同角三角函数的基本关系_构造认知冲突，重视学生感悟_基于课程标准的数
第十节 同角三角函数的基本关系[10]——构造认知冲突，重视学生感悟
2008年11月15日，浙江省“百人千场”送教下乡活动在浙江省武义县武义一中举行。此次活动特邀浙江省嘉兴市第一中学吕峰波老师执教“同角三角函数的基本关系”（人民教育出版社出版的教科书（A版）必修4），浙江师范大学教师教育学院张维忠教授作了引人入胜的精彩点评。这是一节公式推导及应用的新授课，如何上好这节课呢？吕老师研读教材后，决定开门见山，直接提出问题：“已知sinα＝，求cosα的值”，通过问题激起学生的求知欲，再通过对公式的剖析推导、通过变式教学，自然而然地引出一个个问题，引导学生在编题的成功体验中完成“同角三角关系”的学习。
一、教学过程简录
（一）激起悬念，开门见山
师：我们已经学习了任意角的三角函数，给出一个角，我们就可以求出它的三角函数值。比如，sin 120°等于多少？(www.guayunfan.com)
生（众）：。
师：如果知道了一个三角函数，能求出其他三角函数吗。问题：已知sinα＝，求cosα的值。
生1：可以先求出α的值，再求cosα的值。
生2：可以寻找sinα和cosα的关系。
生3：sinα和cosα的平方和等于1。
师：你是怎么得到的？
生3：正弦线MP、余弦线OM以及单位圆半径OP构成了直角三角形，MP2＋OM2＝1，所以sinα和cosα的平方和等于1。
生4：在正弦线或余弦线退化为一个点时sinα和cosα的平方和等于1也成立。
师：很好。我们把这个关系记作：sin2α＋cos2α＝1，其中sin2α读作“sinα”的平方，它与α2的正弦是不同的。cos2α也同样。这是关于正弦和余弦的同角关系式，那么结合tanα有什么关系呢？
生5：＝tanα。
（二）认知冲突，剖析关系
师：很好，刚才同学讲到了三角函数的平方关系和商数关系。问题：已知cosα＝－，求sinβ的值。
生6：±。
……
生（众）：关系式是对于同角而言的，这里α和β是不同的角，所以本题无法求。
师：非常好。你有什么感悟？
生6：平方关系和商数关系成立的条件必须为同角。
师：很好，通过这个例子，我们必须明确同角的含义：
（1）角相同，比如sin22α＋cos22α＝1，tan（β＋γ）＝；
（2）对任意角关系式都成立（在函数有意义的前提下）。你还有什么要补充吗？
生6：当角的终边不在纵轴上时，＝tanα成立。
师：学生6的回答正确吗？可不可以说得再简单些呢？
生7：关系式对式子两边都有意义的角成立，在＝tanα中，要加上条件（α≠＋kπ，k∈Z）。
师：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切。也就是：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα（α≠＋kπ，k∈Z）。一般地三角恒等式是指两边都有意义的前提，所以在第二个关系式中，要加上条件（α≠＋kπ，k∈Z）。
（三）范例讲解，编题训练
例1 已知sinα＝－，求cosα，tanα的值。
师：注意按象限分类讨论。
解：因为sinα＜0且sinα≠－1，所以α是第三或第四象限角。
由sin2α＋cos2α＝1得，cos2α＝1－sin2α＝1－
若α是第三象限角，则cosα＜0，所以cosα＝－，
所以tanα＝
若α是第四象限角，则cosα＝，tanα＝－。
练习1 已知cosα＝－，且α为第三象限角，求sinα，tanα的值。
练习2 已知tanα＝，求sinα，cosα的值。
请学生8，学生9板演……
师：练习1告诉了角所在的象限，例2没有告诉角所在的象限，要分两种情况讨论求值。两位同学做得非常好，对于刚才所学的关系我们要灵活运用，比如对1，我们又有了一种新的理解，就是1＝sin2α＋cos2α。
我们也可以看成1－sin2α＝cos2α，即（1＋sinα）（1－sinα）＝cos2α，所以可以变形为，这样我们就可以得到：
例2 求证:
又比如，在sin2α＋cos2α＝1的两边同时乘以sin2α－cos2α。就得到：
例3 求证：sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α。
师：你觉得编题目容易吗？
生（众）：容易。
师：那么请同学们来编题目。
生10：sin4α＋sin2αcos2α＋cos2α＝1。
生11：tan2α－sin2α＝tan2αsin2α。
生12：sin6α＋cos6α＝1－3sin2αcos2α。
……
师：现在请同学们谈谈学习这节课的感受。
（四）体验过程，完善认知
生8：同角关系要注意角相同，一般地，三角恒等式是指两边都有意义的前提。
生6：想不到我也会编题。
生12：公式那么多，比如，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sinα＝cosαtanα，cosα＝，tan2α＋1＝，我们不必死记硬背，但要掌握基本的公式以及推导方法。
生13：证明三角恒等式可以分析题目的编拟过程，从而求解；也可以从等式一边证到另一边。
……
二、点评
传统的数学公式课教学模式往往是公式推导—例题讲解—反馈练习，久而久之，这样的教学容易失去引导学生探索的时机，也有可能抹杀学生的创造性思维。本节课通过教师的循序渐进，层层设问，学生体会到了解数学题其实并不难，学生在解决老师给出的这些有联系的问题的同时，受到了潜移默化的影响，当教师要求学生也来编一道题时，同学们都跃跃欲试，达到了较好的效果。本节课在以下几方面作了有益的尝试。
（一）开门见山，不作假探索
本节课一开始直接提出问题：“已知sinα＝，求cosα的值”，自然而然引导学生去探索同角三角函数的关系，引导学生去寻求数学知识之间的联系。虽然这是支教活动，但教师对学生对象的估计还是相当准确的。如果把这节课设计成让学生来探索同角关系有可能由于设置的梯度不够而导致假探索，也有可能使学生对公式和公式的应用关系不明确。本节课的设计引导学生在探索问题中去寻找公式，而不是为公式而找公式。
（二）似拙实巧，合理构造认知冲突
教师在给出了问题：已知cosα＝－，求sinβ的值。起初同学们回答±，还以为是题目出错了，后来才知道老师的良苦用心。可以说这种似拙实巧的教学设计巧妙地构造了学生认知冲突，激发学生思考，对“同角”有了深刻印象。这也要求我们在教学中不能平铺直叙，要尽可能构造认知冲突，只有这样才能加深学生对问题的理解。
（三）注重变式训练，加深对问题理解
对同角关系式的掌握和理解，要通过各种变形和变式。比如，教师对例题的处理，不仅使学生轻松认识到问题的本质，而且激发学生对这些式子的理解。通过这样的设计，学生对“1”也有了更深的理解。其实，只有对一些概念，像“1”这样特殊的数字有深刻理解，才能逐步触摸到数学的本质。
（四）通过编题训练，让学生收获信心
数学课要教给学生什么？除了知识，和能力之外，还要培养学生什么？这是我们一直在思考的问题。本节课通过编题，让学生在有意无意中有成就感，这样的教学贯彻了以学生为本的思想，使学生收获的不但是知识，还有信心。
（五）教师点拨方法，让学生加强体验
本节课贯穿课堂主线的是：教师点拨学生的学习方法，让学生去领悟、渗透需要学习的内容与方法。通过这样的学习，使学生在对知识的理解和掌握的同时掌握了数学方法、领悟了数学思想。
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