小学数学变式教学的操作思路_聚焦课改决胜课

小学数学变式教学的操作思路_聚焦课改　决胜课

小学数学变式教学的操作思路

杭州市濮家小学教育集团　萧恩颖

一、变式教学的内涵

变式在教学领域，最初是指经常变换感性材料或事例的呈现形式。而后又形成了变式教学的概念，与变式训练不同，它是在教学中使学生确切掌握概念的重要方式之一。即在教学中用不同的直观材料或事例说明事物的本质属性，或变换同类事物的非本质特征以突出事物的本质特征。目的在于让学生了解哪些是事物的本质特征，哪些是事物的非本质特征，从而对一事物形成科学的概念。

目前，变式教学已经不再局限于帮助学生掌握概念。在数学教学中，除了概念教学外，还包括数学活动经验教学，由于数学活动经常镶嵌在动态的教学过程中，这就诱发了人们很自然地将变式迁移到数学知识的过程性教学中，用以突出数学的规律，或者把复杂问题转化为简单问题，然后通过概括使认识达到新的高度。变式教学中的概念性变式旨在使学生对概念获得多角度的理解，而过程性变式关注的是在数学活动过程中，通过有层次的推进，学生分步解决问题，积累多种活动经验。(www.guayunfan.com)

在本文的讨论中，变式教学的内涵仅指小学数学的概念性变式、过程性变式及其教学操作思路。

二、概念性变式教学——对概念多角度的理解

（一）概念性变式教学的含义

数学概念是反映一类对象在数量关系和空间形式方面的本质属性的思维形式。数学概念所代表的是一类对象，而不是个别事物，它反映的是这类对象内在、固有的属性，而不是表面的属性。在这类对象的范围内具有普遍意义。因此，概念学习是学生数学学习的核心。数学概念教学中的变式主要包括两类：一类是属于概念的外延集合的变式，称为概念变式，其中又可以根据其在教学中的作用分为概念的标准变式和非标准变式；另一类是不属于概念的外延集合，但与概念对象有某些共同的非本质属性的变式，称为非概念变式，其中包括用于揭示概念对立面的反例变式，所有这些概念变式和非概念变式，我们统称为概念性变式。概念性变式是小学数学概念教学中的重要手段，在教学中的主要作用是帮助学生“去伪存真”，使学生获得对概念的多角度理解。

（二）概念性变式教学的操作思路

1.通过非标准变式突出概念的本质属性

和一般科学概念一样，数学概念是一种外延性概念。也就是说，每个概念都有一个明晰的边界，掌握概念意味着能够通过内涵去确定一个具体的对象是否在这个边界内。在概念的对象集合中，尽管从逻辑的角度看，每个对象都是等价的，但实际上，这些对象在学生的概念理解系统中的地位并不相同，特别地，一些对象由于其拥有“标准的”形式，或者受到感性经验的影响，或者在引入概念时的“先入为主”等原因而成为所谓的标准变式。非标准变式是小学数学概念教学中采用最多的概念性变式。

（1）非标准图形变式。如教学《梯形》时，通常教师都会给出一些非标准的梯形让学生识别（图1），以帮助学生排除标准图形所带来的负面干扰，避免出现误将“上底长、下底短，腰相等、无直角”等非本质属性当作梯形的本质特征的片面认识。

图1

在新课改背景下，教师更应发挥积极启发和引导作用，尽可能地创造条件，变“教师演，学生看”为学生自己动手操作，主动去探索数学概念的本质。以《梯形的面积》为例，教师可以引导学生用以下两种方式学习：

一是让学生把平行四边形沿直线剪成两个四边形，使它们都不是平行四边形（图2）：

图2

二是让学生用半透明的长方形与三角形纸片重叠出四边形（图3）：

图3

同样是观察梯形的非标准变式，但观察对象不是教师提供的，而是学生自己动手构造的，两种方式都能使学生在生成性的操作与观察中动态地认识发现梯形的共同特征。这也说明变式直观的教学效果在一定程度上取决于学生的主动性及独立性的发挥。

（2）非标准语言变式。概念的非标准变式也可以通过语言表现。例如，为了使学生对因数的概念理解深刻，可用下面的变式材料：①18的因数有哪些？②哪些数能整除18？③18是哪些数的倍数？④18能被哪些数整除？其中①是标准形式，其他都是变式，但不管哪种形式，因数的本质“必须整除”始终存在。

又如教学“直角三角形”时，告诉学生“有一个角是直角的三角形就是直角三角形”，然后让学生用这样的语言自己说说直角三角形，在为学生充分创造“说”的机会的基础上，教师可以用“判断”的形式，变换语言的叙述方式，引导学生加深对“直角三角形”概念的理解。教师可以这样说：“有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。”教师也可以这样说：“有一个角是90°的三角形叫做直角三角形。”教师还可以这样说：“有两个角的和等于90°的三角形叫做直角三角形。”可见三种不同语言变式的呈现，诱导学生从不同角度加深对“直角三角形”这个概念的理解，拓展了学生的思维空间。

2.通过非概念变式明确概念的外延

概念的教学除了在内涵上下功夫外，还应该使学生对概念所包含的对象集合有一个清晰的边界认识。要明确概念的外延就必须划清概念与其周边概念之间的边界，这里的一条有效途径就是利用非概念变式。教师应在教学中适当使用非概念变式，让学生通过辨析，从反例、错误中体会概念的本质属性，促进理解。

（1）非概念图形变式。以教学“平行”为例，在平行的概念“在同一平面内，两条不相交的直线”时，“不相交”是概念本质属性中的“强成分”，而“在同一平面内”是概念本质属性的“弱成分”，学生比较容易忽视。教师在教学中制作了这样的教具：将画有两条醒目平行线的纸板沿中间剪开，下半部分不动，旋转上半部分，使纸板错开，让学生看到两条直线仍然与本质属性中的“强成分”符合（图4），但却不平行了。因为它们不在同一平面内。

图4

实践表明，这样的教具演示，能使学生清楚地看到两条直线所在的平面，在实验和操作中体会“同一平面”与“不同平面”的区别，使学生对平行的本质属性有确切的认识。

（2）非概念语言变式。数学概念具有抽象性，学生对概念的获得往往又直接来自具体的感性经验。在概念教学中，非概念语言变式有助于学生形成正确、鲜明的概念。如在教学“梯形”时，在教学并巩固梯形概念的基础上，教师的表述可从“只有一组对边平行的四边形”变式为“有一组对边平行的四边形”，或者变式为“只有一组对边平行的图形”，让学生判断，一方面可以帮助学生建立相关概念之间的联系，另一方面也可以预防或者澄清学生在概念理解时可能出现的混淆。

3.通过两种变式使学生进一步理解概念

在实际教学中，上述两种概念变式也可以结合使用。例如“垂直”的概念辨析，图5中①是标准图形，②、③是非标准变式，④、⑤则是非概念变式，它们从正、反两方面揭示了垂直概念的本质特征。让学生看图作出正确的判断，从而达到多角度理解概念，确切地把握概念本质特征的教学目标。

图5

三、过程性变式教学——教学过程的有层次递进

（一）过程性变式教学的含义

概念性变式主要将概念作为一个确定对象进行教学，把教学对象看做是静态结构的数学知识，而数学教学中，除了概念教学外还有数学活动经验的教学，这种活动经验常常嵌套在动态的教学过程中，而静态的概念性变式往往很难反映这种动态的过程。在上世纪80年代初，顾泠沅教授提出了“过程性变式”的概念，并将数学变式从概念教学推广到活动经验的教学。

顾泠沅教授关于过程性变式的研究告诉我们：数学活动过程的基本特征是层次性。这种层次性既可以表现为一系列的台阶，也可以表现为某种活动策略或经验。过程性变式的主要教学含义是在数学活动过程中，通过有层次的推进，使学生分步解决问题，积累多种活动经验。在小学数学教学中实施过程性变式教学，旨在优化学生的学习过程，通过变式铺垫，建立学习对象与学习者已有知识的内在、合理的联系，使学生逐步获取知识和解决问题。这也是数学课程改革理念在课堂教学中得到具体落实的体现。

（二）过程性变式教学的操作思路

1.用于概念的形成过程

概念性变式局限于将概念作为一个既成事实（确定对象）进行教学，而实际上，每个概念都有一个形成的过程，让学生体验这个过程，特别是让学生了解引进概念的必要性，将有助于他们对概念本身的掌握。用于概念教学的过程性变式，与概念性变式的作用是不一样的，前者的目的是为概念的建构提供一个有层次推进的过程，而后者的主要目的则通常是对一个成形的概念进行多角度的理解。

例如，在方程的概念教学中，有两个教学难点，一是“平衡”的思想，二是“未知数”的含义。如果我们在教学方程的定义“含有未知数的等式”的基础上就给出概念性变式练习让学生判断的话，学生也能找出正确的方程，但学生对方程的理解只是形式的、外延的，并没有真正理解方程概念的本质属性。教师在解决这个问题时，可以利用一些过程性变式进行多阶段铺垫，逐步形成概念。

阶段一：用具体的事物表示未知量。

教师可以让学生尝试用直观的方法去解决具体问题，如：“四辆小货车一起运一堆重22吨的货物，运一次后还剩下两吨，问：小货车的载重量是多少？”这个问题可以形象地表示如下：

22吨—＝2吨，或22吨—4＝2吨　　　　（1）

阶段二：用简写记号表示未知量。

在阶段一的基础上，可以用字母“x”代替直观图形，从而缩写成简写记号形式：

22吨—4x＝2吨　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2）

去掉上式中的单位，简写成：22—4x＝2　　　　　　　　（3）

上面三类式子在某种意义上反映了数学史上形成代数符号系统的三个阶段，即从“象形代数”到“简写代数”再到“符号代数”。通过这个过程，不仅可以让学生体验到字母代数的简洁性，而且也建立了方程概念的基本模型，但这时学生对于未知数的理解仍然停留在具体的对象上，也就是说，学生眼里（2）、（3）式中的x表示的是具体载重量，而不是一般化的符号。为了使“物化符号”变为“抽象符号”，教学中可以继续设置如下铺垫：

阶段三：用教学符号“□”代替物化符号“x”。

于是（3）式变为：22—4□＝2　　　　　　　　　　　（4）

虽然从形式上看，（4）式离方程式的写法似乎远了，但实际上（4）式中的“□”更具有一般意义。我们可以把它想象成一个可以在其中填写数字的方框，让学生进行填数游戏，并考察填入哪个数时，符号的两边相同，让学生找到所需数值时，让学生明白，这就是我们要找的未知数的值。再回到（3）式，这时的x就不是我们所说的物化符号了，它已经转化为具有一般意义的抽象符号。通过这种游戏，不仅可以让学生理解“未知数”的本质属性，而且能让学会体会“平衡”的思想。

2.用于问题解决的教学

过程性变式用于问题解决的教学，基本操作思路是教师使学生明晰问题的初始状态和目标状态，依据问题情景及其所蕴含的信息，通过联想、类比、阐释等相关操作，“将未知的问题化归为已知的问题，将复杂的问题化归为简单的问题。”但未知与已知问题，复杂与简单问题之间往往没有明显联系，因此需要设置一些过程性变式在两者之间做适当的铺垫，作为化归的台阶。

例如，在比较不规则物体周长教学中，学生已经在之前的活动中直观体验了图形的转化。接下来教师出示了两幅图（图6）。解决问题的关键在于找到未知图形周长和已知图形周长之间的变式。在这里，对图形的构造做如下变式分析，可为该问题的解决提供合适的铺垫（图7）。

图7

通过对问题的变式构造，使学生对问题解决过程及问题本身的结构有一个清晰的认识，这是学生积累活动经验，提高问题解决能力的一条有效途径。

3.用于建构特定经验系统

设置过程性变式的主要目的，是在数学活动经验的教学中，增加活动途径的多样性和活动过程的层次性。每个数学活动过程通常都涉及一个或一系列的过程性变式，这些变式就形成一个有层次的经验系统，成为认知结构的重要组成部分。小学数学中有一些比较适合让学生进行探究学习的内容，比如关于物体面与体的很多计算公式，它们既有相对的独立性，又有相互渗透的层次性。

以梯形面积公式探究为例，在此之前学生已经学习了长方形、平行四边形、三角形面积的计算公式，对图形的转化以及对转化的思路“将面积计算公式未知的图形转化成面积计算公式已知的图形”也有了一定的认识。这些都是探究梯形面积公式时可供利用的基础。

教学时先复习长方形、平行四边形、三角形的面积计算公式及推导过程，接着教师提出探究目标：找出梯形面积的计算公式。启发学生思考：

（1）你打算把梯形转化成什么面积公式已知的图形？

（2）你打算怎样转化，是拼补还是割补还是分割？

（3）转化后的图形面积与原来梯形的面积是什么关系？

（4）转化后的图形面积怎样计算？

（5）总结梯形的面积计算公式。

学生探究过程中每人备有两张完全相同的梯形纸片以及剪刀、尺、笔等工具，小组合作，教师巡视并适当给予指导。在汇报时学生想到的转化方法有很多，教师按照转化成平行四边形（两种）、三角形、平行四边形＋三角形等进行梳理。（图8）

图8

也有转化错误、失败的，如：划分成直角三角形和直角梯形，直角梯形的面积计算方法仍然是未知的，也无法拼补成长方形。或者划分成两个直角三角形和长方形，却没想到两个直角三角形可以拼成一个三角形，以致半途而废。

在探究中，各种转化变式的出现是随机的，由于学生思维存在着差异，因此想到的变式种类也存在着差异。教师的教学思路是学生能得出几种就出示、交流几种，如有缺失就启发感兴趣的学生课后继续探究。在探究中，有这几种变式：①（a＋b）×h÷2；②（a＋b）×（h÷2）；③a×h—（a—b）÷2；④a×h÷2＋b×h÷2等，不强求统一成梯形面积计算公式的标准形式。多样化的算法有利于开拓学生的思路，这也是实施过程性变式的目的之一。

不同学生的数学学习差异是客观存在的，构建经验的过程性变式关注的是学生的探索与体验。教师在教学中构建适当的变异空间，将同一个问题的不同解决方法作为变式，丰富学生问题解决的特定经验，对于学生认知结构的完善至关重要。