模式的性质

1.模式的分类

按照模式纵向分量是否等于零，可将模式分为三类：

（1）只有横向分量而无纵向分量的模式称为TEM模，即ez＝0，hz＝0。

（2）只有一个纵向分量的模式称为TE模或TM模。ez＝0，hz≠0的模式称为TE模。ez≠0，hz＝0的模式称为TM模。

（3）两个纵向分量都不等于零的模式称为混合模，即ez≠0，hz≠0。通常认为，电场纵向分量比磁场纵向分量强的混合模称为EH模；反之，则称为HE模。电场纵向分量比磁场纵向分量显著强的EH模类似于TM模，而磁场纵向分量比电场纵向分量显著强的HE模类似于TE模。

根据2.3中的结论，在光波导中不可能存在TEM模。这一结论也可从式（3.2.8）直接得到。按照式（3.2.8），只有当模式的横向分量全等于零或横向分量都与横向Nabla算符∇t垂直，才能使ez＝0，hz＝0。这显然是无意义的和不可能的。

对于TE模，ez＝0，利用×（×et）＝－et由式（3.2.6）第三式得

式（3.3.1）说明，电场横向分量与磁场横向分量相互垂直，同相成比例而且服从右手法则，如图3.3.1所示。系数ωμ0／β（可能是复数）具有阻抗的量纲，称为TE模注意到在侧面积上的波阻抗。

对于TM模，hz＝0，利用×（×et）＝－et由式（3.2.6）第四式得

图3.3.1　ht，et，z三者服从右手法则示意图

其中，系数β／ωε（可能是复数）称为TM模的波阻抗。上式的物理意义与式（3.3.1）相同。

对于HE模或EH模，ez≠0，hz≠0，由式（3.2.7）得

这说明HE模或EH模的电场横向分量和磁场横向分量不相互垂直。

2.正向模与反向模

设介质的介电系数ε为实数，对Helmhotz方程式（3.2.3）取复共轭，得

若将式（3.2.3）所确定的模式称为正向模，记做（e＋，h＋，β），则上式确定一个与正向模传输方向相反的模式，称为反向模，记作

其中，a，b为待定系数。不难看出，a，b的模对方程（3.2.3）的求解没有影响，可设＝1，＝1。再考虑到a，b对相位的贡献，令a＝eiθ，θ与时间、坐标无关，于是得e－＝eiθe＊＋。将式（3.2.2）代入式子∇×E＝－iωμ0H，得

对上式取复共轭，再乘以eiθ，得

比较以上两式，可知h－＝－eiθh＊＋。于是，当θ＝0时，有

当θ＝π时，有

不难验证，对于满足正向模和反向模传输方向相反这一条件，以上两式是等价的。

3.模式的正交性

下面来证明正规光波导的不同模式满足正交关系：

设（E，H）和（E′，H′）是正规光波导的两个不同模式，它们满足同样的方程组

和

对上式取复共轭，设波导是无损耗的，ε是实数，得

定义矢量：

图3.3.2　垂直于z轴的扁柱体示意图

如图3.3.2所示，设有一个垂直于z轴的扁柱体，其厚度为无穷小量Δz，两底面面积为S，侧面积为S′。根据高斯定理：

有

注意到在侧面积上ds＝dl×Δz。上式两边同除以Δz，当Δz→0时，得

其中，L是面积S的周线。由式（3.3.10）得

而当S→∞时，（E，H）→0，即·dl＝0，于是，由式（3.3.11）得

设（E，H）为第i模，（E′，H′）为第k模：

于是有

和

将上式代入式（3.3.12），若βi≠βk，得

设另一对模式是

和

应用前面的方法，并利用正向模与反向模的关系式（3.3.5），得

由于ds＝zds，上式和式（3.3.13）中只有横向分量对积分有贡献，而横向分量同相，故可将上式写成

将式（3.3.14）与式（3.3.13）相加减，即得式（3.3.7）。

4.传输因子的积分表示式

现在来证明，对于模式场（ei，hi）有

其中，h2＝h·h，e2＝e·e。上式表明，传输因子βi由模式场（ei，hi）确定。由上式可以看出，如果模式场的振幅值变化时各个物理量的相对大小不变，则传输因子βi并不改变。

定义矢量：

F＝E×H′＊

注意到S→∞时，（E，H）→0，即＝0，式（3.3.11）变为

设有一对传输方向相反的模式：

和

对模式（E′，H′）取复共轭：

于是得

和

将以上两式代入式（3.3.17），即得式（3.3.15）。略去下标i，得

由于ds＝zds，有（e×h）·ds＝ethtds。如果纵向分量为实数，横向分量为虚数，则有

将这两式代入式（3.3.17），得