【摘要】:p'=f(x,p),这样就把二阶方程降为一阶方程.设求得此一阶方程的通解为p=φ,则原方程的通解为即把二阶方程降为一阶方程.设求得此一阶方程的通解为p=φ,即=φ,分离变量并积分得原方程的通解为
1.5.6 几种可降阶的方程
1.y(n)=f(x)
这类方程可直接积分,积分一次得
y(n-1)=∫f(x)dx+C,
即把原方程降低一阶.积分n次,即可得通解
y=∫…∫f(x)dx…dx+C1xn-1+C2xn-2+…+Cn.
2.y″=f(x,y')
这是不显含y的二阶方程,令y'=p,则y″=p',代入即得
p'=f(x,p),这样就把二阶方程降为一阶方程.设求得此一阶方程的通解为p=φ(x,C1),则原方程的通解为
y=∫φ(x,C1)dx+C2.
3.y″=f(y,y')
这是不显含x的二阶方程,令y'=p,则
代入方程得
即把二阶方程降为一阶方程.设求得此一阶方程的通解为p=φ(y,C1),即=φ(y,C1),分离变量并积分得原方程的通解为
【例1.5-9】求方程xy″-3y'=的通解.
解:这是不显含y的方程,令y'=p,则y″=p',代入方程,得一阶线性方程
利用通解公式(1.5-5),有
【例1.5-10】求微分方程y″=满足初始条件y|x=0=1,y'|x=0=2的解.
解:这是不显含x的方程.令y'=p,则y″=p入方程得
由y=1时p=2,得C1=0,且知负号不合,故
由y|x=0=1,得C2=4,于是所求特解为
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