不稳定概率法分析边坡的稳定性

不稳定概率法分析边坡的稳定性_边坡稳定性分析与

5.5　不稳定概率法分析边坡的稳定性

5.5.1　可靠性的定义

安全系数法是一种基于极限平衡理论的定数论方法，它未考虑边坡体的可变性。然而，恰恰是这种可变性妨碍了边坡稳定性的精确程度，造成某些设计计算是稳定的边坡，却发生了不稳定。通过不稳定概率与安全系数的对比，更能说明产生这种现象的原因，更能理解可靠性的真实意义。

安全系数法的一个基本假定是：临界安全系数为1，若小于1时，边坡将要发生破坏，边坡的不稳定依从于抗滑力与滑动力的变化。若以岩体强度S与作用力σ分别代表抗滑力与滑动力，它们的分布概率如图5.36所示。当安全系数为1时，实际上其不稳定概率为0.5，如图5.36（a）所示。即使安全系数等于2，也将存在不稳定，如图5.36（b）阴影区所示。只有利用各参数的可变性数值来评价边坡的可靠性，确定不稳定的可能性，然后估计出滑动的危险，才是比较完善的方法。

图5.36　不稳定概率与安全系数的对比

必须指出：不稳定事件的发生是受边坡体的不肯定性、变化性和不均一性所制约，统计学与概率论正好为描述各变量的固有不稳定性，建立不肯定性模型，为揭示事件发生的固有属性，定量估计事件发生的可能性提供了实际工具。可靠性理论就是以统计学与概率论为理论基础的，虽然它不能卜算肯定的未来，但可预测统计的平均值和标准离差，比较近似地把握边坡性态的完整变化，控制边坡的不稳定概率。

从稳定性的角度出发，可以把可靠性（R）定义为：在估量影响稳定的许多参数变化的情况下，计算求得的安全系数大于1，即保持稳定的相对频率，而不稳定概率为（1-R）。鉴于可靠性系许多变量的函数，因此，从数学概念上可把可靠性——稳定概率称为这许多变量的联合概率。

5.5.2　不肯定性的函数表示

影响边坡稳定性的因素可略分为2类：不可控制因素，如岩层构造、岩体强度等；可控制因素，如边坡形状、爆破震动、地下水位等，它们都是变量。

绝大多数高陡边坡是由多种岩石组成，而各岩层的力学性质不仅互不相同，而且，同一种岩石也会表现出一定差异，结果必然造成力学性质上的时空变化性。

要绝对肯定地测得和预测这些不肯定变量的数值是不可能的，但是，这些变量具有概率规律性，因此可由概率分布函数来描述，概率论的公理普遍适用。即任一随机事件的出现概率，在全部可能出现的结果中，必定是在0～1，概率分布函数的全概率必定为1。若A和B是相互排斥的事件，则A和B有一出现的概率必定是相加，亦即P（A∪B）＝P（A）＋P（B）；若A和B相互独立，A，B同时出现的概率是相乘，即P（A∩B）＝P（A）P（B）。

不稳定概率法的基本观点是：在设计边坡时要同时考虑到两个主要因素对边坡稳定性的影响，其一是岩石的强度因素，其二是岩石的结构构造的空间状态后几何条件因素（主要是指岩体的节理、裂隙和断层等的倾角以及长度）。此法的主要特点是：在大量统计、调查和试验的基础上进行归纳，再进行多方案比较，最后求得计算的不稳定概率以P计表示。P计就是衡量边坡稳定程度的主要标准，P计越大表示边坡越不稳定。一般设计采用的不稳定概率P计小于10%～30%（P计为设计取用值）。

如果能够满足实测到某些变量的大量样品，便可求得样品频率分布，这样频率分布的通用表示方法是直方图。图5.37（a）表示由一组裂隙倾角值的频数（率）直方图。因为它是连续变量，故能用一条平滑的曲线拟合于直方图，根据频率除以直方图间隔的换算，便可得到概率密度函数（如图5.37（b）），它代表可能观测值的数学模型。对任一x值，概率密度曲线以下的面积总是x值等于或小于该值时出现的概率。如果累积诸倾角的面积，便可得到图5.37（c）所示的累积概率分布函数。

实测结果表明：裂隙走向、倾角、内聚力、内摩擦角和容重等均近似地服从于正态分布，即：

式中　Y——变量的密度函数；

　M——变量的平均值；

　S——变量的标准离差。

图5.37　裂隙倾角概率分布

因此，人们经常把所测变量和这一理论曲线相拟合，可用下述方法求得（5.89）式中的参数。

对于单因子，变量平均值

标准离差

式中　n——x的总频数。

对于双因素，当变量x和y均按正态分布并为独立变量，分别具有M_x，S_x，M_y，S_y，可采用下面的正态分布方程：

图5.38　裂隙间距的负指数分布

当标准离差值S_a为均值的5%时，可用（5.95）式和（5.96）式；当S_a值为均值的30%时使用以上公式的误差可达10%；但当S_a值大于平均值40%时，则需采用蒙特卡洛法计算。

其他参数则服从于其他分布，例如裂隙长度，裂隙间距拟合于负指数分布，即：

式中　f（x）——裂隙间距x的密度函数；

　λ——平均单位长度上的裂隙数。

图5.38给出某一测线上裂隙间距的分布。

5.5.3　可靠性分析

在边坡稳定性分析中，利用不稳定概率来表达稳定性分析的结果，不稳定事件的发展既包含着必然性方面，也包含着偶然性方面，是必然性与偶然性交织在一起，共同影响着不稳定的发展过程。详细地分析事件之间的种种关系，不仅可以帮助人们深刻地认识事件的本质，而且还可以大大简化一些复杂事件的概率计算。

一般认为：边坡不稳定形式是构成不稳定边坡体的运动学表象。它的变形、移动的条件和特征支配着不稳定出现的概率。以下仅就平面剪切破坏的边坡做一简要的可靠性分析。

平面剪切破坏的典型形式如图5.39所示，节理裂隙的倾角大于其摩擦角，但缓于其边坡角。

图5.39　平面剪切破坏形式

在获得边坡稳定性分析与设计的诸因素（内聚力、内摩擦角、容重、边坡高度、坡顶附加荷载和地下水位等）后，分别求出它们的均值与标准离差。依照安全系数的常规计算方法，对诸参数进行100次以上的随机抽样，便可获得指定边坡角的安全系数的概率分布，图5.40所示。安全系数小于1者，即阴影区为不稳定概率。如此改换一组边坡角的计算，便可以求得指定边坡高度情况下临界边坡角的概率密度函数，即滑动概率P_s，如图5.41（a）。滑动概率P_s随边坡角i变化的累积概率分布函数示于图5.41（b）。当然也可以指定边坡角，求出滑动概率P_s随边坡高度的变化，如图5.42所示。

图5.40　安全系数的概率分布

图5.41　滑动概率的分布

图5.42　滑动概率P_s随边坡高度H的变化

上述分析中包含着这样的假定：裂隙面的长度L从坡脚一直延伸到坡顶。实际上，一组裂隙的长度服从于负指数分布，有它本身固有的出现概率，并非全组裂隙均能满足上述的假定条件。这样不稳定概率P_f即是临界几何形状出现的概率P₀与该临界几何形状将会发生滑动概率P_s的联合概率：

P₀是在某一指定的时期内，长度等于或大于L的裂隙在该坡面上出现的概率。在只能出现一条裂隙的场合，假定滑动要求贯通的长度L′出现的概率就是临界几何形状出现的概率P₀。根据负指数分布方程，即：

式中　P_L——长度等于或大于L′的裂隙出现的概率；

　M——野外测得裂隙的平均长度值。

对于一条裂隙，其稳定的概率为1－P_f，对于K条裂隙，其稳定的概率为（1－P_f）^k，所以边坡可靠性为：

整个边坡高度的不稳定概率为：

用不稳定概率法分析边坡稳定性时，它承认诸参数的变化性，需要测定它们的变化性，并在设计边坡时考虑它们的变化性。

不稳定概率法是在现场对边坡稳定性有影响的有参数（变量）进行大量实测的基础上，通过一定的分析计算，求得变量的平均值、标准离差以及不稳定概率等参数来判定边坡的稳定程度。但在工程实践上，现场工程师习惯用安全系数而不用概率来表示边坡的稳定性，原因是不稳定概率分析法，分析起来很复杂，故在工程中一般还是用安全系数来表示边坡的稳定程度。然而，实际上结构面的倾角以及结构面的延伸长度等都是呈某种分布（如正态分布）的量，而不是一个确定数值，边坡的破坏可以看成是一种概率现象，用概率方法分析边坡的稳定性有其合理的方面。近年来国外已有不少文献论述这一方法，这一方面值得从事边坡工程的工程技术人员进一步学习。