十进制二进制口诀

数制也称计数制，是指用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法。按进位的原则进行计数的方法，称为进位计数制。比如，在十进位计数制中，是按照“逢十进一”的原则进行计数的。

1．计算机常用的数制

（1）二进制数：最简单，计算机直接使用；

（2）十进制数：人们习惯的计数制；

（3）八进制数：对二进制数压缩表示（压缩比为3 : 1）；

（4）十六进制：对二进制数压缩表示（压缩比为4 : 1）。

2．相关数制的表示

“基数”和“位权”是进位计数制的两个要素。

（1）基数：所谓基数，就是进位计数制的每位数上可能有的数码的个数。例如，十进制数每位上的数码为“0”“1”“2”…“9”，所以基数为10。

（2）位权：所谓位权，是指一个数值的每一位上的数字的权值的大小。例如十进制数4567从低位到高位的位权分别为100、101、102、103，因为4 567=4×103+5×102+6×101+7×100。

人们最熟悉十进制数，首先分析十进制数的表示规律。

1）十进制数（Decimal）的表示规律

（1）数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。

（2）最小数码：0；最大数码：9；基数：10。

（3）运算规则：逢十进一，借一当十。

（4）表示方式：数字带下标“10”或后缀“D”，有时省略，不特别说明，但也指十进制数。

（5）位权展开：

例1.1　3 568.72D=3×103+5×102+6×101+8×100+7×10-1+2×10-2

说明：①数字上标表示位权编码，小数点左边的位是第0位，然后依次是第1、第2、第3……位，小数点右边分别是第-1、第-2、第-3……位；②各位数码的大小，除了与代码本身大小有关之外，还与基数和位权有关；

2）二进制数（Binary）的表示规律及对应的十进制数

（1）数码：0、1。

（2）最小数码：0；最大数码：1；基数：2。

（3）表示方式：(10110101.101)2或10110101.101B，即带下标“2”或后缀“B”。

（4）算数运算规则：逢二进一，借一当二。逻辑运算规则在后面叙述。

（5）按权展开式——十进制数转换：

例1.2　把二进制数10110101.101B转换成十进制数。

解：10110101.101B=1×27+0×26+1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3=128+32+16+4+1+0.5+0.125=181.625

3）八进制数（Octal）的表示规律及对应的十进制数

（1）数码：0、1、2、3、4、5、6、7。

（2）最小数码：0；最大数码：7；基数：8。

（3）表示方式：(567.4)8或567.4O，即带下标“8”或后缀“O”。

（4）运算规则：逢八进一，借一当八。

（5）按权展开式——十进制数转换：

例1.3　把八进制数567.4O转换成十进制数。

解：567.4O=5×82+6×81+7×80+4×8-1=320+48+7+0.5=375.5

4）十六进制数（Hexadecimal）的表示规律及对应的十进制数

（1）数码：0～9、A、B、C、D、E、F。

（2）最小数码：0；最大数码：F(15)；基数：16。

（3）表示方式：(2AFC)16或2AFCH，即带下标“16”或后缀“H”。

（4）运算规则：逢十六进一，借一当十六。

（5）按权展开式——十进制数：

例1.4　把十六进制数2AF.CH转换成十进制数。

解：2AF.CH=2×162+10×161+15×160+12×16-1=512+160+15+0.75=689.75

5）R进制计数制

（1）数码：0、1、2……R-1。

（2）最小数码：0；最大数码：R-1；基数：R。

（3）运算规则：逢R进一，借一当R。

（4）对于任意的R进制计数制，表示规律及将其转换成十进制数的方法与上述相同。

例1.5　设在计算机中有某进制数3+4=10，根据这个运算规则，6+5=？

解：由该进制数的运算规律3+4=10可以知道，这是逢七进一，属于七进制数。所以，根据这个运算规则，6+5=14。

3．数制间的转换

（1）十进制转换为其他进制数。

（2）二进制数与八进制数的相互转换。

（3）二进制数与十六进制数的相互转换。

1）将十进制数转换为其他进制数

将十进制数转换为任意的R进制数时，整数部分和小数部分要分别转换。

（1）整数部分的转换方法：

十进制的整数部分不断地除以基数R取余数。除到商为0后，按照后取得的余数排在前面，先取得的余数排在后面的方法，即可得到相应的R进制数。

例1.6　(237)10=(11101101)2=(355)8=(ED)16，如图2-1所示。

图2-1　整数部分的转换

（a）转换为二进制数；（b）转换为八进制数；（c）转换为十六进制数

（2）小数部分的转换方法：

十进制的小数部分不断地乘以基数R取整，乘到零为止或不能乘到零时按规定的位数取舍，然后按照先取得的整数排在前面，后取得的整数排在后面的规则，即可得到R进制的小数部分。

例1.7　(0.687 5)10=(0.101 1)2=(0.54)8=(0.B)16，如图2-2所示。

（3）既有整数又有小数的情况

把转换过来的对应进制数的整数部分和小数部分放在一起。

图2-2　小数部分的转换

（a）转换为二进制数；（b）转换为八进制数；（c）转换为十六进制数

例1.8　(237.687 5)10=(11101101.1011)2=(355.54)8=(ED.B)16

2）二进制数与八进制数的相互转换（参照表2-1）

表2-1　二进制、八进制的对应关系

根据表2-1，进行二进制、八进制数字之间的转换。

（1）将二进制数转换为八进制数。

规则：以小数点为准，三位化为一段，不够一段的整数在前面补零，小数在后面补零，然后用相应的八进制数码表示。

例1.9　(011，101，101.101，100)2=(355.54)8

（2）将八进制数转换为二进制数。

规则：一位八进制数用三位二进制数表示。

例1.10　(355.54)8=(011101101.101100)2

3）二进制数与十六进制数的相互转换（参照表2-2）

（1）将二进制数转换为十六进制数。

规则：以小数点为准，四位化为一段，不够一段的补零，然后用相应的十六进制数码表示。

例1.11　(1110，1101.1011)2=(ED.B)16

（2）将十六进制数转换为二进制数。

规则：一位十六进制数用四位二进制数表示。

例1.12　(ED.B)16=(11101101.1011)2

表2-2　二进制、十六进制的对应关系

4．二进制数的运算规则

1）算术运算规则

加法：0+0=0，0+1=1+0=1，1+1=10。

减法：0-0=1-1=0，1-0=1，10-1=1。

乘法：0×0=1×0=0×1=0，1×1=1。

除法：0/1=0，1/1=1。

2）逻辑运算规则

①逻辑“与”运算（AND）：

0∧0=0，0∧1=0，1∧0=0，1∧1=1。

②逻辑“或”运算（OR）：

0∨0=0，1∨0=1，0∨1=1，1∨1=1。

③逻辑“非”运算（NOT）：

=0，=1。

④逻辑“异或”运算（XOR）：

0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0。