A″B与等产量线Q没有交点,等产量线Q在等成本线A″B″以外,所以产量Q是在A″B″的成本水平下无法实现的产量水平。等成本线AB与等产量线Q有两个交点a、b,等成本线A′B′与等产量线Q相切于E点,按照上述相同的分析方法可知:厂商不会在a、b点达到均衡,只有在切点E,才是厂商的最优生产要素投入组合。

因此厂商最优生产要素投入组合的约束条件是:

图4-9 既定产量下成本最小要素组合

该式表示厂商应该选择最优的生产要素投入组合,使得两要素的边际技术替代率等于两要素的价格之比,产量既定条件下成本最小。

由式(4.16)与式(4.20)可得生产的均衡条件为:

上式表明,厂商选择最优生产要素投入组合时,应使花在每一要素上的最后一单位的成本获得的边际产量相等。该原则与厂商在既定成本条件下实现最大产量的两要素的最优组合原则及厂商在既定产量条件下实现成本最小的两要素的最优组合原则是相同的。

可对既定产量下最小成本的生产要素投入进行数学分析。

建立拉格朗日函数:

整理后有

进一步,利用拉格朗日乘数法同样可以求得厂商多种生产要素投入的最优组合,还可得到如下一般方程式:

认识到这一点,对于我们深入认识厂商多种生产要素投入的最优组合具有非常重要的意义,证明从略。

六、扩展线

在消费者效用最大化的行为选择分析中,当消费者均衡点建立后,引入比较静态分析,商品的价格或消费者的收入发生变化,将会导致最优商品组合均衡点的变化。同样的,在厂商利润最大化的生产行为选择中也存在着类似的分析。若生产要素的价格或厂商成本发生变化,将会引起最优要素组合均衡点的变化。对于任意水平的产出,厂商都能找到使其成本最小的投入组合。如果厂商在任何产量下都有唯一确定的最小化组合(L,K),就可以很容易地找到成本最小化选择点的轨迹。扩展线表示在假定生产要素价格和技术水平不变的条件下,厂商的不同的等产量线与等成本线相切所形成的一系列不同的成本最小化选择点的轨迹,是对长期与完全竞争要素市场条件下厂商生产规模变化时生产要素投入组合最优选择行为的基本描述。仿照第三章中正常商品与低档商品的分析思路,本章只讨论以L、K均为正常生产要素品的情形。

图4-10 扩展线

(2)如果某种投入的生产要素价格发生了变化而另一种生产要素价格未发生变化,等成本线的斜率将会发生变化,扩展线并不一定就是直线。①如果是横轴的要素价格PL上涨,等成本线斜率的绝对值将会上升,等成本线会变得更加陡峭;PL下降,等成本线斜率的绝对值将会下降,等成本线会变得更加平缓。此时的厂商均衡点的最优选择会发生相应的变化。②如果是纵轴的要素价格KL上涨,等成本线斜率的绝对值将会下降,等成本线会变得更加平缓;KL下降,等成本线斜率的绝对值将会上升,等成本线会变得更加陡峭。此时的厂商均衡点的最优选择会发生相应的变化。两种情况读者可以自己加以推导。

图4-11 扩展线和短期总成本

(3)利用扩展线,可以说明短期平均成本曲线的U形图状,以及短期平均成本与长期平均成本的差别[9]。如图4-11,假定短期中资本K固定在K1水平。要生产出Q2的产量,厂商就要通过选择与等成本线A2B2的切点相对应的劳动量L2来使成本最小化。这种固定性体现在厂商决定将产量增至Q3时,如果是长期,则K不是固定的,厂商将会以K3的资本与L3的劳动来生产上述产出。厂商的成本将由等成本线A3B3表示出。然而,如果是短期,则资本K固定在K1水平,厂商不能自由选择投入量。在短期内为了生产不同的产出水平,厂商只能使用“非最优化”的要素投入组合,迫使厂商只能以K1的资本、L4的劳动在点P进行生产。P点落在表示成本高于A3B3代表的等成本线FG上,为“非最优化”的两要素投入组合点,明显表示厂商扩大生产时,由于厂商无法以相对成本较低的资本K来替代成本较高的劳动L,因而当厂商资本K固定不变时,厂商的短期生产成本并非最小成本,要高于长期成本。当厂商决定将产量降至Q1时,同样的假定条件下也可以说明短期内厂商的生产成本也高于长期成本,读者可以根据图形很容易地推导出来。

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