应用数学学习的法则指导教与学_聚焦课改决胜课

应用数学学习的法则指导教与学_聚焦课改　决胜课

应用数学学习的ABC法则指导教与学

浙江传媒学院实验中学　余　勇

数学在现代生活中的地位越来越重要。数学是学习和研究现代科学技术的基础，它在培养和提高人的思维能力方面发挥着特有的作用。然而，数学学习也成为许多人学习的拦路虎。当前数学学习存在大面积差生问题。其原因是多方面的：如教材的难度，数学本身的难度，学生本身的因素等，学生未能掌握学习数学的方法也是很重要的原因。

本文在系统科学论观点的指导下，结合作者十多年的教学实践，从系统有序的思想出发，提出数学教学的一个法则：数学学习的ABC法则，并结合教学中遇到的问题，就数学教学和学习，特别是数学复习和解题中应注意的一些方法做一点探讨。

一、数学学习ABC法则(www.guayunfan.com)

（一）什么是数学学习ABC法则

面对一个问题，我们应怎么思考？学习一门知识，我们应从哪些方面入手？我们该学会些什么？这些都需应用数学学习ABC法则。

数学学习ABC法则的含义如下：

A：是什么。在数学学习和解题时，先弄清楚学习的对象是什么，要解决的问题是什么。明确基本概念、定理、公式等。

B：有什么。构建知识系统，弄清学习的对象内部结构、外部关系；学会对数学概念、数学问题进行适当分类与分解；弄清要解决的问题涉及哪些概念、性质、运算等。

C：怎么做。我们的目标是：构建知识系统，掌握学习方法；学会如何解决问题，掌握解题方法。

（二）数学学习ABC法则的原理分析

A：是什么。认识是学习和解题的前提和基础。

解决任何问题，首要的是要认清问题是什么，然后才着手怎样解决。在数学学习和解题时，先弄清楚学习的对象是什么，要解决的问题是什么。

数学是一门符号学科，数学符号、名词是数学的语言。最起码要认识符号、能理解题意。《全日制普通高级中学数学教学大纲》对知识的要求，依次为了解、理解和掌握、灵活和综合运用。其中，了解就是要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一内容是什么，并能（或会）在有关问题中识别它。

认识问题是解决问题的前提和基础。解数学题首要的是审题、弄清题意。有的同学做题时只想着怎么做，不好好地理解题的意思，连问题都没弄清楚的情况下匆忙答题，往往答非所问、错误百出。不明确问题本身就不可能解决问题。

对数学问题认识越深刻，则能更好地解决问题。当然，认识不是一次完成的，认识事物有一个循序渐进的过程。认识问题时，应遵循从定性到定量的原则。

B：有什么。以怎样的思想去认识数学、解决问题？以什么样的方法去掌握知识？如何构建知识系统？

按系统论观点，系统分为内部结构和外部关系。要认识一个事物，应全面、系统地把握。

科学家在研究专家与新手在解决问题中的行为进行比较发现，专家总是纵观整个问题的背景和其中各成分间的关系，根据问题解决时所使用的原则或方法来理解问题；而新手却只看到孤立的问题本身或表面，如问题陈述中所使用的词汇和物件等。

数学更是一门有严密系统的学科。《全日制普通高级中学数学教学大纲》对灵活和综合运用的定义为：要求系统地掌握知识的内在联系，能运用所列知识分析和解决较为复杂的或综合性的问题。

系统性表现为两方面，一方面，强调对知识的整体认识和把握；另一方面，数学学习ABC法则也强调对知识、问题进行分类和分解。我们学习一个概念，如函数，不能就函数而函数，如何学习、分类是研究问题的基本方法。内行与外行的区别往往首先表现为对其类别的掌握。另外，我们所面对的问题，往往有一定的综合性，高考强调在知识的交汇点出题，需要我们对问题进行分解解析。

C：怎么做。数学学习很大程度上是方法的学习，数学学习ABC法则强调具体的方法和步骤，我们在学习的过程中要善于探究，总结方法、提高能力。

二、以数学学习的ABC法则构建知识系统

下面以函数为例说明。

A：函数是两个变量（数集）之间的一种关系。函数两种定义方式，初中定义：两个变量之间的一种关系高中定义：两个数集之间的一种关系函数是特殊的映射，是两个集合间的映射，是从定义域到值域的映射，其中关系f满足1—1或多—1。

B：系统分为内部结构和外部关系。函数内部结构有三要素（定义域、值域、对应法则）、三性（奇偶性及对称性、单调性、周期性）、图像，如同一棵树（知识树）。外部关系有函数与方程、函数与不等式等。

分类是研究问题的基本方法。由A得函数即关系，函数按其关系可分为函数，高中阶段初等函数包括一次函数、二次函数、三角函数、幂函数、指函数、对数函数等。

C：函数问题中，数形结合的思想、转化化归的思想。三要素、三性中定义域优先的原则，把复合函数分解为基本函数的方法或求导等。其实，函数本身也是一个重要的数学思想方法。

又如，对函数中的三角函数的认识。

A：三角泛指角，三角函数即角的函数，是任意角的函数。理解三角函数应从两方面理解：一方面，它是一般的函数；另一方面，它又是一个特殊的函数。

B：作为一般的函数，与一次函数、二次函数、幂函数、指函数、对数函数一样，我们须研究它的三要素、三性、图像。当然，角作为自变量，应充分认识，如“如何画一个角为10的函数”，又如函数看作一个角。

作为特殊的函数，其涉及不同的角和不同的三角函数值，必须看到，三角函数涉及的元素包括三方面：角、函数名称、式子及公式（简称“角名式”）。当然，角也是作为最主要的变量。以角为线索，其知识系统为：

C：作为一般的函数，应从函数的三要素、三性、图像出发，从基本函数y＝sin x，y＝cos x，y＝cot x出发，用化归的方法，把复合函数化成一个个基本函数，如函数y＝的复合。其定义域R，值域［—3，3］，周期：，单调增区间由单调减区间由得xk∈Z。对称中心：由2x＋＝kπ得对称中心为

作为特殊的函数，在解决三角函数问题时，按“角名式”的方法。首先找出角的关系（是否同角？是否相差的整数倍？是否满足和差倍半关系）；其次考虑函数名称（如切割化弦或弦化切）；再看解析式（是否符合公式，是否化简整理，是否可降次，采用万能公式，和积互化，合一变形等）。

另外，三角函数还是解决其他问题的有利工具，如解三角形，在不等式和解析几何（参数方程）及物理等学科中的综合应用。

三、以数学学习的ABC法则提出问题

数学课程的设计要用学生易于接受的形式引导学生去掌握枢纽性的理论。数学学习ABC法则本身就以提问的方式给出。以数学学习ABC法则可直接提出问题，甚至可使学生自动提问思考。

在函数概念的课堂教学中，本人设计了以下几个问题。

问题1.怎样学函数？什么是函数？

问题2.设有两个变量x，y满足：

问x＝8，x＝16时y的值。

问题3.这儿有两个变量，为什么仅仅根据x的值就能求出y的值？

三问组成一个问题串，直指函数概念的核心：两个变量间存在某种关系。这是一种用打仗的方法，迅速占领制高点，再向四面扩大战果，快速有效。

笔者对不同的学生做过多次实验，无论是初学函数概念还是进入高三复习阶段的学生，对问题1或多或少都能说出自己的一些认识，但也存在问题。一方面，函数概念自初中就开始接受；另一方面，函数概念仍然是高中学习的难点。在学生说出函数的各种说法后（肯定学生），提出问题2。

问题2材料简洁，问题明了，思维起点比较低，使大多数学生能开始有效的思考。答案易猜想但不唯一。为探求两个变量x，y之间更高层次的关系提供了条件。多数学生能较快给出答案，如按x＋y＝6或周期变化等得到；还有的学生不能找出，可提示x＝6时，x＝7时y的值，学生得出答案并给予肯定。有一共同点：在被问及能否找出y的值时，都确信能。

问题3好似学生弄懂了，老师却还不明白，引导学生反思。一般地，两个变量，是否知道其中一个的值就能确定另一个的值吗？这说明了什么？学生得出：变量x，y之间有关系。由此进一步探讨函数概念的内涵。

四、以数学学习ABC法则解决数学问题

解决数学问题是学习的目的，下面谈谈用ABC法则的方法来解决问题。

例1　求函数的单调区间及单调性。

分析　A：这是复合函数的单调性问题。B：先看作一对数函数，再看作二次函数。令画出图像（略）。C：根据“定义域优先原则”得，2—x2＞0结合图像，分两个区间讨论。

当时，x增大，t增大，y减小上为减函数。

当时，x增大，t减小，y增大上为增函数。

五、应用数学学习ABC法则指导教与学

数学学习ABC法则从系统有序的思想出发给了我们一个总的思考问题的方法步骤，他分3个步骤和层次，A是什么在于弄清问题，是C怎么做的基础和前提；B有什么则是在于弄清知识间的联系，是C怎么做的保障。当然，在具体学习的过程中，也可以先知道有什么、怎么做，反过来认识是什么。而往往需要对事物有一个全面的认识过程后，才会对事物本身的认识深刻，这是一个循序渐进的过程。数学学习ABC法则能宏观地指导我们学习，又能微观地指导解题，是最一般的解决问题的方法。

问题是数学的心脏.波利亚的怎样解题表有理解题意、拟订计划、执行计划、反思与回顾4个步骤。数学学习ABC法则把数学学习问题化。首先，他的提法是问题式的。然后，他还提出怎么做的问题，可视为对波利亚的怎样解题表的一种简化。数学学习ABC法则与5w（what，why，when，who，how）一样，有提出问题，指导思考的功能，取名数学学习ABC法则。ABC是英文前三个字母，意味着入门、简单，是学习数学的基本法则。

数学学习ABC法则强调对数学概念、数学问题的认识与理解，又从系统论的高度强调知识的系统性。系统性表现为两方面：一方面，数学学习ABC法则强调对知识的整体认识和把握，有助于归纳知识系统；另一方面，数学学习ABC法则也强调对知识、问题进行分类和分解，有助于知识的学习和问题的解决。

数学学习ABC法则从操作上给予数学教与学具体的方法和步骤，对数学教与学策略能起到化隐为显的作用。用数学学习ABC法则可直接提出问题，使数学学习问题化、自动化，促进学生对学习过程的认识；帮助教师进行教学设计、明确教学思路。

总之，从笔者十多年自己应用实践来看，数学学习ABC法则能较好地体现系统有序的思想，能较好地指导学生学习，帮助学生构建知识系统，掌握解题方法；能较好地指导教师进行数学教学。