用反比例函数增减性解题常见误区分析_行进在课改路上

用反比例函数增减性解题常见误区分析_行进在课改路上

用反比例函数增减性解题常见误区分析

曹越崇

函数的增减性是我们研究函数时需掌握的一条重要性质，有的同学在学习反比例函数的增减性时，经常错误地写为:当k＞0时，y随x的增大而减小，当k＜0时，y随x的增大而增大，其实出现这种错误的原因是对性质理解不透彻。其本质原因是忽视了反比例函数的定义域要求自变量x≠0，也正因为此原因反比例函数的图像是双曲线，它的两个分支是断开的，所以运用它的增减性的前提是“在每个象限内”。

也可以举反例说明如果没有限制“在每个象限内”这个条件，会出现如下错误。例:对于反比例函数当x=－2时，y=－3;当x= 2时，y= 3，自变量－2＜2，而对应函数值－3＜3，也就是说并不是由k= 6＞0可以得出y随x的增大而减小。

为了更深刻理解，我们还可以借助下面的图像(k＞0)为例分析:首先，在图像上取不同的点，这些不同的点都对应它的坐标如:(x1，y1)(x2，y2)……如下图:(www.guayunfan.com)

当x＜0时，在x1＜x2＜x3的情况下，显然y1＞y2＞y3，即当x逐渐增大时，y逐渐减小;

当x＞0时，在x4＜x5＜x6的情况下，显然y4＞y5＞y6，即当x逐渐增大时，y逐渐减小;

但当x≠0且自变量的取值不在同一象限内时，例如:当x1＜x5时，y1＜y5，即当x逐渐增大时，y却逐渐增大。因此变量之间的增减性必须限定“在每一象限内”，或者“在x＞0或＜0”的范围内研究。叙述反比例函数的增减性时应该说:当k＞0时，在每个象限内，y随x的增大而减小。当k＜0时，在每个象限内，y随x的增大而增大。

下面以几道典型中考题为例说明我们解题中的常见误区。

［例1］反比例函数图像如上图上有三个点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，其中x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是(　　)

A．y1＜y2＜y3　　　　　B．y2＜y1＜y3

C．y3＜y1＜y2　　　　　D．y3＜y2＜y1

错解:因为k=6＞0，所以y随x的增大而增大，又因x1＜x2＜0＜x3，所以y1＜y2＜y3，故选A。

剖析:运用反比例函数的增减性的前提是“在每一个象限内”，即只有在同一象限内的点，才有此性质，由于(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，不在同一象限内，故应将两个象限内的点分类讨论。

正解:因为k= 6＞0，所以双曲线在第一、第三象限，在各象限内，y随x的增大而减小。

由x1＜x2＜0可得(x1，y1)(x2，y2)在第三象限内，故0＞y1＞y2，又x3＞0，(x3，y3)在第一象限，故y3＞0，所以y2＜y1＜y3，故选B。

［例2］反比例函数的图像如图所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是这个函数图像上的三点，且x1＞x2＞0＞x3，则y1，y2，y3的大小关系(　　)

A．y3＜y1＜y2　　　　　B．y2＜y1＜y3

C．y3＜y2＜y1　　　　　D．y1＜y2＜y3

解:由反比例函数的增减性可知，当x＞0时，y随x的增大而增大，所以当x1＞x2＞0时，则0＞y1＞y2，又C(x3，y3)在第二象限，y3＞0，所以y2＜y1＜y3，故选B。

［例3］已知点(－1，y)，(2，y)，(3，y)在反比例函数123的图像上。

下列结论中正确的是(　　)

A．y3＞y2＞y1　　　　　B．y1＞y3＞y2

C．y3＞y1＞y2　　　　　D．y2＞y3＞y1

错解:因为－k2－1＜0，所以y随x的增大而增大。又因为－1＜2＜3，所以y3＞y2＞y1，故选A。

分析:因为－k2－1＜0，所以双曲线在第二、第四象限，在各象限内，y随x的增大而增大。由2＜3得，(2，y2)，(3，y3)在第四象限内，故y2＜y3＜0，又－1＜0，所以(－1，y1)在第二象限，故y1＞0，所以y1＞y3＞y2，故选B。

［例4］对于反比例函数设x1＜x2，且x1和x2对应的函数值分别为y1，y2，指出y1与y2大小关系。

错解:因为k＜0，x1＜x2，所以y1＞y2。

分析:此题没指明x1和x2的符号，所以需要分类讨论。

正解:(1)若:0＜x1＜x2，则y1＜y2

(2)若x1＜x2＜0，则y1＜y2

(3)若x1＜0＜x2，则y1＞y2

规律总结:注意分类讨论思想在解题中的应用。

［例5］如图，反比例函数的图像经过点A(－1，－2)，则当x＞1时，函数值y的取值范围是(　　)

A．y＞1　　　　　　　B．0＜y＜1

C．y＞2　　　　　　　D．0＜y＜2

分析:先根据反比例函数的图像过点A(－1，－2)，利用数形结合求出x＜－1时y的取值范围，再由反比例函数的图像关于原点对称的特点即可求出答案。

解:因为反比例函数的图像过点A(－1，－2)，所以由函数图像可知，x＜－1时，－2＜y＜0，所以当x＞1时，0＜y＜2，故选D。

［例6］如图，反比例函数和正比例函数y2= k2 x的图像都经过点A(－1，2)，若y1＞y2，则x的取值范围是(　　)

A．－1＜x＜0　　　　　　　　B．－1＜x＜1

C．x＜－1或0＜x＜1　　　　　D．－1＜x＜0或x＞1

分析:根据反比例函数和正比例函数的中心对称性，可知两图像的另一交点为(1，－2)，要使y1＞y2，即当x取同一值时，对应反比例函数的值要大于正比例函数的值，即反比例函数图像要在一次函数图像的上方，所以借助直线x=－1和直线x=1，以及y轴，就把整个坐标平面分成了四部分，x＜－1，－1＜x＜0，0＜x＜1，x＞1，当－1＜x＜0和x＞1时y1＞y2，故选D。

在这里，同学们经常把整个坐标平面分成三部分，x＜－1，－1＜x＜1，x＞1而出错。为什么一定分成四部分，要用y轴呢?因为y轴，即直线x= 0，由于反比例函数自变量x≠0，从负到正，必须有一个分隔点，因此当涉及反比例函数的有关问题时，必须非常留心x的取值。

以上就是我在教学中遇到的一些学生常见的错误，函数对于学生来说本身就是一个难点，学习过程当中出现这样的错误是很难避免的，因此在学习中要关注这一类问题，力争走出误区，牢牢掌握这一部分知识。