衍射产生的条件

电子衍射产生的条件与X射线衍射相同。本节主要以X射线衍射为基础做进一步的分析。

布拉格公式是衍射几何条件在正空间中的表示法，爱瓦尔德球构图则是对衍射几何条件在倒易空间中的描述。图18-2是应用爱瓦尔德反射球构图来表示衍射条件。以晶体点阵原点O为球心，以1／λ为半径作球。沿平行于入射方向，从O点作入射波波矢k，并且使｜k｜=1／λ，其端点O*作为相应的倒易点阵的原点，该球称为爱瓦尔德球，或称为反射球。当倒易阵点G与爱瓦尔德球面相截时，则相应的晶面组（hkl）与入射束的方位必满足布拉格条件，而衍射束的方向就是OG，或者写成衍射波的波矢k'，其长度也等于爱瓦尔德球的半径1／λ。根据倒易矢量定义，O*G=g，则可得

图18-2 爱瓦尔德球构图

k'-k=g（18-1）

式（18-1）就是衍射几何条件在倒易空间中的表示法。从几何上很容易证明它与布拉格公式是等价的。可以说，爱瓦尔德球构图是布拉格公式的图解，其优点是直观明了，只需从倒易阵点（图18-2的G）是否落在爱瓦尔德球球面上，就能判断是否能产生衍射，并能直接显示出衍射方向。

当晶体的某（hkl）晶面满足衍射几何条件2dsinθ=λ或k'-k=g时，是否一定产生衍射呢？由X射线衍射理论知道，还必须满足结构振幅Fhkl（也常用Fg表示）不能等于零，也就是说，一个晶胞内所有原子的散射波在衍射方向上的合成振幅不能等于零，否则也不能产生衍射。需注意的是，在第2篇式（98）中，fj是X射线的原子的散射振幅，它不同于电子的原子的散射振幅（见附录12）。

图18-3 体心立方正点阵的倒易点阵

（a）正点阵；（b）倒易点阵

上述讨论指出，只有当入射束与点阵平面的夹角θ正好满足布拉格公式时才能产生衍射，否则衍射强度为零。在爱瓦尔德球构图中，倒易阵点应严格落在球面上，而倒易阵点则是几何意义上的点。实际并非如此，一则真实晶体的大小是有限的，二则晶体内部还含有各式各样的晶体缺陷，因此衍射束的强度分布有一定的角范围，相应的倒易阵点也是有一定的大小和几何形状的。这意味着在尺寸很小的晶体中，倒易阵点要扩展，扩展量与晶体的厚度（考虑一维的情况）成反比，当厚度为t，扩展量等于2／t时，倒易阵点扩展为倒易杆。考虑三维空间的情况，不同形状的实际晶体扩展后的倒易阵点也就有不同的形状。对于透射电子显微镜中经常遇到的样品，薄片晶体的倒易阵点拉长为倒易“杆”，棒状晶体为倒易“盘”，细小颗粒晶体则为倒易“球”，如图18-5所示。这时，即使倒易阵点中心不落在爱瓦尔德球球面上，只要倒易阵点的扩展部分与爱瓦尔德球相截也能产生衍射，只是衍射强度减弱而已。当偏离布拉格公式产生衍射时，由图18-4可得到倒易空间中的衍射几何条件为

k'-k=g+s（18-2）

图18-4 与衍射条件存在偏差时的爱瓦尔德球构图

式中，s称为偏离矢量或偏离参量，它与g和k，k'一样也是倒易空间中的参量。当s=0时，为精确地符合布拉格条件，式（18-2）就成为式（18-1），此时在倒易阵点中心处有最大的衍射强度。s是以倒易阵点的中心作为该矢量的原点，由倒易阵点中心指向球面为其方向。一般规定：s方向平行于k，其值取正；s方向与k反向平行则取负。或者说，倒易阵点中心在爱瓦尔德球内，s值取正；若在球外，取负。由于Δθ很小，根据几何关系可得

sg≈｜ghkl｜·Δθ（18-3）

式中，Δθ以弧度为单位。由于｜ghkl｜恒为正值，所以当s＜0时，Δθ＜0（Δθ定义为实际入射角θ减去布拉格角θB所得角度差），表示实际入射角θ小于布拉格角；当s＞0时，则Δθ＞0，即θ＞θB。

图18-5 晶体形状的倒易阵点扩展