1.模式的分类
按照模式纵向分量是否等于零,可将模式分为三类:
(1)只有横向分量而无纵向分量的模式称为TEM模,即ez=0,hz=0。
(2)只有一个纵向分量的模式称为TE模或TM模。ez=0,hz≠0的模式称为TE模。ez≠0,hz=0的模式称为TM模。
(3)两个纵向分量都不等于零的模式称为混合模,即ez≠0,hz≠0。通常认为,电场纵向分量比磁场纵向分量强的混合模称为EH模;反之,则称为HE模。电场纵向分量比磁场纵向分量显著强的EH模类似于TM模,而磁场纵向分量比电场纵向分量显著强的HE模类似于TE模。
根据2.3中的结论,在光波导中不可能存在TEM模。这一结论也可从式(3.2.8)直接得到。按照式(3.2.8),只有当模式的横向分量全等于零或横向分量都与横向Nabla算符∇t垂直,才能使ez=0,hz=0。这显然是无意义的和不可能的。
对于TE模,ez=0,利用×(×et)=-et由式(3.2.6)第三式得
式(3.3.1)说明,电场横向分量与磁场横向分量相互垂直,同相成比例而且服从右手法则,如图3.3.1所示。系数ωμ0/β(可能是复数)具有阻抗的量纲,称为TE模注意到在侧面积上的波阻抗。
对于TM模,hz=0,利用×(×et)=-et由式(3.2.6)第四式得
图3.3.1 ht,et,z三者服从右手法则示意图
其中,系数β/ωε(可能是复数)称为TM模的波阻抗。上式的物理意义与式(3.3.1)相同。
对于HE模或EH模,ez≠0,hz≠0,由式(3.2.7)得
这说明HE模或EH模的电场横向分量和磁场横向分量不相互垂直。
2.正向模与反向模
设介质的介电系数ε为实数,对Helmhotz方程式(3.2.3)取复共轭,得
若将式(3.2.3)所确定的模式称为正向模,记做(e+,h+,β),则上式确定一个与正向模传输方向相反的模式,称为反向模,记作
其中,a,b为待定系数。不难看出,a,b的模对方程(3.2.3)的求解没有影响,可设=1,=1。再考虑到a,b对相位的贡献,令a=eiθ,θ与时间、坐标无关,于是得e-=eiθe*+。将式(3.2.2)代入式子∇×E=-iωμ0H,得
对上式取复共轭,再乘以eiθ,得
比较以上两式,可知h-=-eiθh*+。于是,当θ=0时,有
当θ=π时,有
不难验证,对于满足正向模和反向模传输方向相反这一条件,以上两式是等价的。
3.模式的正交性
下面来证明正规光波导的不同模式满足正交关系:
设(E,H)和(E′,H′)是正规光波导的两个不同模式,它们满足同样的方程组
和
对上式取复共轭,设波导是无损耗的,ε是实数,得
定义矢量:
图3.3.2 垂直于z轴的扁柱体示意图
如图3.3.2所示,设有一个垂直于z轴的扁柱体,其厚度为无穷小量Δz,两底面面积为S,侧面积为S′。根据高斯定理:
有
注意到在侧面积上ds=dl×Δz。上式两边同除以Δz,当Δz→0时,得
其中,L是面积S的周线。由式(3.3.10)得
而当S→∞时,(E,H)→0,即·dl=0,于是,由式(3.3.11)得
设(E,H)为第i模,(E′,H′)为第k模:
于是有
和
将上式代入式(3.3.12),若βi≠βk,得
设另一对模式是
和
应用前面的方法,并利用正向模与反向模的关系式(3.3.5),得
由于ds=zds,上式和式(3.3.13)中只有横向分量对积分有贡献,而横向分量同相,故可将上式写成
将式(3.3.14)与式(3.3.13)相加减,即得式(3.3.7)。
4.传输因子的积分表示式
现在来证明,对于模式场(ei,hi)有
其中,h2=h·h,e2=e·e。上式表明,传输因子βi由模式场(ei,hi)确定。由上式可以看出,如果模式场的振幅值变化时各个物理量的相对大小不变,则传输因子βi并不改变。
定义矢量:
F=E×H′*
注意到S→∞时,(E,H)→0,即=0,式(3.3.11)变为
设有一对传输方向相反的模式:
和
对模式(E′,H′)取复共轭:
于是得
和
将以上两式代入式(3.3.17),即得式(3.3.15)。略去下标i,得
由于ds=zds,有(e×h)·ds=ethtds。如果纵向分量为实数,横向分量为虚数,则有
将这两式代入式(3.3.17),得
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