概率演算的历史注记

在一些最简单的赌博中，对于参与者来说，有利事件与不利事件之比长久以来已为人所知。人们根据这些比去决定所下的赌注或赌金的多少。但是，在帕斯卡尔和费马之前，计算这类事情的原理和方法还不为人们所知，没有人能够解决这种复杂的问题。因此，我们必须将概率科学的基本原理归功于这两位伟大的几何学家，这是一个可以将之列入为17世纪增光添彩的杰出事件之中的发现，——这是一个彰显了人类心智最辉煌荣耀的世纪。正如我们已知的那样，他们用不同的方法所解决问题的主要内容是，在参加者之间公平地分配赌注，假设这些参加者的技能是相同的并且同意在赌博结束之前终止。游戏的条件是先赢得一个给定点数的人就赢得这场赌博，点数对每一位参加者来说是不相同的。显然应该按照参加者各自赢得这场赌博的概率的比例进行分配，而这些概率又基于他们每人赢的赌注还缺少的点数。帕斯卡尔的方法非常新颖独特，本质上只是将这个问题的偏微分方程应用于求解参与者们接下来赢输的概率，过程是从最小的点数开始至以后的点数。这个方法只限于两位参加者的情形，费马的方法则基于组合的基础，适用于任意多位参与者的情形。帕斯卡尔最初认为这个方法仅限于两位参与者的情况，就像他自己的方法一样，这就引起了两个人之间的讨论，讨论的结果是帕斯卡尔承认了费马方法的一般性。

惠更斯汇总了已被解决的各种问题，并在一个小册子中增加了一些新的问题，这本题为《论赌博中的推理》的小册子是关于这门学科的最早书籍。从此，许多几何学家着手研究这门学科：一位伟大的法律顾问胡德^[49]、荷兰的德·维特^[50]，以及英国的哈雷^[51]将概率的演算应用于人类寿命的研究，并最终发表了第一个死亡表。几乎与此同时，雅克比·伯努利向几何学家们提出了各种概率问题，随后他给出了解法。最后他完成了题为《测度术》的杰作，1706年，该书在他逝世后7年问世。与惠更斯的著作相比，该书对于概率科学的探讨更加深入。作者给出了组合与级数的一般理论，并且将该理论应用于关于偶然事件的几个困难问题中。这部著作仍然引人关注之处在于其精确严密和新颖独特的观念，即他将二项式公式应用于这样一类问题中，以及对以下定理的证明：如果无限地增加观察与实验的次数，那么不同性质的事件（数量）之比趋近于它们在其极限区间内的各自概率之比，其极限的区间将随着事件数量的增加而变窄，区间的长度可以小于任何给定的量。这个法则对于由观察获取现象的原因和定律极其有效。伯努利合乎情理地给予他的证明以极大的重要性，他说他对此已经深思熟虑二十年。

从雅克比·伯努利去世到他的著作出版这一段时间，蒙特莫特和德莫弗发表了两篇关于概率演算的论文。蒙特莫特的论文题目为《赌博的风险分析》，它包括了这种演算在各种赌博游戏中的大量应用。作者在第二版中增加了几封信，其中丹尼尔·伯努利给出了几个困难问题的独具匠心的解法。稍晚于蒙特莫特，德莫弗的论文首次发表于1711年的《哲学杂志》（Transactions Philosophiques）上，随后，作者就将之单独出版，在其后的第三版中他成功地改进了它。这部著作主要建立在二项式公式的基础上，其包含的一些问题解法具有最大程度的一般性。然而，它的最引人瞩目的特点是循环级数的理论及其在这个主题中的应用。这个理论是关于常系数线性有限差分方程的积分的，这个积分是德莫弗以一个非常令人满意的方法得到的。

在其著作中，德莫弗又重新讨论了关于由大数次观察所得到的结果的概率的雅克比·伯努利的定理。他并没有满足于展示必然发生的事件之比不断地趋近于它们各自的概率之比，就像伯努利所做的那样。他另外给出了这两个比之差位于给定极限之间的概率一个优美而简单的表述。为此，他求出了一个次数非常高的二项式的展开式的最大项与其所有项之和的比，以及最大项与其临近项之差的双曲对数。

许多学者已收集了大量的关于人口、出生、结婚和死亡率的精确数据，其中我们应该提及这些人：Deparcieux，Kersseboom，Wargentin，Duprde Saint-Maure，Simpson，Sussmilch，Messène，Moheau，Price，Bailey和Duvillard。他们已经给出了有关年金、保险等等方面的一些公式和表格。但是在这个简短的浏览中，我只能够提到这些有益的工作以便使之与起初的思想相吻合。在这些数中，特别要提到的是数学期望与道德期望，以及丹尼尔·伯努利为了分析后者已给出的独特的法则。如此他又一次令人满意地将概率演算应用于接种。尤其应该提及的是在这些最初的思想中从已观察到的事件中得到的对于事件的可能性的直接思考。雅克比·伯努利和德莫弗假设这些可能性是已知的，并寻求未来实验的结果将越来越接近于它们的概率。贝叶斯在1763年的《哲学杂志》上直接寻求由过去的经验所显示的可能性包含在给定的极限之中的概率，他已用一种精致与独特的方法做到了这一点，尽管这种方法有些令人费解。这个问题与原因的概率以及从已观察的事件推导出的未来事件的概率理论紧密相连，若干年后，我注意到那些在被假设为等可能性的偶然事件中可能存在的不等性的影响，借此我解释了这个理论的法则。尽管人们还不知道这些不相等性对哪些简单的事件有利，然而这种无知本身却常常使得复合事件的概率增加。

通过对于分析和概率问题的概括和总结，我得出了偏有限差分的计算，对此，拉格朗日已用一种非常简单的方法处理过，他已将这种方法完美地应用于这类问题中。几乎与此同时，我发表的生成函数的理论包括了这些主题，除此之外，它本身以最大的概括性适用于一些最困难的概率问题。经过极快的收敛逼近，还可以进一步求出包含大量项与因子的函数的一些值，由此可见周长与半径之比的平方根非常频繁地出现于这些值之中，这表明了无数其他的超越数也有可能被引入。

证言、投票、选举人和审议人的集体的决定，以及法庭的判决都已经被划归于概率的演算。如此之多的情感、各种各样的利益和环境使得与这个领域有关的问题更加复杂，以至于它们几乎通常是不可能解决的。但是，对于一些类似于它们的非常简单问题的解决时常可能会为一些困难和重要问题的解决提供一些线索，计算的确定性使得这个程序比那些相当似是而非的推理更好。

概率演算最有趣的应用之一是在观察的结果中必须选出的平均值。许多几何学家已经对这个问题进行了研究，拉格朗日在《都灵学报》发表了一个漂亮的方法，这是一个在观察误差的定律已知时求这些平均值的方法。为了同样的目标，我已给出基于一种独特设计的方法，这种设计可以有效地用于分析学的其他问题中，在函数的冗长计算的整个过程中，如果允许无限地延长，根据问题的性质，这些函数应该是有界的，这一点表明因为这些有界性，最后结果的每一项都应该借助于这些极限而得以修正。我们已经看到每一次观察都给出了一个一次条件方程，这个方程可以这样安排：其所有的项位于方程的左边，方程的右边为零。这些方程的使用是天文表中精确性显著提高的主要原因之一，因为在求它们的元素时，我们已经能够同时进行大量漂亮的观察。当只有一个元素待求时，寇次（Ctes）已规定那些条件方程应以这样的方式安排：每个方程中这个未知数的系数必须是正的，将所有这些方程相加以形成一个最终方程，从中就可以求出这个未知数的值。寇次的法则已被所有的计算者所遵循，但是，由于并不能够求出几个未知数，所以没有固定的法则来组合这些条件方程以获取所需的最终的方程：但是对于每一个未知量必须选择最适于求它的观察。为了消除这一系列的困难，勒让德和高斯想到一个方法：将条件方程左边的平方相加，将其中的每一个未知量当作变量，使得这个和达到最小值，以这种方式就可以直接获得与未知量的个数一样多的最终方程。但是，从这些方程所求得的值是否比用其他方法所得到的值要更加优越呢？这个问题单单由概率的计算就可以给出答案。因此，我将其应用于这个课题中，并通过精密的分析而得到了一个包括前述方法的法则，这进一步增加了根据常规步骤获取（未知）量的优越性，这种优越性将由给出最显著证据的所有观察以及将令人担忧的误差降低到最低的可能的求值而显现出来。

然而，我们只是具有了所得结果的不完善的知识，既然易受其影响的误差的定律还是未知的，我们就必须将确定这些误差位于给定的极限之间的概率，这实际上就是求出我称之为结果的权重的东西。为此，分析学给出了一些一般和简单的公式。我已将这种分析应用到大地观测的一些结果中。一般的问题在于求出一个或多个非常大量的观测误差的线性函数的值包含在任意极限之内的概率。

观测误差可能性的定律将一个常数引入这些概率的表达式中，这个常数有赖于关于这个通常未知的定律的知识。幸运的是这个常数可以从观察中得到。

在对天文元素的探测中，要求出每次观测与计算结果之差的平方之和。由于等可能的误差与这个和的平方根成正比，那么，通过比较那些平方数，就可以估计同一个星体的各种数表的相对精确性。在测地学的运算中，那些平方被每个三角形的三个角之和的平方的误差所代替。对于这些误差的平方进行比较将使我们能够判断用来测量角度的仪器的相对精确性。通过这个比较可以看到在测地学中经纬仪度盘的优势超过了被它替代的仪器的优势。

通常在观察中存在误差的原因有许多：而天体的位置是由经线望远镜和仪度盘求出的，两者都易出现误差，其出现误差的概率定律不可以假设为是相同的，从它们的位置推演出来的一些量会受到这些误差的影响。用来求出这些量的条件方程包括了每个仪器的误差，它们有不同的系数。应该将最优的因数系统分别乘以这些方程，因此，通过将这些积进行组合，就可以获得与所要求解的量一样多的最终方程，这个最优的因数系统就不再是每个条件方程中那些（未知）元素的系数系统。无论可能有多少误差的原因，我所用的分析学可以非常容易地导出能够给出最优结果的因数系统，或者说在这些结果中相同的误差比在其他任何系统中出现的可能性小。同样的分析方法也会导致这些结果的误差概率的定律。这些公式包含了与误差的原因同样多的未知常数，它们（这些常数）取决于这些误差的概率定律。已经看到，在单一原因的情况下，这个常数可以通过以下方式求出：当用所发现的值替代（未知）量时，构成每一条件方程的残差的平方之和。一般地，用类似的过程给出这些常数的值，无论常数的个数有多少，这种方法使概率演算在观察结果中的应用得以完善。

在这里，我应当作一个重要的解释。对于我刚才谈到的常数的值，观察所造成的微弱的不确定性，当观察的次数不是非常大时，也会引起用这种分析所求得概率的细微的不确定性。但是，几乎足以总是知道观察结果中的误差被包含在很狭小的范围的概率是否非常接近于1；如果并非此种情形（这个概率不接近于1）时，为了获取一个概率使其满足不再对有关结果的正确性存有合理的疑问，也足可以使人们知道还需要再进行多少次观察。概率的分析公式完美地满足了这个要求，在这一方面，它们可以被视为建立在总体观察基础上的易谬科学的必要补充。在解决自然和道德科学中的大量问题时它们同样是不可缺少的。现象的规则原因最常见的情况是或者不为人所知，或者是因为太复杂而难以划归为计算，更通常的情况是它们的作用经常受到意外的和不规则原因的打扰：但是它通常会在由所有这些原因所导致的事件上留下印迹，并且它也会引起一些调整，这些调整只有经过大量的观察才能确定。概率的分析解释了这些调整：它确定这些原因的概率，并且表明了不断增加这个概率的方法。所以在影响大气的不规则的原因当中，太阳温度从白天到黑夜、从冬天到夏天的周期性变化在这个巨大的流体团的压力中以及相应的气压计高度中就导致了每日和每年的振荡，大量的气压观察已揭示了前者的概率至少等于我们当作是确定的事实的概率。一系列的历史事件再次向我们显示，在每天以各种方式影响社会的激情和各种利益中，伟大的伦理法则的恒定作用。值得注意的是，一门起源于机遇性游戏的科学，其本身应该被提升到最重要的人类知识领域之列。

我在《概率的分析理论》中收集了所有这些方法，其中我尝试用最一般的方式阐述概率演算的原理和分析，同样也论述了这种演算提供的最有趣和最困难的问题的解法。

综上所述，概率理论归根结底就是将常识划归为计算；它使我们能够精确地估计思维健全的人们通过某种本能感受到，但又总是不能说出这种精确性的原因。它没有为观点的选择和立场的接受留下任何的随意性，通过它的应用总是能够决出最有利的选择。因此，它最好地弥补了人类的无知与弱点。如果我们想一想这个理论所产生的分析方法；作为基础而起作用的法则的真理性；它们所致力于问题解决中所需要的精密和细致的逻辑；基于其上的公用事业的建立；通过应用于自然科学和道德科学最重要的问题它已经获得的扩展以及即将获得的扩展；如果我们再想一想甚至那些不能化归于计算的事情，它在我们的判断中给出最有把握的暗示，它教会我们避免经常误导我们的谬误；然后，我们将会看到没有一门学科比它更值得我们思考，也没有一个比它有用的学科更值得纳入到我们的公共教育系统中。

【注释】

[1]详细的解释参见：Philosophical Essay on Probabilities，Translated of the 5th French edition of 1825with Notes by the Translator Andrew I.Dale，Springer-Verlag 1995：159-160。

[2]亚历山大·洪堡，于1799年至1804年间远赴南北美洲和拉丁美洲进行长途旅游和科学考察。1807年至1827年，他旅居法国长达21年，在巴黎出版了多部著作，其中最著名的有《1799～1804年新大陆热带区域旅行记》（30卷）等。

[3]根据安德鲁·戴尔（Andrew I.Dale）的解释，拉普拉斯在此处将布丰给出的1770年至1774期间的数据（36∶37）与布丰列出的Carcelle-le-Grignon之前的所有教区的数据混淆了，见：Philosophical Essay on Probabilities，Translated of the 5th French edition of 1825with Notes by the Translator Andrew I.Dale，Springer-Verlag 1995：163-164。

[4]在罗伯斯比尔的雅各宾派专政之后，法兰西共和国政府在1795年6月25日通过法律条文，决定组建法国经度局（Bureau of Longitudes），统一领导全国的天文和航海工作，包括原法国科学院的度量衡委员会和巴黎天文台等单位，拉普拉斯是经度局的领导成员。

[9]即最小二乘法。

[10]布瓦尔的主要贡献是详细观察了天王星运行中的不规则性，以及关于太阳系中存在第八颗行星的假设，这个假设的证实是海王星的发现。

[11]冲（opposition）：由地球上看到外行星或小行星与太阳的黄经相差180°的现象；方照（quadrature）：由地球上看到外行星或小行星与太阳的黄经相差90°的现象。

[12]詹姆斯·布拉德雷（James Bradley，1693—1762），英国天文学家。

[13]第谷·布拉赫（Tycho Brahe，1546—1601），丹麦天文学家。

[14]约翰尼斯·伯格（Johannes Burg，1766—1835），奥地利天文学家，时为法国科学院成员。

[15]盖乌斯·普林尼·塞孔都斯（Gaius Plinius Secundus，约公元23或24—79），也称老普林尼（与其养子小普林尼相区别），古罗马的博物学家，以其所著《自然史》一书著称。

[16]约翰尼斯·开普勒（Johannes Kepler，1571—1630），德国天文学家、物理学家、数学家。《论火星的运动》（De Motu Stellae Martis）是其关于天文学的著作之一。

[17]雷蒙德（Louis Francoislisabeth Ramond，baron de Carbonnières，1755—1827），法国政治家、地质学家和植物学家，时为法国科学院成员，拉普拉斯的同事。

[18]贝塞尔（Friedrich Wilhelm Bessel，1784—1846），德国天文学家，数学家，天体测量学的奠基人之一。

[19]参见拉普拉斯：《宇宙体系论》，李衍译，上海译文出版社2001年版，第五篇的第六章和附录七。

[20]道德科学（moral sciences）是具有启蒙时代色彩的一个名称，它与19世纪以后发展起来的社会科学（Social science）具有许多共同的方面，两者也具有一个历史上的连续性，但是道德科学与社会科学却具有本质的区别。参见本书上篇的第二章2.5节，“概率与道德科学”，第57—62页。

[21]对于“证言的概率”的数学论述，参见拉普拉斯的《概率的分析理论》（Thorie Analytique des Probabilits）的第十一章。

[22]让·拉辛（Jean Racine，1639—1699），17世纪法国的剧作家、诗人。

[23]布莱斯·帕斯卡尔，17世纪法国的数学家、科学家、神学家。

[24]拉普拉斯在这里所述事件的当事人是帕斯卡尔的外甥女玛格丽特·皮埃尔（Marguerite Prier，1646—1733），她是帕斯卡尔的姐姐吉尔贝特（Gilberte Prier）的小女儿。玛格丽特自幼一只眼患有顽疾——泪管瘘，1654年她被送到波尔·罗亚尔修道院（Port-Royal），1656年3月因为用患处触摸了装在盒子中的基督荆棘冠上的一根荆棘，眼疾竟然奇迹般地痊愈了。这件事在当时引起了巨大的轰动，著名的法国作家、诗人让·拉辛（Jean Racine）在他的《波尔·罗亚尔的历史》（Abrgde l’histoire de Port-Royal）中对此事件有详细的记述。

[25]波尔·罗亚尔修道院（Port-Royal）是17世纪法国天主教运动中涌现的一个教义激进的詹森主义教派的大本营，修道院位于巴黎的郊外。

[26]让·拉辛在《波尔·罗亚尔的历史》（Abrgde l’histoire de Port-Royal）中的记载。

[27]约翰·洛克著：《人类理解论》（下册），关文运译，商务印书馆1997年版，第四卷，第十六章“同意的各种等级”，第13段，第664—665页。原文为：“在一种情形下，相反的经验也并减少不了它自身的证据——普通的经验和日常的事情，对人心虽然有很大的影响，使他们在听到任何要他们信仰的事物时表示信任和怀疑，不过在一种情形下，一种事情并不能因其奇特就使我们不同意于人所给予它的公平证据。因为上帝既然有权力来改变了自然的途径，所以他任何时候觉得这一类超自然的事件合于他的企图，在那些情形下，那些事件和平常的观察愈相反，愈应得到人的信仰。这就是所谓的神迹。这些神迹如有适当的经验，则不但它们自身得到信仰，而且会使别的要它们来证实的真理得到信仰。”

[28]指帕斯卡尔赌注，见本书上篇第二章2.4节的介绍，本书第52—57页。

[29]约翰·克雷格（John Craig）是与牛顿同时代的苏格兰数学家，他还有另外一个更为人所知的名字Craige，其出生日期不详，卒于1731年。克雷格著有多部作品，最具盛名的是《基督教神学的数学法则》（1699），该书的主旨是借助数学方法来确定历史事件发生概率的问题，尤其关注对耶稣事迹的考证。美国的概率与统计史学家Stephen M.Stigler认为，尽管克雷格的研究方法一直被许多人所不肖，拉普拉斯就是对其持坚决的否定态度的学者之一。但从现代的观点看来，他的观念和方法在许多方面都远远超越了他的时代整整三百年，他的工作被看作是“对社会进程进行数学模拟的一次卓越的早期实践。”——见Stephen M.Stigler，John Craig and the Probability of History：From the Death of Christ to the Birth of Laplace，Journal of the American Statistical Association，Vol.81，No.396.（Dec.，1986）：879-887。中译文见《统计探源：统计概念和方法的历史》，李金昌等译，浙江工商大学出版社2014年版，第193—212页。

[30]拿破仑时期的法国银行家唐提（Lorenzo de Tonti）于1653年倡导的一种养老法（即联合养老金制）是一种集资办法，所有的参加者共同使用一笔基金，每当一个参股者死后，剩下的人就得到逝去的参股者剩余下的份额，最后一个活着的人或过了一定时间依然活着的人获得剩下的所有金额。这是一种寿险和赌博的混合物，在17、18和19世纪曾风靡一时。

[31]这是一个典型的复利率的问题。

[32]用符号表示为：V＝S·p·（1＋i）-n，其中S是总的年费，p是若干年后可以支付的概率，i是利率，n是年数。

[34]拉普拉斯在《概率的分析理论》的第十章“道德期望”中有专门的纯数学的探讨。

[35]这个问题的大意是：将一颗骰子掷4次，至少出现一次“6”的可能性就大于二分之一了（1-625/1 296）。如果一次掷一对骰子，总的可能结果数是掷一个骰子的六倍（6×6），因此要使得至少出现“一对6”的可能性大于二分之一，相应地投掷次数也必须为前者投掷次数的六倍，即24次。然而德·梅勒根据自己的赌博经验发现情况并非如此，经验显示他需要掷25次才能得到这样结果，于是他认为这是数学的一个大丑闻。

[38]拉普拉斯此处提及的应该是康熙时代来华的教士闵明我（Philippe-marie Grimaldi，1639—1712）。清初“历狱”平反以后，闵明我冒充已从广州逃回欧洲的原多明我会传教士闵明我（Domingo Fernandez Navarrete，1618—1686），被南怀仁（Ferdinand Verbiest，1623—1688）招到北京，帮助他修改历法。他曾被康熙委任为外交特使，通过与莱布尼茨的通信，将中国的某些数学、科学等介绍给欧洲。1688年南怀仁病故后，康熙任命闵明我为钦天监监正。

[40]喜帕恰斯（Hipparchus，又名依巴谷，约公元190—约公元120），古希腊天文学家、地理学家、数学家。

[41]马库斯·图留斯·西塞罗（Marcus Tullius Cicero，公元前106—公元前43），古罗马著名政治家、演说家、雄辩家和哲学家。

[42]西塞罗：《论神性》，上海三联出版社2007年版，第二卷，第72页。

[43]在这一章中，从此处开始的以下部分是根据安德鲁·戴尔（Andrew I.Dale）的1995年的英译本《概率的哲学探究》译出的。在1902年F.W.Truscott和F.L.Emory的英译本中，这一部分是空缺的。

[44]拉普拉斯此处所指的哲学家或许是孔狄亚克（E.B.de Condillac，1714—1780）、卡巴尼斯（P.J.G.Cabanis，1757—1808）等人。

[45]帕斯卡尔：《思想录》，何兆武译，北京：商务印书馆1997年版，第240页。

[46]帕斯卡尔：《思想录》，何兆武译，北京：商务印书馆1997年版，第252页。

[47]盖乌斯·尤里乌斯·恺撒·奥古斯都（拉丁语：Gaius Julius Caesar Augustus，公元前63年—公元14年），原名盖乌斯·屋大维·图里努斯（Gaius Octavian Thurinus），罗马帝国的开国君主，元首政制的创始人，统治罗马长达40年。

[48]［法］米歇尔·德·蒙田：《蒙田随笔全集》，上海书店出版社2009年版，此句引自第三卷，第十三章“论阅历”，原文为“无知与不经心是多么柔软、舒适和安全的枕头，一个设计精良的脑袋可在其上高枕无忧。”

[49]胡德（Johann Hudde，1628—1704），荷兰数学家，范斯柯登（van Schooten）的学生。

[50]德·维特（Johan de Witt，1625—1672），荷兰数学家。

[51]埃德蒙·哈雷（Edmond Halley，1656—1742），英国天文学家、数学家。