晶体微观对称要素

晶体微观对称要素_结晶矿物学

二、晶体微观对称要素

从晶体的特性可知，晶体的外部形状是有限的几何图形，是晶体的宏观属性。晶体外形具有的对称是宏观对称，具有有限性。即表现在晶体宏观形态上对称要素的种类、数目及空间的分布方位都是有限的。而晶体的微观对称要素是晶体内部结构的对称要素，即晶体的空间格子中表现出来的对称要素。由于晶体的空间格子是由晶体内部质点沿三维空间作周期性排列形成的无限几何图形。因此，晶体的微观对称要素比宏观对称要素要复杂得多。但由于二者都由晶体所决定，所以二者之间具有明显的区别与产生必然的联系。

（一）晶体微观对称要素种类

由于晶体结构属于微观无限图形范畴，在三维空间上可产生移动。所以产生出来的对称要素的数目都是无穷的。而表现出来的对称要素的种类如下：

1.晶体结构中出现宏观上也具有的对称要素

2.平移轴与平移操作

平移轴为晶体结构中沿任意方向上假想的一条直线。相应的对称操作为沿该直线平行移动一定距离，晶体结构中所有要素，即质点、行列、面网均可重复。因此，平移轴的数目是无数的。

由于每一种晶体结构都是由空间格子组成。从第一章的内容中可知，空间格子的种类是有限的。即自然界所有晶体的结构均是由十四种空间格子（布拉维格子）沿空间所有方向重复堆积的结果。所以十四种空间格子则构成十四种平移对称要素。每一种平移对称要素（空间格子）的平移方向是无数的，即沿空间格子中任意的行列平移一定距离，均使所有结晶要素可以重复。

3.滑移面与反映加平移操作

滑移面又被称为像移面或滑移对称面。为晶体结构中的一个假想平面和平行该平面的一组直线方向构成。滑移面进行的对称操作为一个复合的动作，结晶要素先沿该平面进行反映，再沿直线方向滑移一定距离后使结晶要素可重复。当然也可使结晶要素先沿直线方向滑移一定距离后再沿该平面进行反映，使结晶要素可重复。

按照滑移的距离和方向，可将滑移面分为以下五种，如附二图1所示：

附二图1　五种滑移面特征

a，面平行晶轴b+a方向，反映后沿X轴方向滑移a/2或－a/2；

b，面平行晶轴a+b方向，反映后沿Y轴方向滑移b/2或－b/2；

c，面平行晶轴c+b方向，反映后沿Z轴方向滑移c/2或－c/2；

n，面可垂直X、Y、Z晶轴及X+Y、X+Z、Y+Z等方向，反映后滑移的方向与距离可分别为1/2（a+b）；1/2（b+c）；1/2（a+c）；1/2（a+b+c）；1/2（－a+b+c）；1/2（a－b+c）；1/2（a+b－c）。在六方格子中也可为1/2（2a+b）；1/2（2a+c）；1/2（2b+c）；1/2（2a+b+c）等。在立方面心格子中也可为1/4（a+2b+c）；1/4（2a+b+c）；1/4（a+b+2c）。

d，面可垂直X、Y、Z晶轴等，反映后滑移方向及距离为1/4（a+b）；1/4（b+c）；1/4（a+ c）；1/4（a+b+c）。

4.螺旋轴与旋转平移操作

螺旋轴为晶体结构中的一条假想直线，及与该直线平行的方向所构成。螺旋轴所进行的操作为一个复合的动作，为结晶要素绕该直线进行旋转一定角度后再沿该直线方向进行移动一定距离后使结晶要素可重复。当然也可使结晶要素先沿直线方向滑移一定距离后再绕该直线旋转后，使结晶要素可重复。

按照螺旋轴旋转的角度与滑移的距离可分为以下几种：

从晶体对称规律可知，螺旋轴的轴次应与对称轴的轴次相同，只能为1、2、3、4、6；相对应的最小旋转角度（基转角）只能为360°、180°、120°、90°、60°。若螺旋轴旋转后沿轴方向滑移的距离用t表示，而该方向上结点间距用T表示，则t=（s/n）T。这里n为螺旋轴的轴次，s为小于n的自然数。如果s=n，则螺旋轴变成同轴次的对称轴。

螺旋轴的国际符号为n_s。

根据n与s的关系，螺旋轴可分为如附二图2、3所示的11种：

2₁，螺旋轴旋转180°，沿轴方向滑移结点间距的1/2；

3₁，螺旋轴逆时针旋转120°，沿轴方向顺滑移结点间距的1/3；

3₂，螺旋轴逆时针旋转120°，沿轴方向顺滑移结点间距的2/3；

4₁，螺旋轴逆时针旋转90°，沿轴方向顺滑移结点间距的1/4；

4₂，螺旋轴逆时针旋转90°，沿轴方向顺滑移结点间距的1/2；

4₃，螺旋轴逆时针旋转90°，沿轴方向顺滑移结点间距的3/4；

6₁，螺旋轴逆时针旋转60°，沿轴方向顺滑移结点间距的1/6；

6₂，螺旋轴逆时针旋转60°，沿轴方向顺滑移结点间距的1/3；

6₃，螺旋轴逆时针旋转60°，沿轴方向顺滑移结点间距的1/2；

6₄，螺旋轴逆时针旋转60°，沿轴方向顺滑移结点间距的2/3；

6₅，螺旋轴逆时针旋转60°，沿轴方向顺滑移结点间距的5/6。

对于螺旋轴1₁，由于滑移距离等于结点间距则质点重复，所以螺旋轴1₁则为一次对称轴。

从以上操作过程可知，螺旋轴是以逆时针旋转（右旋）加滑移距离而命名的。但实际上螺旋轴的旋转也可以为顺时针旋转（左旋）进行的，但滑移距离为（1－n_s）。如3₂，若按顺时针旋转（左旋）进行，则滑移距离为1－2/3=1/3。有些螺旋轴，左旋与右旋的结果完全相同则被称为中性轴，如2₁、4₂、6₃。

一般规定，螺旋轴n_s，0＜s＜n/2者，为右旋螺旋轴，包括有3₁、4₁、6₁、6₂；n/2＜s＜n者，为左旋螺旋轴，包括有3₂、4₃、6₄、6₅；而s=n/2者为中性旋螺旋轴，包括有2₁、4₂、6₃。

晶体结构中对称轴、螺旋轴、对称面、滑移面的图示符号见附二表1。

附二表1　晶体结构中对称轴、螺旋轴、对称面、滑移面的图示符号

附二图2　2、3、4次螺旋轴

（二）空间群

1.空间群的概念

空间群为晶体结构中所有对称要素的集合。由于晶体结构中的微观对称要素的种类，包括宏观的对称面、对称轴、平移轴（群）、滑移面、螺旋轴的种类数目要远远大于晶体外形的宏观对称要素数目，因而空间群的数目要远大于对称型（点群）的数目。空间群的数目共有230种，它由俄国科学家费德洛夫（1889年）与德国科学家圣弗利斯（1891年）独立推导出来的，所以空间群又被称为费德洛夫群或圣弗利斯群。

附二图3　6次螺旋轴

2.空间群的表示方式

空间群共有230种，它的符号表示方式有两种：国际符号与圣弗利斯符号。

国际符号是目前使用比较广泛的一种空间群符号。它是由两类符号合并而成的，一类为平移群（空间格子）符号，即为P、A、B、C、I、F英文大写；另一类为对称群的国际符号，即按晶体晶系确定空间主要方位对称要素的符号并按一定顺序排列而成。例如Fm3m。

空间群国际符号的优点为比较简单，晶体对称要素组合规律比较明确，对称要素空间分布方位比较直观，空间格子类型清楚，结点分布规律比较清晰，比较容易记忆与理解。

空间群国际符号的缺点为受晶体定向的制约性比较强。由于晶体定向的不同，使得一些空间群的符号发生重复或带来变化而造成对称要素空间分布的不确定性。

圣弗利斯符号也是使用比较广泛的一种空间群符号。它是在晶体宏观对称型的圣弗利斯符号的基础上，在其右上角加序号构成的，如C₄¹。

空间群圣弗利斯符号的优点为该符号组成固定，即一种空间群只有一个固定的表示符号，不会产生混乱。

空间群圣弗利斯符号的缺点为它表示的空间群的对称不直观，含义比较模糊，不容易理解与接受。

所以，目前在表示空间群时通常将两种符号同时使用。

3.空间群与对称型（点群）的关系

晶体结构的空间群虽然是在晶体的宏观对称型（点群）的基础上演绎出来的，但二者表达的含义明显不同。空间群阐明的是晶体结构的无限图形上的质点、面网、行列的对称特点，它表达的是微观的对称规律，是反映晶体内部质点之间发生接触、排列、组合的关系，是晶体形成、生长的根本制约因素。

晶体外形的对称型（点群）是描述晶体的宏观组成规律，它可表达出晶体在理想条件下，其形态、性质上相同晶面、晶棱、角顶在空间的分布规律，是反映晶体晶面的排列组合及其变化的特征与特点，是人们从宏观上认识晶体、鉴定晶体、利用晶体的理论基础与指路明灯。

但是晶体的形成与生长是一个复杂的过程。晶体的生长首先要受到其晶体结构的制约。它的形态与物理、化学性质是晶体结构的宏观表现形式。因此晶体的空间群与对称型（点群）之间必然有着不可分割的关系。

晶体的宏观对称要素及其组合（点群）要受到晶体内部微观对称要素的制约，即晶体内部质点的排列规律及对称特点决定着宏观对称规律。只有晶体内部具有对称特点才能导致晶体宏观出现与此相同或相近对称规律。但二者出现的环境条件又不相同，即晶体内部是无限图形，质点可以移动，对称要素也可移动；晶体外形是有限图形，组成要素是无法移动的。如果使空间群的平移因素消失，则空间群变成点群；同样在点群中增加平移的因素，则点群变成空间群。

空间群与点群是描述晶体不同方面的对称规律。由于点群中没有平移特征，所以每一个点群可有许多种空间群与之适应，即对称型相同的晶体其内部的结构可以不相同，可以分属于不同的空间群。例如外形上同属于m3m的对称型的晶体内部质点的排列可能有石盐型（空间群为Fm3m）、金刚石型（空间群为Fd3m）等。但每一种空间群只能对应一种点群。如金刚石空间群Fd3m在宏观上只能呈现出m3m的对称特点。

230种空间群的分布见附二表2。

附二表2　230种空间群

续表

续表

关于圣夫利斯符号的说明：
Cn表示对称轴；右下角数字n表示轴次；加‘i’表示具有对称心；右下角加‘h’表示具有垂直该轴的对称面存在；右下角加‘v’表示具有平行该轴的对称面存在。
D表示具有相互垂直的对称轴存在，右下角数字n表示轴次，右下角加h表示具有垂直该轴的对称面存在；T表示四面体特征；O表示八面体特征。

4.空间群投影

空间群的投影方式与对称型的投影方式完全相同，只是在投影图中将宏观对称要素换成对应的微观对称要素。但投影图是以晶胞投影表现的，投影图的形态与晶体结构的对称性有关。等轴、四方晶系的晶体结构投影图为正方形形式；三、六方晶系晶体结构投影图为边长相等的平行四边形；而斜方晶系的晶体结构投影图为长方形；单斜、三斜晶系晶体结构投影图为平行四边形。例如附二图4所示，金红石晶体结构及空间群D_4h¹4－P4₂/mnm的投影图。

附二图4　金红石晶体结构（a）与空间群投影（b）（引自王永华，1990）