【摘要】：p'=f(x，p)，这样就把二阶方程降为一阶方程.设求得此一阶方程的通解为p=φ，则原方程的通解为即把二阶方程降为一阶方程.设求得此一阶方程的通解为p=φ，即=φ，分离变量并积分得原方程的通解为
1.5.6 几种可降阶的方程
1.y(n)=f(x)
这类方程可直接积分，积分一次得
y(n－1)=∫f(x)dx+C，
即把原方程降低一阶.积分n次，即可得通解
y=∫…∫f(x)dx…dx+C1xn－1+C2xn－2+…+Cn.
2.y″=f(x，y')
这是不显含y的二阶方程，令y'=p，则y″=p'，代入即得
p'=f(x，p)，这样就把二阶方程降为一阶方程.设求得此一阶方程的通解为p=φ(x，C1)，则原方程的通解为
y=∫φ(x，C1)dx+C2.
3.y″=f(y，y')
这是不显含x的二阶方程，令y'=p，则
代入方程得
即把二阶方程降为一阶方程.设求得此一阶方程的通解为p=φ(y，C1)，即
=φ(y，C1)，分离变量并积分得原方程的通解为
【例1.5-9】求方程xy″－3y'=
的通解.
解:这是不显含y的方程，令y'=p，则y″=p'，代入方程，得一阶线性方程
利用通解公式(1.5-5)，有
【例1.5-10】求微分方程y″=
满足初始条件y|x=0=1，y'|x=0=2的解.
解:这是不显含x的方程.令y'=p，则y″=p
入方程得
由y=1时p=2，得C1=0，且知负号不合，故
由y|x=0=1，得C2=4，于是所求特解为
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