层次分析法分析过程举例

3．层次分析法分析过程举例

例4.1下面以A市政工程项目为例对层次分析法的基本过程作具体分析。

A市管理人员需要对一项市政工程项目进行决策，可选择的方案是:第一,修建一条高速路（简称建高速路）；第二，修建一条城区地铁（简称建地铁），除了考虑经济效益外，还要考虑社会效益、环境效益等因素，这是一个典型的多准则决策问题。

3.1递阶层次结构的建立

应用AHP解决实际问题，首先明确要分析决策的问题，并把它条理化、层次化，理出递阶层次结构。

可以看出在该决策问题中，市政管理人员希望通过选择不同的市政工程项目，使综合效益最高，即决策目标是“合理建设市政工程，使综合效益最高”。

为了实现这一目标，需要考虑的主要准则有三个，即经济效益、社会效益和环境效益。但问题绝不这么简单。通过深入思考，决策人员认为还必须考虑直接经济效益、间接经济效益、方便日常出行、方便假日出行、减少环境污染、改善城市面貌等因素（准则），从相互关系上分析，这些因素隶属于主要准则，因此放在下一层次考虑，并且分属于不同准则。

假设本问题只考虑这些准则，接下来需要明确为了实现决策目标、在上述准则下可以有哪些方案。根据题中所述，本问题有两个解决方案，即建高速路或建地铁，这两个因素作为措施层元素放在递阶层次结构的最下层。很明显，这两个方案于所有准则都相关。

将各个层次的因素按其上下关系摆放好位置，并将它们之间的关系用连线连接起来。同时，为了方便后面的定量表示，一般从上到下用A、B、C、D…代表不同层次，同一层次从左到右用1、2、3、4…代表不同因素。这样构成的递阶层次结构如图4.2。

图4.2　递阶层次结构示意图

3.2构造判断矩阵

根据递阶层次结构就能很容易地构造判断矩阵。

构造判断矩阵的方法是：每一个具有向下隶属关系的元素（被称作准则）作为判断矩阵的第一个元素（位于左上角），隶属于它的各个元素依次排列在其后的第一行和第一列。

填写判断矩阵的方法是：向填写人（专家）反复询问：针对判断矩阵的准则，其中每两个元素两两比较哪个重要，重要多少，对重要性程度按1～9赋值（重要性标度值见下表）。

表4.1　重要性标度含义表

设填写后的判断矩阵为A=（aij）n×n，判断矩阵具有如下性质：

①a_ij＞0

②a_ji=1/a_ij

③a_ii=1

根据上面性质，判断矩阵具有对称性，因此在填写时，通常先填写a_ii=1部分，然后再仅需判断及填写上三角形或下三角形的n（n-1）/2个元素就可以了。

在特殊情况下，判断矩阵可以具有传递性，即满足等式：a_ij×a_jk=a_ik

当上式对判断矩阵所有元素都成立时，我们称该判断矩阵为一致性矩阵。

表4.2　判断矩阵表

3.3层次单排序与一致性检验

对于专家填写后的判断矩阵，利用一定数学方法进行层次排序。

单排序是指每一个判断矩阵各因素针对其准则的相对权重，层次单排序可以归结为计算判断矩阵的特征根和特征向量问题。计算权重有和法、方根法、幂法等，这里简要介绍和法和方根法。

（1）方根法

计算的主要步骤：

①计算判断矩阵A每一行元素乘积

②计算M_i的n次方根

③将Wi标准化为

则Wi为所求特征向量。

④计算最大特征值

（2）和法

计算的主要步骤：设A是判断矩阵。

①将A的每一列标准化

②将按行求和得

③将标准化为为近似特征向量。

④计算

需要注意的是，在层次单排序中，要对判断矩阵进行一致性检验。

前面提到，在特殊情况下，判断矩阵可以具有传递性和一致性。一般情况下，并不要求判断矩阵具有这一性质。但从人类认识规律看，一个正确的判断矩阵重要性排序是有一定逻辑规律的，例如若A比B重要，B又比C重要，则从逻辑上讲，A应该比C重要，若两两比较时出现C比A重要的结果，则该判断矩阵违反了一致性准则，在逻辑上是不合理的。

因此在实际中要求判断矩阵满足大体上的一致性，需进行一致性检验。只有通过检验，才能说明判断矩阵在逻辑上是合理的，才能继续对结果进行分析。

一致性检验的步骤如下。

第一步，计算一致性指标C.I.（consistency index）。

第二步，查表确定相应的平均随机一致性指标R.I.（randomindex）。

据判断矩阵不同阶数查下表，得到平均随机一致性指标R.I.。例如，对于5阶的判断矩阵，查表得到R.I.=1.12

表4.3　平均随机一致性指标R.I.表

第三步，计算一致性比例C.R.（consistencyratio）并进行判断

当C.R.＜0.1时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，C.R.＆gt;0.1时，认为判断矩阵不符合一致性要求，需要对该判断矩阵进行重新修正。上例层次单排序及检验结果见下。

表4.4　层次单排序及检验结果表

可以看出，所有单排序的C.R.＜0.1，认为每个判断矩阵的一致性是可以接受的。

3.4层次总排序与一致性检验

总排序是指每一个判断矩阵各因素针对目标层（最上层）的相对权重。这一权重的计算采用从上而下的方法，逐层合成。

很明显，第二层的单排序结果就是总排序结果。假定已经算出第k-1层m个元素相对于总目标的权重 ，第k层n个元素对于上一层（第k层）第j个元素的单排序权重是p_j（k）=（p_1j（k），p_2j（k），…，p_nj （k））T，其中不受j支配的元素的权重为零。令P^（k）=（p₁ （k），p₂（k），…，p_n（k））,表示第k层元素对第k-1层个元素的排序，则第k层元素对于总目标的总排序为：

同样，也需要对总排序结果进行一致性检验。

假定已经算出针对第k-1层第j个元素为准则的C.I._j（k）、R.I._j（k）和C.R._j（k）,j=1,2,…,m,则第k层的综合检验指标

当C.R.（k）＜0.1时，认为判断矩阵的整体一致性是可以接受的。上例层次总排序及检验结果见下：

表4.5　C层次总排序（CR=0.0000）表

表4.6　D层次总排序（CR=0.0000）

可以看出，总排序的C.R.＜0.1，认为判断矩阵的整体一致性是可以接受的

3.5结果分析

通过对排序结果的分析，得出最后的决策方案，仍看前例。

从方案层总排序的结果看，建地铁（D₂）的权重（0.6592）远远大于建高速路（D₁）的权重（0.3408），因此，最终的决策方案是建地铁。

根据层次排序过程分析决策思路。

对于准则层B的3个因子，直接经济效益（B₁）的权重最低（0.1429），社会效益（B₂）和环境效益（B₃）的权重都比较高（皆为0.4286），说明在决策中比较看重社会效益和环境效益。

对于不看重的经济效益，其影响的两个因子直接经济效益（C₁）、间接带动效益（C₂）单排序权重都是建高速路远远大于建地铁，对于比较看重的社会效益和环境效益，其影响的四个因子中有三个因子的单排序权重都是建地铁远远大于建高速路，由此可以推出，建地铁方案由于社会效益和环境效益较为突出，权重也会相对突出。

从准则层C总排序结果也可以看出，方便日常出行（C₃）、减少环境污染（C₅）是权重值较大的，而如果单独考虑这两个因素，方案排序都是建地铁远远大于建高速路。

由此我们可以分析出决策思路，即决策比较看重的是社会效益和环境效益，不太看重经济效益，因此对于具体因子，方便日常出行和减少环境污染成为主要考虑因素，对于这两个因素，都是建地铁方案更佳，由此，最终选择建地铁也就顺理成章了。