二层圆均匀光波导的标量模解

如4.4节所说，求二层圆均匀光波导的标量模（线偏振模）归结为求解方程式（4.3.19）

求出横向分量ey后，在弱导近似条件下，由式（4.3.20）可求出其余分量。

1.标量模的电磁波解和特征方程

应用4.4节的分离变量法求解式（4.5.1），并利用ey在芯层和包层界面上的连续条件，得

其中，U，W，β之间的关系服从式（4.2.14）和式（4.2.15）。为书写简便，将波阻抗记作

其中是真空中的波阻抗。将式（4.5.2）代入式（4.3.20），得

将式（4.5.2）代入式（4.3.20），利用贝塞尔函数递推公式：

和

得

在芯层和包层界面上，由边值关系

得

在弱导条件下，n1≈n2。上式可写成两个方程：

这就是弱导条件下线偏振模的特征方程。利用贝塞尔函数递推公式

不难证明式（4.5.7）的两式实际上是一个方程。因此，可取其中的任一个作为特征方程。

同理，利用边值关系hz1（r＝a）＝hz2（r＝a）也可以得到式（4.5.7）。

在下面的讨论中，我们取式（4.5.7）的第二式作为特征方程。

2.线偏振模的截止和远离截止

（1）线偏振模的截止

与4.4节一样，参数W→0时导模趋于截止。利用式（4.4.18）中W→0时Km（W）的渐进表示式，不难证明，对于所有的m都有

因此，截止状态的特征方程是

下面分m＝0和m≥1两种情形来讨论。

当m＝0时，注意到J－1（x）＝－J1（x），且当J1（x）＝0时总有J0（x）≠0，于是，由上式得

这就是说，线偏振模LP0n的归一化截止参数为Vc＝Uc＝0和一阶贝塞尔函数的根。若将零作为一阶贝塞尔函数的第零个根，则LP0n的归一化截止参数可记作

当m≥1时，由于Jm（0）＝0，故零不能作为方程（4.5.8）的根，于是有

这表明线偏振模LPmn（m≥1）的归一化截止参数为

显而易见，在所有的线偏振模LPmn中，只有LP01的归一化截止频率Vc＝0，因此，它是主模。

（2）线偏振模的远离截止

当W→∞时，利用Km（W）渐进表示式Km（W）＝得特征方程：

由于上式中的分子总是有限值，得Jm（Uf）＝0。

这表明，远离截止状态时，线偏振模LPmn的归一化参数等于m阶贝塞尔函数的第n个根：

由上述可知，LP01模的截止参数和远离截止的特征参数都与4.4节中所说的HE11模的相同，其场分布也相同。次最低阶模LP11的归一化截止频率Vc＝2.045，这与TE01模、TM01模和HE21模相同。

若归一化频率取在0～2.045，则线偏振模中只有LP01模可以在光纤中传输，这与4.4节中所说的HE11模的单模传输条件相同。

线偏振模的电场强度E的方向可以选在x或y方向，因此，每个线偏振模LPmn有两个在空间中正交的偏振态。由于LP0n模的场量是轴对称的，每个LP0n模有两个在空间中正交的简并模。而m≥1的线偏振模LPmn不仅有正交的偏振简并模，由于沿角度φ的方向可以是cos mφ分布，也可以是sin mφ分布，因此，m≥1的线偏振模LPmn是四重简并的，即每个LPmn模是四个传输特性相同的模式组成的模式组。

3.LPmn模的功率分布

一般地说，光波在光纤中传输时，芯层和包层中都有电磁场存在，即都有电磁功率存在。不过，在光纤正常工作状态下，包层中的电磁波很弱，携带的电磁能量很少，所以，应当研究光纤中电磁功率在芯层中的集中程度。

按照式（2.1.28），光纤中电磁波的平均功率流密度是

这里省略了S上面的“—”。由式（4.5.2）和式（4.5.4）可知，功率流密度S沿着z轴方向，其值是

这表明线偏振模LPmn的电磁功率在光纤的圆周方向按cos2φ（或sin2mφ）的规律分布，在半径方向，芯层内电磁功率按的规律分布，包层内按的规律分布。当W很大时，电磁功率主要分布在芯层内。

将上式在光纤芯层和包层的横截面上积分，得LPmn模在芯层和包层内的传输功率：

其中

线偏振模LPmn在光纤中的总电磁传输功率是

芯层内的传输功率与总传输功率的比称为该模的功率因子：

其中，最后一步利用了式（4.5.7）的第二式。

由上式容易得到截止状态和远离截止时的功率因子。在截止状态时，W＝0，U＝V，由式（4.5.16）得

将W→0的Km（W）的渐进表示式代入上式，得

这表明，对于m＝0，1的模式，接近截止状态时功率几乎全部在包层中，而对m≥2的模式，接近截止状态时仍有相当一部分功率保持在芯层中，m越大，在芯层中的功率越大。

远离截止时，W≈V，Jm（U）＝0，ηmn＝W2／V2≈1。这就是说，远离截止时，功率几乎全部保持在芯层中。由式（4.5.16）计算出的一些LPmn模的功率因子的变化曲线如图4.5.1所示。

图4.5.1　一些LPmn模的功率因子的变化曲线图

4.光纤中的模数

对于一个给定的V，所有归一化截止频率Vc＜V的模式都可在光纤中传播。这些模式的数量可以通过下面的方法估算出来。

我们知道，在截止状态下，特征方程是Jm－1（Uc）＝0。当Uc较大时，利用贝塞尔函数渐进表示式

由特征方程得

图4.5.2　模数估算示意图

由于V＝Uc较大，上式可近似写为

如图4.5.2所示，以m和n为横坐标轴和纵坐标轴建立一直角坐标系，做过点（0，V／π）和点（2V／π－2，0）的直线，此直线上具有整数坐标的点都满足式（4.5.18），即这些点代表的模式都是截止的。在此直线与纵坐标轴和直线n＝1包围的三角形中，具有整数坐标的每一个点代表一个导波模，而所有的点数近似等于三角形的面积：

如前所说，m≥1的线偏振模LPmn是四重简并的，因此，总的导波模数近似为

一个常用的阶跃多模光纤模数估算公式是式（3.1.4）：

由于V2＝k2a2，因此，式（4.5.20）表明，光纤半径较大，芯层和包层介质折射率相差较大，工作波长较短的光纤中可传输的模式数较大；反之，则较小。