完美的二进制思想_莱布尼茨的故事

完美的二进制思想_莱布尼茨的故事

完美的二进制思想

不少中国人对莱布尼茨感兴趣的原因，出自一个以讹传讹的信息：莱布尼茨受中国典籍《周易》启发发明了二进制。不错，他的确对中国文化表现了十分浓厚的兴趣，并且堪称是提出融会中西文化的先行者，对中国文化也赞誉有加。但历史的真相是：莱布尼茨发明二进制与《周易》无关。

二进制由于在现代电子计算机中的重要性，因此其发明日渐为人们重视，莱布尼茨的这一数学创造值得大书一笔。

据偶然发现的一份笔记上的记载，莱布尼茨1674年在巴黎期间，已经研究了二进位算术，因此他发明二进位制的时间，大约是1672年至1676年在巴黎时。

他发明二进位制算术的学术渊源是什么？早期各种文明中，计数的进位制五花八门，我们在今天的日常生活中仍随处可见古代各种进位制的痕迹。小时、分、秒的时间计量单位采用60进位制即为一例。今天，在澳大利亚和非洲的某些最原始的民族中，就使用二进制。莱布尼茨当然不是从澳洲或非洲的土著人那里汲取的灵感。(www.guayunfan.com)据莱布尼茨自己宣称，他是受E·魏格尔的一部研究四进制的著作的启发而发明了二进制。魏格尔曾在1663年夏季教授给他欧氏几何、毕达哥拉斯——柏拉图的数学宇宙观。魏格尔认为四进制是神创造万物时所用的自然体系，因为1+2+3+4=10是毕达哥拉斯学派十分推崇的数，而古希腊的四元素说〔1〕等也构成了一种依据。这种数与神学的联系也在一定程度上影响了莱布尼茨。同时，还有一些欧洲学者研究十二进制、八进制的。甚至英国数学家、天文学家哈恩奥特（1560—1621）在一份未发表的手稿中已使用过二进制。在1670年出版的一部著作中，也出现了二进位制。

在明确标注1679年3月15日的手稿中，莱布尼茨明白无误地向世人记下了他的二进位制算术。1679年3月15日，他写了题为《二进位算术》的论文。对二进位制进行了充分的讨论，并与十进位制进行了比较：

0　1　2　3　4　5　6　7　8　9…

0　1　10　11　100　101　110　111　1000　1001…

21　22…　29　30　31　32…

1010　10110　11101　11110　11111　100000…

64…80…96　100…

1000000…1010000…11000001　100100…

同时阐明将二进位制数改写成十进位制数的法则：

1011000（二进位制）写成十进位制数就是

26+0+24+23+0+0+0

=64+16+8

=88

不仅如此，更重要的是，他还阐明了正确的二进位制加法、乘法规则。例如，他给出了以下这类实例：

这样，莱布尼茨完整地建立了二进位制的表示及其运算，是一大完美的数学创造。

二进位制创造工作完成后，他没有马上发表，后来又忙于微积分的改进、发表及其他一些数学、科学和社会事务了。直到15年后，才重新审视这一重要数学创造。

1695年5月，在与鲁道夫·奥古斯特大公的一次谈话中，莱布尼茨谈起了二进位制。大公对此非常感兴趣，认为一切数可由0与1创造出来这一点，为基督教《圣经》中所描述的创世纪提供了依据。这是因为，唯一完美的上帝从无到有创造了世界，这样就与一切数的根源来自0与1这一体系对应起来了。

大公的一席话，激发了他研究完善二进制算术的热情，同时他还想以大公的数字——神学联系的想法来争取人们对其二进位制的关注。

1697年1月2日，在呈送大公的信函中，莱布尼茨特地奉上了他创造设计的象征二进位制的纪念章图案，以此当做新年礼品。纪念章正面是大公图像，背面的设计则反映了莱布尼茨的创造和深刻思想：水面上笼罩着一片黑暗，顶部光芒四射——象征《圣经》中创世纪的故事；中间排列着二进位与十进位制数字对照表：

0　1　10　11　100　101　110　111　1000　1001

0　1　2　　3　　4　　5　　6　　7　　8　　9

1001　1011　1100　1101　1110　1111　10000　10001

10　　11　　12　　13　　14　　15　　16　　17

图表的两侧是我们在前面曾引用的二进位制加法、乘法的实例。

判断任何创造都必须有标准。我们说一种文明中采用了哪一种进位制，必须有足够的证据。在这种进位制体系中，有表示数的系统，还必须有运算的规则。莱布尼茨之所以在一个小小的纪念章上，标记上数字对照表和加法、乘法实例，乃在于他认识到，只有这样才能明白无误地表明他创造了二进位记数法。我们在评说历史时应该坚持这样明确的准则，否则牵强附会，只能自欺欺人。

纪念章外缘上方是“2，3，4，5，……用一，从无，可生万物”，神秘而雅致，令人赏心悦目。

纪念章图案的下方则写着：

创世纪的景观。

基督纪元1697年莱布尼茨〔2〕发明（Am.Chr.Invan. G.G.L.*MDCXCVII）。

据莱布尼茨自己的解释，纪念章正面大公头顶上皇冠的记号串，表示数1贯穿着0，同时也寓意着：必要的东西只能有一个。在二进制中，他已寻找到了事物从无开始的连续的创造，以及万事万物依赖于上帝而存在的美妙图像。

在他看来，1与0这两个符号，反映着上帝从无到有、肯定与否定、完美与破缺、主动与被动、表象与本质等诸事物的起源。完美只能归属于上帝。完美的（1）与不完美的（0）是莱布尼茨本体论的基本象征。

从数学上来说，他创造二进位制的意义在于开辟认识数字规律的新道路。在他看来，数字的十进位制表示看不出什么明显的规律，而将二进位制数并列起来，数列中就会呈现出奇妙而完美的规律。

注　释

〔1〕　关于世界有水、土、气、火四种元素构成的学说。

〔2〕　G. G. L.是莱布尼茨拉丁文姓名的三个首写字母（Gotefridvs Gvilielmvs Leibnizivs）